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1、必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 【教学目标】 1. 知识与技能： （1）结合二次函数的图像理解函数零点的定义，会判断一元二次方程根的存在性及根的个 数； （2）了解方程的实根与其相应函数零点之间的联系； （3）了解判定函数的零点存在的条件，能找到零点所在的区间. 2. 过程与方法： （1）体验二次函数的图象与轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系，探究方程 的根与函数的零点的联系； （2）经历从特殊到一般从具体到抽象的研究过程，提高发现问题、提出问题、解决问题的 能力； （3）在课堂探究中领会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想，并能用该思想主动来 研究问题 . 3. 情感态度
2、价值观： 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值 【重点难点】 1.教学重点：理解方程的根与函数零点的等价关系，形成用函数处理问题意识 2.教学难点：函数零点存在的条件 【教学策略与方法】 1. 教学方法：启发讲授式与问题探究式 2. 教具准备：多媒体 【教学过程】 问题 1：解方程（比赛） ： 6x1=0 ； 3x 26x1=0 。 再比赛解 3x 36x1=0 设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题） 比赛模式引入， 调动积极性， 可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生积 极性和主动性。 第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程
3、甚至三次方程、 四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一 般不能用公式求解，如3x 56x1=0 紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次 的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的 中国， 秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出 人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题。 问题 2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图7-1 1 方程 032 2 xx 与函数 32 2 xxy 2 方程 012 2 xx 与函数 12 2 xxy 3 方程 0
4、32 2 xx 与函数 12 2 xxy 图 7-1 师生互动 师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，推广 到一般的方程和函数引出零点概念。 零点概念：对于函数y f（x） （xD） ，把使 f（x） 0 成立的实数x 叫做函数yf（x） （x D）的。 结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你能总结方程的根与函数的零点之间关系吗？ 函数 ( )yf x 的零点就是方程 (x)0f 的实数根， 也就是函数 ( )yf x 的图像与 x轴交点 的横坐标 . 还可以用数学符号语言表达，函数 ( )yf x 有零点方程 (x)0f 有实数根 函数 ( )yf
5、 x 的图像与x 轴有交点 . 师：函数的零点是“点”吗？ 生：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。 师：如何根据函数零点的意义求零点？ 生：可以解方程 0)(xf 而得到（代数法） ；例如函数 32 2 xxy 的零点为 x=-1,3 也可以利用函数 )(xfy 的图象找出零点 （几何法） 师：是不是所有的二次函数都有零点？ 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论 二次函数 )0( 2 acbxaxy 的零点：看 ），方程 0 2 cbxax 有两不等实根，二次函数的图象与 x轴有两个交点，二 次函数有两个零点 ），方程 0 2
6、cbxax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x轴有一 个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ），方程 0 2 cbxax 无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无零 点 探究： 观察二次函数 2 ( )23f xxx 的图象， 如右图， 我们发现函数 2 ( )23f xxx 在 区间 2,1 上有零点。计算 ( 2)f 和 (1)f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 2,4 上是否也具有这种特点呢？ 师：我们一起用符号语言总结：如果函数 ( )yf x 在区间 ,a b 上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有 ( )( )0f af b ，那么，函数 ( )y
7、f x 在区间 ,a b 内有零点，即存在 ,ca b ，使得 ( )0f c ，这个c也就是方程 ( )0fx 的根。我们把这个结论称为零点存在 定理。 2、例范研究 例 1.已知函数 f（x）= 3x5 6x1 有如下对应值表： x 2 1.5 0 1 2 f（x）109 4417 1 8 107 函数 y f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？ 设计意图通过本例引导探索，师生互动 探求 1：如果函数y f（x）在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a） f （b）0 时，函数在区间（a， b）内没有零点吗? 探求 2：如果函数yf（ x）在区间 a，b上的图象是一条连续
8、不断的曲线，并且有f（a） f （b）0 时，函数在区间（a， b）内有零点，但是否只一个零点？ 探求 3：如果函数yf（ x）在区间 a，b上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间 （a，b）内有零点时一定有f（a） f（b）0 ？ 探求 4：如果函数yf（x）在区间 a，b上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间 （ a， b）内有零点时一定有f（a） f（b）0 ？ 图 5（反例） 师：总结两个条件： 1）函数 y f（x）在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线 2）在区间 a，b上有 f（a） f（b）0 一个结论：函数yf（ x）在区间 a，b内单调则函数在这个区间内有且
9、只有一个零点 补充：什么时候只有一个零点？ （观察得出）函数yf（x）在区间 a，b内单调时只有一个零点 例 2求函数 62ln)(xxxf 的零点个数问题： 1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 师：多媒体演示； 结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的 个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性） 在确定函数零点中的重要作用 课堂练习： 1函数 2 ( )3 x f xx ，问：方程 ( )0f x 在区间 1,0 内有没有实数根？为什么？ 2利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1） 02 2 xx ； （2） xexf x 4)( ； 3利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1） 33)( 3 xxxf ； （ 2） 3)2ln(2)(xxxf ； 5 课堂小结： 零点概念 零点存在性的判断 零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间 函数与方程、数形结合、化归与转化的数学思想方法. 6 作业回馈 课本习题 31（ A 组）第 1、2 题；