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1、1.2.1 任意角的三角函数（1） 一、课题：任意角的三角函数（ 1） 二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。 四、教学过程： （一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 , aba sinAcosAtanA ccb 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 （二）新课讲解： 1三角函数定义 在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意
2、一点P（除了原点）的坐标为( ,)x y，它与原点的距 离为 2222 (|0)r rxyxy，那么 （1）比值 y r 叫做的正弦，记作sin，即sin y r ； （2）比值 x r 叫做的余弦，记作cos，即cos x r ； （3）比值 y x 叫做的正切，记作tan，即tan y x ； （4）比值 x y 叫做的余切，记作cot，即cot x y ； （5）比值 r x 叫做的正割，记作sec，即sec r x ； （6）比值 r y 叫做的余割，记作csc，即csc r y 说明：的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表 明与的终边相同的角所在
3、的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点( , )P x y在的终边上的位置的改变而改变 大小； 当() 2 kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tan y x 与 sec r x 无意义；同理，当()kkZ时， x coy y 与csc r y 无意义； 除以上两种情况外，对于确定的值，比值 y r 、 x r 、 y x 、 x y 、 r x 、 r y 分别是一个确定的实数，所以 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为 三角函数。 2三角函数的定义域、值域 函数定义域值域 sinyR 1
4、,1 cosy R 1,1 tany|, 2 kkZR 3例题分析 例 1 已知角的终边经过点(2,3)P，求的六个函数制值。 解：因为2,3xy，所以 22 2( 3)13r，于是 33 13 sin 13 13 y r ； 22 13 cos 13 13 x r ； 3 tan 2 y x ； 2 cot 3 x y ； 13 sec 2 r x ； 13 csc 3 r y 例 2 求下列各角的六个三角函数值：（1）0； （2）； （3） 3 2 解： （1）因为当0时，xr，0y，所以 sin00，01cos， tan00，cot 0不存在， sec01，csc0不存在。 （2）因为当
5、时，xr，0y，所以 sin0，cos1， tan0，cot不存在， sec1， csc不存在。 （3）因为当 3 2 时，0x，yr，所以 3 sin1 2 ， 3 cos0 2 ， 3 tan 2 不存在， 3 cot0 2 ， 3 sec 2 不存在， 3 csc1 2 例 3 已知角的终边过点( ,2 )(0)aa a，求的六个三角函数值。 解：因为过点( ,2)(0)aaa，所以5 |ra，,2xa ya 当 222 5 0sin 5 5 |5 yaa a r aa 时，； 5 c o s 5 5 xaa r a ； 15 tan2;cot;sec5;csc 22 ； 当 222 5
6、 0sin 55 |5 yaa a raa 时，； 5 cos 5 5 xaa r a ； 15 tan2;cot;sec5;csc 22 4三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： 正弦值 y r 对于第一、二象限为正（0,0yr） ，对于第三、四象限为负（0,0yr） ； 余弦值 x r 对于第一、四象限为正（0,0xr） ，对于第二、三象限为负（0,0xr） ； 正切值 y x 对于第一、三象限为正（,x y同号） ，对于第二、四象限为负（,x y异号） 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 5诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有：sin(2)sink， cos(2)cosk，其中kZ tan(2)tank， （练习）确定下列三角函数值的符号： （1）cos250； （2）sin() 4 ； （3）tan( 672 )； （4） 11 tan 3 五、小结： 1任意角的三角函数的定义； 2三角函数的定义域、值域； 3三角函数的符号及诱导公式。 六、作业：补充：已知点P (3 ,-4 )rr(0)r，在角的终边上，求sin、cos、tan的值。