高考圆锥曲线专题.pdf

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1、第十六讲圆锥曲线的定义、性质和方程(一) 高考在考什么 1已知 AB 为过抛物线y2=2px 焦点 F 的弦 , 则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线( ) A相交B相切C相离D与 p 的取值有关 2（江苏理）在平面直角坐标系xOy 中， 双曲线中心在原点， 焦点在 y 轴上， 一条渐近线方程为x-2y=0 ， 则它的离心率为（） A 5 B 5 2 C 3 D 2 3点 P(a,b)是双曲线x2-y2=1 右支上一点，且P到渐近线距离为 2，则 a+b=( ) A、 -B、C、-2D、2 4 （湖南）设F1 、F2 分别是椭圆 22 22 1 xy ab （ 0ab ）的左、右焦点，若在其右

2、准线上存在P 使线段 PF1 的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（） A 2 0 2 ， B 3 0 3 ， C 2 1 2 ， D 3 1 3 ， 5 （湖北理）双曲线 22 122 :1(00) xy Cab ab ， 的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1 、F2； 抛物线 C2 的准线为 l，焦点为F2；C1 与 C2 的一个交点为M，则 121 12 F FMF MFMF 等于 （） A 1 B1C 1 2 D 1 2 6 （全国一）抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为 l，经过 F且斜率为 3 的直线与抛物线在x 轴上方 的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则 AKF 的面

3、积是 ( ) A4 B 3 3 C 4 3 D8 7 （ 福 建 理 ） 以 双 曲 线 22 1 916 xy 的 右 焦 点 为 圆 心 ， 且 与 其 渐 近 线 相 切 的 圆 方 程 是 （） Ax 2+y2-10x+9=0 Bx 2+y2-10x+16=0 Cx 2+y2+10x+16=0 Dx 2+y2 +10x+9=0 8 （辽宁）设椭圆 22 1 2516 xy 上一点 P到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足 1 () 2 OMOPOF ，则 |OM 。 一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆： 到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹

4、叫做椭圆。 即： P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|) 。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做 双曲线。即 P| |PF1|-|PF2|=2a, (2a1 时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆： 22 22 1 xy ab （ab0）或 22 22 1 yx ab （ ab0） （其中， a2=b2+c2） 2.双曲线： 22 22 1 xy ab （a0, b0）或 22 22 1 yx ab （a0, b0） （其中， c2=a2+b2） 3.抛物线： y2= 2px（p0） ， x2= 2py（p0） 三

5、、圆锥曲线的性质 知识要点： 1.椭圆： 22 22 1 xy ab （ab0） （1）范围： |x| a，|y| b（2）顶点： ( a,0)， (0, b) （3）焦点： ( c,0) （4）离心率： e= (0,1) （5）准线： 2 a x c 2.双曲线： 22 22 1 xy ab （a0, b0） （ 1）范围： |x| a, yR （2）顶点： ( a,0) （3）焦点： ( c,0) （ 4）离心率： c e a(1,+ ) （5）准线： 2 a x c （6）渐近线： b yx a 3.抛物线： y2=2px(p0) （1）范围： x0, y R （2）顶点：（0,0）（3

6、）焦点：（ 2 p ,0） （ 4）离心率： e=1 （5）准线： x=- 2 p 主要题型： （1）定义及简单几何性质的灵活运用； （2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。 【例 1】若 F1、F2 为双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上， 点 M 在双曲线的右准线上，且满足： )(, 1 1 1 OM OM OF OF OPPMOF )0( ， 则该双曲线的离心率为（） A 2 B 3 C2D 3 【例 3】如图 1，已知 A、B、C 是长轴为 4 的椭圆上三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中 心 O，且 0AC

7、BC ， 2BCAC 。 （1）建立适当的坐标系，求椭圆方程； （2）如果椭圆上两点P、Q 使直线 CP、CQ 与 x 轴围 成底边在x 轴上的等腰三角形，是否总存在实数 使 PQAB ？请给出证明。 第十七讲圆锥曲线的定义、性质和方程(二) 【例 5】已知椭圆 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴 作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。 （1）求椭圆的离心率e； （2）设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右焦点，求F1QF2 的取值范围； 【例 8】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴

8、上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3， 最小值为1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点（ A,B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的图过椭 圆 C 的右顶点求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 自我提升 1.已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆 2 3 x y 21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦 点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 ( ) （A）23 （B）6 （C）43 （D）12 2如果双曲线的两个焦点分别为 )0, 3( 1 F 、 )0, 3( 2 F ，一条渐近线方程为 xy2 ，那么

9、它的两条 准线间的距离是（） A 36 B 4 C2 D1 3抛物线y=4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是 ( ) 图 1 ( A ) 16 17 ( B ) 16 15 ( C ) 8 7 ( D ) 0 4双曲线的虚轴长为4，离心率 2 6 e ，F1、F2 分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线 的左支交于A、B 两点，且 |AB|是|AF2|与 |BF2|的等差中项，则 |AB|为（） . A、 28 B、 24 C、 22 D、8 5已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ 2 3，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准 方程是 6 过椭圆左焦

10、点F， 倾斜角为60 的直线交椭圆于A、 B 两点，若|FA|=2|FB|， 则椭圆的离心率为( ) (A) 2 3 (B) 2 3 (C) 1 2 (D) 2 2 7椭圆+=1 的离心率e=，则 m=_ 。 8 F1、F2是椭圆 1 b y a x 2 2 2 2 （ab0）的两焦点，过F1的弦 AB 与 F2组成等腰直角三角形ABF2， 其中 BAF 2=90 0，则椭圆的离心率是 _ 第十八讲向量与圆锥曲线（一） 知识要点： 1直线与圆锥曲线的公共点的情况 0 0),( 0 2 CBxAx yxf cbyax 曲线： 直线： )0( 2 CyByA或 （1）没有公共点 方程组无解 （2）

11、一个公共点 0,0) 0) Aii Ai 相切 相交 （3）两个公共点 0,0A 2连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦 长，常用的弦长公式： 2 12122 1 11ABkxxyy k 3以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 主要题型： 1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题； 4中点问题；5定比分点问题； 6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，

12、如求轨迹方程， 圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质， 直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 【例 3】椭圆 22 22 1( ,0) xy a b ab 的两个焦点F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1 F1F2，| PF1|=3 4 ， | PF2|= 3 14 . （I）求椭圆C 的方程； （II）若直线l 过圆 x 2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且A、B 关于点 M 对称，求直 线 l 的方程。 自我提升 1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知 A（3，1） ， B（-1，3） ，若点 C

13、 满足 OBOAOC ， 其中R，且=1，则点 C 的轨迹方程为( ) A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=0 2、中心在原点， 焦点在坐标为 (0， 5 2 )的椭圆被直线3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为 2 1 ， 则椭圆方程为( ) 22222222 2222 A.1 B.1C.1 D.1 2575752525757525 xyxyxyxy 3、直线 y=kx+1 与椭圆 1 5 22 m yx 恒有公共点，则m 的取值范围是（）. A、 m 1且 m 5 B、 m 1 C、m 5 D、m 5 4、 已知 ji , 是 x

14、,y 轴正方向的单位向量， 设a= j y ix)3( , b = j y ix)3( ,且满足 |a|-|b|=2. 则点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为 _. 5.已知椭圆 2 2 1 2 x y ，过 P(1,0)作直线l，使得 l 与该椭圆交于A,B 两点， l 与 y 轴的交点为Q， 且 AQPB ，求直线l 的方程。 第二十一讲圆锥曲线中的最值和范围问题（一） 高考在考什么 【考题回放】 1已知双曲线 1 2 2 2 2 b y a x (a0,b0)的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60 的直线与双曲线的右 支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2

15、) B. (1,2) C. 2,) D.(2,+) 2 P 是双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点，M、 N 分别是圆 (x5)2y24 和(x 5)2y2 1 上的 点，则 |PM|PN|的最大值为（） A. 6 B.7 C.8 D.9 3抛物线y=-x2 上的点到直线4x+3y-8=0 距离的最小值是( ) A 4 3 B 7 5 C 8 5 D 3 4已知双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 在双曲线的右支上，且 |PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（） (A) 4 3 (B) 5 3 (C) 2 (D

16、) 7 3 5已知抛物线y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点，则y12+y22 的最小 值是. 6对于抛物线y2=4x 上任意一点Q，点 P（a，0）都满足 |PQ|a|，则 a 的取值范围是( ) （A） （， 0）（B） （， 2 （C） 0，2（D） （0，2） 高考要考什么 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式 （组） ，通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）

17、函数值域求解法： 把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式0。 第十六讲圆锥曲线的定义、性质和方程(一) 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8. 2 【

18、例 1】C 【例 3】解：（1）以 O 为原点， OA 所在的直线为x 轴建立如 图直角坐标系，则A（ 2，0） ，椭圆方程可设为 22 2 1(02) 4 xy b b 。 而 O 为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB| 又 0ACBC ，所以 AC BC 又 2BCAC ，所以 |OC|AC|， 所以 AOC 为等腰直角三角形，所以点C 坐标为（ 1，1） 。将（ 1，1）代入椭圆方程得 2 4 3 b ，则 椭圆方程为 22 3 1 44 xy 。 （2）由直线CP、CQ 与 x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线CP 的斜率为k，则直线CQ 的斜率为 k，直线 CP 的方程为y

19、-1=k(x-1) ，直线 CQ 的方程为y-1=-k(x-1) 。由椭圆方程与直线CP 的方程联立，消去y 得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 因为 C（1，1）在椭圆上，所以x1 是方程的一个根，于是 2 2 361 13 P kk x k 同理 2 2 361 13 Q kk x k 这样， 1 3 PQ PQ PQ yy k xx ， 又 B（ 1， 1） ，所以 1 3 AB k ， 即 kAB=kPQ 。所以 PQAB，存在实数使 PQAB 。 第十七讲圆锥曲线的定义、性质和方程(二) 【例 5】解：（1） a b ycxcF MM 2 1 ,),0,(

20、则 ， ac b kOM 2 。 ABOM a b kAB 与, 是共线向量， a b ac b 2 ， b=c,故 2 2 e 。 （2）设 112212 1212 , 2 ,2 , FQrF QrF QF rra F Fc 2222222 12121 2 2 12 1 21 21 2 4()24 cos110 22 () 2 rrcrrr rcaa rr r rrrr r 当且仅当 21 rr 时， cos=0， 2 ,0 。 【例 8】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3， 最小值为1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l：y=k

21、x+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点（ A,B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的图过椭 圆 C 的右顶点求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 解： （I）由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由已知得： 3ac ， 1ac ， 2a ， 1c ， 222 3bac 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （）设 11 ()A xy， ， 22 ()B xy， ， 联立 22 1. 43 ykxm xy ， 得 222 (34)84(3)0kxmkxm ， 222222 122 2 12 2 6416(34)(3)0340 8 34 4(3) . 3

22、4 m kkmkm mk xx k m xx k ，即，则 ， 又 22 22 121212122 3(4) ()()() 34 mk y ykxm kxmk x xmk xxm k ， 因为以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点 (2 0)D， ， 1 ADBD kk ，即 12 12 1 22 yy xx ， 121212 2()40y yx xxx ， 222 222 3(4)4(3)16 40 343434 mkmmk kkk ， 22 71640mmkk 解得： 1 2mk ， 2 2 7 k m ，且均满足 22 340km ， 当 1 2mk 时， l 的方程为 (2)yk x ，直线

23、过定点 (2 0)， ，与已知矛盾； 当 2 2 7 k m 时， l 的方程为 2 7 yk x ，直线过定点 2 0 7 ， 所以，直线 l 过定点，定点坐标为 2 0 7 ， 自我提升1.C 2.C 3.B 4.A 5. 2 2 1 164 y x 6.B 7. m=8 或 2 8. 36 第十八讲向量与圆锥曲线（一） 【例 3】解法一： ( )因为点 P 在椭圆 C 上，所以 62 21 PFPFa ， a=3. 在 RtPF1F2 中， ,52 2 1 2 221 PFPFFF 故椭圆的半焦距c= 5 , 从而 b2=a2c2=4, 所以椭圆 C 的方程为 49 22 yx 1. (

24、)设 A， B 的坐标分别为（x1,y1） 、 （ x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M 的坐标为（2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k 27=0. 因为 A，B 关于点 M 对称 . 所以 .2 94 918 2 2 2 21 k kkxx 解得 9 8 k ， 所以直线l 的方程为 , 1)2( 9 8 xy 即 8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 解法二： ()同解法一 . ()已知圆的方程为（x+2）2+(y 1)2=5,所以圆心 M 的

25、坐标为（2，1）. 设 A，B 的坐标分别为（x1,y1 ）,(x2,y2). 由题意 x1x2 且 , 1 49 2 1 2 1 yx ,1 49 2 2 2 2 yx 由得 .0 4 )( 9 )( 21212121 yyyyxxxx 因为 A、B 关于点 M 对称，所以x1+ x2= 4, y1+ y2=2, 代入得 21 21 xx yy 9 8 ，即直线 l 的斜率为 9 8 ， 所以直线l 的方程为y19 8 （x+2） ，即 8x 9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.) 自我提升1.D 2.C 3.A 4. 2 2 1(0) 2 y xx 5.解：直线 l 过 P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1) ， 因为 AQPB ，所以AB 的中点与PQ 的中点重 合. 由 2 2 1 2 (1) x y yk x 得 (1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以 2 2 4 12 AB k xx k ，又 xP+xQ=1 故 2 2 4 1 12 k k 得 2 2 k ，所求的直线方程为 2 (1) 2 yx 第二十一讲圆锥曲线中的最值和范围问题（一） 1.C 2.D 3.A 4.B 5.32 6.B