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1、20192019年学年度上学期四调考试 高三年级理科数学试卷 答题时间： 120 分钟满分： 150 分 一、选择题（每小题5分，共 60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答 案的序号填涂在答题卡上） 1已知命题“012, 2 axxxR”是真命题，则实数a的取值范围是（） A)1,(B), 1(C), 1()1,( D （ 1，1） 2. 已知 f(x)= 2x+1 x 2的导函数为( )fx，则( )fi（i为虚数单位）的值为（） A. 12i B.22i C. 2+2i D.22i 3. 设双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b x a y 的渐近线与抛物线1 2 x
2、y相切，则该双曲线的离心 率等于（） A5 B 2 5 C6 D 2 6 4. 已知函数)(Rxxfy的图像如图所示，则0)( / xxf的 解集为 ( ) A)2, 3 1 () 3 1 ,( B.)2, 3 1 ()0 ,( C.), 3 1 () 3 1 ,( D.),2() 3 1 ,( 5若某多面体的三视图( 单位 : cm) 如图所示, 则此多面体的体积是 （） A2cm 3 B 2 3 cm 3 C 1cm 3 D 1 3 cm 3 6. 设A为圆 22 8xy上动点， B（2，0） ，O为原点，那么OAB的最大值 为（） 第 5 题 1 0 -1 2 y 3 x 3 1 第 4
3、 题 A90B60C45D30 7. 已知 12020 1 ,cos 15sin 15Mx dxN , 则 ( ) A. MN B. MN C. MN D. 以上都有可能 8实数yx,满足条件 2, 4, 20, x xy xyc 目标函数3zxy的最小值为5，则该目标函数 yxz3的最大值为 ( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 9. 已 知ABC中 ，4,43ABACBC， 点P为BC边 所 在 直 线 上 的 一 个 动 点 ， 则 ()APABAC满足（） A.最大值为16 B.最小值为4 C.为定值 8 D.与P的位置有关 10. 若关于 x 的不等式2 2 x|x
4、 a| 至少有一个负数解，则a 的取值范围为（） A. 9 ,2 4 B. 5 ,2 4 C. 7 ,2 4 D. 7 ,3 3 11. 设函数fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，fx单调递减，若数列 n a是等 差数列，且 3 0a，则 12345 faf afaf afa的值（） A. 恒为正数B.恒为负数C.恒为 0 D.可正可负 12如图，在长方形ABC D中， AB=3，BC=1 ，E为线段 DC上一动点，现将AED沿 AE折起， 使点 D在面 ABC上的射影K在直线 AE上，当 E从 D运动到 C，则 K所形成轨迹的长度为( ) A 2 3 B 3 32 C 2 D 3 第 12
5、 题 第 12 题 卷（主观题共 90 分） 二、填空题（每题5 分，共 20 分，注意将答案写在答题纸上） 12. 设 曲 线 1( ) n yxn * N在 点 （ 1 ， 1 ） 处 的 切 线 与x轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 n x, 201212012220122011 logloglogxxx的值为 13函数)0(cossinabxbxay的图像的一条对称轴为 4 x, 则以),(baa为方向 向量的直线的倾斜角为 14、已知以 F 为焦点的抛物物 2 4yx上的两点A、B满足3AFFB，则弦 AB的中点到准线 的距离为。 16、给出下列四个命题： 函数f（x） lnx2x
6、在区间（ 1 , e）上存在零点； 若 0 ()0fx，则函数yf（x）在xx0处取得极值； 若m 1，则函数 2 1 2 log (2)yxxm的值域为R； “ a=1”是“函数 x x ae ea xf 1 )(在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。 其中正确的是。 三、解答题（本大题共6 个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本题满分12 分） 己知在锐角 ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 222 tan. ab C abc （）求角C大小； （）当 1c 时，求 22 ab 的取值范围 . 18. （本题满分12 分） 已知数列 n
7、 a是首项 1 1 4 a的等比数列，其前n项和 n S中 3 S， 4 S， 2 S成等差数列， （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 2 log nn ba，若 12231 111 n nn T bbb bb b ，求证： 11 62 n T 19. （本题满分12 分） 如图一，平面四边形 ABCD关于直线AC对 称，60 ,90 ,AC 2CD。 把 ABD沿BD 折起（如图二），使二面角 CBDA的余弦值等于 3 3 。对于图二， （） 求AC； （） 证明： AC 平面BCD； （）求直线AC与平面ABD所成角的正弦 值。 20 （本小题满分12 分） 设直线:0lxym
8、与抛物线 2 :4Cyx交于不同两点A、B，F 为抛物线的焦点。 （1）求ABF的重心 G的轨迹方程； （2）如果2,mABF求的外接圆的方程。 21 ( 本题满分12 分) 设函数 2 )ln()(xaxxf， （1）若0,0,am求f(x) 在(0)m上的最大值().g m （2）若( )f x在区间 1 ，2 上为减函数，求a 的取值范围。 （3）若直线yx为函数( )fx的图象的一条切线，求a 的值。 请考生在第（ 22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 （22） （本小题满分10 分）选修41：几何证明选讲 w .w.w.k.s.5.u.c.o
9、.m 已知ABC中， AB=AC, D 是ABC外接圆劣弧AC弧上的点（不与点A,C重合） ，延长 BD 至 E。 （1）求证： AD 的延长线平分CDE ； （2）若BAC=30，ABC中 BC边上的高为2+3， 求ABC外接圆的面积。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （23） （本小题满分10 分）选修44 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 cos（ 3 ）=1， M,N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点。 （1）写出 C的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； w.w.w.k.s.5.u.c.o
10、.m （2）设 MN 的中点为P，求直线 OP 的极坐标方程。 （24） （本小题满分10 分）选修45：不等式选讲 已知 x，y，z 均为正数求证： 111 . xyz yzzxxyxyz 高三理科四调数学测试题参考答案 CDBBB CBACA AD 13. 114. 4 3 15. 3 8 16. 17.（）由已知及余弦定理，得 sin1 ,sin, cos2cos2 Cab C CabC 因为C为锐角， 所以30 .C 4 分 （）由正弦定理，得 1 2 1 sinsinsin 2 abc ABC ， 2sin,2sin2sin(30 ).aA bBA 6 分 22221cos21cos
11、(260 ) 4sinsin (30 )4 22 AA abAA 11 13 41cos2(cossin2)42 3sin(260 ). 22 22 AAAA 9 分 由 090 , 015090 A A 得 6090 .A 10 分 60260120 ,A 223 sin(260 )1.742 3. 2 Aab 12 分 18. 解： （1）若1q，则 342 31 1, 42 SSS，显然 3 S， 4 S， 2 S不构成等差数列 1q ， 1 分 当1q时，由 3 S， 4 S， 2 S成等差数列得 432 111 (1)(1)(1) 2 111 aqaqaq qqq 432 2qqq
12、2 210qq(21)(1)0qq， 1q 1 2 q 4 分 11111 ()() 422 nn n a 6 分 （2） 1 11 22 1 loglog()1 2 n nn ban 7 分 1 1111 (1)(2)12 nn b bnnnn n T 1 2231 111 nn bbb bb b 111111 ()()() 233412nn 11 22n 10 分 1 1 0 (2)(3) nn TT nn ， n T是递增数列 11 分 1 11 , 62 nn TTT 12 分 19. 解： （）取 BD的中点E，连接 CEAE,， 由CDCBADAB,，得：BDCEBDAE, AEC
13、就是二面角CBDA的平面角， 3 3 cosAEC 2分 在ACE中，2,6 CEAE AECCEAECEAEACcos2 222 4 3 3 26226 2AC4 分 （）由 22BDADAC ，2CDBCAC , 222 ABBCAC, 222 ADCDAC 90ACDACB ,ACBC ACCD ，又CCDBCAC平面BCD8 分 （）方法一：由（）知BD平面ACEBD平面ABD 平面ACE平面ABD平面ACE平面AEABD， 作CFAE交AE于F，则CF平面 ABD， CAF就是AC与平面ABD所成的角 3 sinsin 3 CE CAFCAE AE 12 分 方法二：设点C到平面 A
14、BD的距离为h， BCDAABDC VV 1111 2 222 sin60222 3232 h 2 3 3 h于是AC与平面ABD所成角的正弦为 3 3 sin AC h 方法三： 以CACDCB,所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系xyzC，则 )0,2,0()0 ,0 ,0(),0,0,2(),2,0 ,0(DCBA 设平面 ABD的法向量为 n ),(zyx，则 n0AB ， n0AD ，022,022zyzx 取1zyx，则 n )1 ,1 , 1( ，于是AC与平面 ABD所成角 的正弦即 3 3 23 |200| | | sin CAn CAn 20. 解：设 11y
15、xA， 22, y xB，0, 1F，重心yxG,， 044 0 4 2 2 myy myx xy 0m1 且1m（因为 A、B、F 不共线） 故 3 4 3 3 25 3 12 3 1 21 2121 yy y m myyxx x 重心 G的轨迹方程为 3 7 1 3 4 xxy且 6 分（范围不对扣1 分） 2m，则084 2 yy，设AB中点为 00,y x 2 2 21 0 yy y42 00 mmyx 那么 AB的中垂线方程为06yx 令 ABF外接圆圆心为aaC6, 又64 1 1 212 yy k AB，C到 AB的距离为 2 82a d 22 2 2 61 2 82 62aa
16、a CFCA 2 19 a 2 7 , 2 19 C 2 169 2 7 2 17 22 2 CF 所求的圆的方程为 2 169 2 7 2 19 22 yx 12 分 21. 解： 2 ln)(xxxf，0x, 令0 21 2 1 2 x x x x xf 2 2 0xxf在 2 2 ,0为增函数，同理可得xf在, 2 2 为减函数 故 2 2 0m时，xf最大值为 2 ln)()(mmmfmg 当 2 2 m时，xf最大值为 2 1 2 2 ln) 2 2 ()(fmg 综上： 2 2 , 2 1 2 2 ln 2 2 0,ln 2 m mmm mg 4 分 xf在1 ，2 上为减函数 2
17、, 1x有0ax恒成立1a 且02 1 ,2, 1x ax xfx恒成立 x x a 2 1 ，而x x y 2 1 在1 ，2 为减函数， 2 1 a，又1a 故 2 1 a为所求 8 分 设切点为 00,x xP 则 0 00 0 0 21 1 12 1 1 x axx ax xf 且 0 2 0000 lnxxaxxxf 0 2 0 0 21 1 lnxx x 即：021ln 0 2 00 xxx 再令xxxxh21ln 2 ， 2 1 x 0 21 2 21 x xxh xh为增函数，又00h 00 00 xxh 则1a为所求 12 分（不证明单调性扣1 分） （22）解： （）如图，
18、设F 为 AD 延长线上一点 A，B，C，D 四点共圆， CDF = ABC 又 AB=AC ABC= ACB, 且 ADB= ACB, ADB= CDF, 对顶角 EDF= ADB, 故 EDF= CDF, 即 AD的延长线平分CDE. 5 分 （）设 O为外接圆圆心， 连接 AO交 BC于 H,则 AH BC. 连接 OC,A由题意 OAC= OCA=15 0, ACB=750, OCH=60 0. 设圆半径为r, 则 r+ 2 3 r=2+3,得 r=2, 外接圆的面积为4。 10 分 （23）解： （）由得1) 3 cos(1)sin 2 3 cos 2 1 ( 从而 C的直角坐标方程
19、为 ) 2 , 3 32 ( 3 32 2 );0,2(20 231 2 3 2 1 N M yxyx ，所以时， ，所以时， 即 5 分 （） M点的直角坐标为（2，0） N点的直角坐标为) 3 32 ,0( 所以 P点的直角坐标为 ), 6 , 3 32 (), 3 3 .1(点的极坐标为则P 所以直线OP的极坐标方程为),(, 10 分 (24) 证明因为 x，y，z 无为正数所以 12 () xyxy yzzxz yxz ， 4 分 同理可得 22yzzx zxxyx xyyzy ，7分 当且仅当xyz 时，以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 111xyz yzzxxyxyz 10 分