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1、看 2019 年广东高考，谈运算求解能力的培养 广东中山市一中李启龙 一个统计数据 文【 1】中表 3 理科各大题的相关数据（抽样统计的结果） 题号平均分标准差难度 16 10.22 3.33 0.85 17 10.17 3.35 0.78 18 5.84 3.89 0.45 19 2.53 3 0.18 20 1.6 1.94 0.11 21 0.56 0.91 0.04 这表明一个事实2019 年广东省高考数学题难！ 一次特别测试 时间： 2019 年 9 月 8 日下午四点四点半 地点：中山一中数学竞赛课室 测试内容： 2019 年广东省高考数学第21 题 参加学生：中山一中高二、高三数
2、学竞赛全体同学 编号： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分： 3 7 5 8 4 5 6 7 6 7 7 6 这表明一个事实2019 年广东省高考数学题运算量大！ 一个真实故事 2019 年 9 月，我任教高一竞赛班数学。有一个同学解一元二次方程 2 430xx，这位同 学没有用十字相乘法，也没有用求根公式，她使用的是她最擅长的方法配方法。 这表明一个事实，我们的学生运算方法差！ 文【 1】中指出，新课程标准对于运算求解能力的要求较传统课程的要求大为降低，这 在教学实践中也产生了一定负面影响。在教学实践中， 数学教师尤其是初中数学教师对运算 要求的降低，学生的运算能力也
3、有一定程度的下降。 文【 1】中又指出，针对这一薄弱点，2019 年试题加大了对运算求解能力的考查，有利 于发挥积极的引导作用。 文【 1】提醒我们不得不承认，当前学生的运算能力确实比较弱，从近几年高考答卷情 况容易看出。因此，对于运算求解能力的考查，应该呈现出一个逐步加强的过程。 中学数学教师如何迎接逐步加强运算求解能力的考查的挑战！ 1、 代数运算中注意对“形”的理解和应用，是提高运算能力的有效方法。 围棋之战中，双方都十分注意棋形的好坏，好的“棋形”进可攻退可守。做平面几何题尤其 要注意“直观” ，当直观被隐藏起来以后，要添加辅助线，把原图补成一个“好形”。这样做 问题便可以迎刃而解。代
4、数也讲究“形”，什么是代数的形？先看一个例子：设,a bR 求 211 () a aba ab 的最小值。将上式变形为： 1111 ()() ()() a abba abab aba ababa ab 用均值不等式即可。 培养学生对形的感悟十分重要。代数运算中注意对“形” 的理解和应用，是提高运 算能力的有效方法。 高中阶段的代数运算主要是“变形”，如何在变形的过程中得到“好形”和运 用“好形”解决问题值得研究。 例如： 2019 年广东省高考理科数学第20 题 设0b,数列 n a满足 1 ab, 1 1 2 22 n n n nba an an (1) 求数列 n a的通项公式 ; (2)
5、 证明 :对于一切正整数n, 1 1 1 2 n nn b a. 一个具有较好数学素养的同学在学习了等差数列和等比数列后,他们获得地应该是一些 数学模型 :如等差数列模型,等比数列模型,递推模型 ,迭加模型 ,累加模型 ,累乘模型 ,等差与等 比积模型 ,换元后等差(或等比 )模型 ,可归纳模型等等.在数学运算过程中能走近模型,无疑这 些变形会产生 ” 好形 ” . 由 1 1 2 22 n n n nba an an 联想 1.递推模型 : 1 121 nn nn abb a “好形 ” 2.等比模型 :令 n n n A a , 1 12 12 12 nn nn AA bb AA bb ,
6、 1 12 2 nn nn AA AAb “好形 ” 3.换元模型 : 1 1 1 1 1 21 2 1 n nn n n a b aba n a nan n “ 好形 ” 4.归纳模型 : 1 ab 2 2 2 2 b a b 3 3 222 3 22 b a bb 猜想 : 1221 222 n n nnnn nb a bbb “好形” 我们在课堂教学中注意引导学生认识什么是“好形 “,总结好形在运算中的作用, 学生的 运算能力会不断增强。 2、 加强 “通性 ” “通法”的训练，是提高运算能力的有效途径 （1）数学归纳法是数学的基本方法，与自然数的无限子集有关的命题可以使用 数学归纳法。
7、运用第一数学归纳法证明等式、不等式是高中数学教学的基 本要求。 教学片段一：能否用数学归纳法 用数学归纳法证明： 222 111 1 23n 学生：不能用数学归纳法 教师：为什么？ 学生：做不了 教师：不可能，与自然数有关的命题都可以使用数学归纳法 学生：真的做不了，不能用归纳假设 教师：为什么不能用归纳假设？ 学生：不等式右边不含n 学生：顿悟！啊！可以在不等式右边补含n的式子 222 1111 1 23nn 再看一个例子：06 高考题有一问是要证： 2 1111 (1)(1).(1) 3332 n 加强命题： 22 1111111 (1)(1).(1)() 3332333 nn 先证引理：
8、 1212 (1)(1).(1)1(.) nn xxxxxx (0,1 ,1,2,.,) i xin （2） 换元法 化繁为简，透析本质 2019 广东高考理数21：已知曲线 22 :20(1,2,) n Cxnxyn从点( 1,0)P向 曲线 n C引斜率为(0) nn kk的切线 n l，切点为(,) nnn Pxy （1）求数列 nn xy与的通项公式； （2）证明： 13521 1 2sin 1 nn n nn xx x xxx xy . 简 析 : 由 于 n n n n x x ny x 1 1 12 1 ， 可 令 函 数xxxfsin2)(， 则 有 12 1 sin2 12
9、1 nn ，即 n n n n y x x x sin2 1 1 . 又2019年全国高中数学联赛一试:4.如果 5533 cossin7(sincos),0,2,那么的取值范围是 简析 : 不等式 5533 cossin7(sincos),0,2等价于 3535 11 sinsincoscos 77 又 35 1 ( ) 7 f xxx是R上的增函数 ,所以sincos （3）导数法 导数是研究函数的有力工具。既可以研究函数的局部性质，例如， 函数在某点的切 线的斜率， 函数的极值等等；也可以研究函数的整体性质，例如，函数在某个区间 上的单调性等等。既有定量也有定性。利用导数是研究函数的方法
10、是表格法。 然而，列表格的关键是导函数的零点可求。如果导函数不是初等函数，是超越函数， 导函数的零点不能量化，怎么办？我们在训练中要注意：用“二分法”估计零点。 利用函数的单调性,可以选择其单调区间的子区间,或定义域的子集. （4）分类法 解不等式重点是一元一次不等式(组 ),一元二次不等式(组 )和可化为一元一次 不等式 (组 ),一元二次不等式(组)的不等式都需要分类,处理含有绝对值的问题的一 般方法分类讨论去掉绝对值符号。教学中注意总结分类标准,如按余数分类(分 奇偶等 );按性质分类 (如等比数列的公比,直线的斜率等 );按零点分类； 按判别式分类 等等。 3、 “重予规”， “示以巧
11、”，让学生在运算过程中苦中有乐！ 教学片段二：如何化简 师生：由椭圆的定义得到 2222 ()()2xcyxcya 师生：移项 2222 ()2()xcyaxcy，有利于两边平方 师生： 2222 ()()2xcyxcya可以直接两边平方 师生：观察方程，令 22 ()xcyatx， 22 ()xcyatx分别平方 教学说明：上式从几何意义上讲是“好形”，但是方程不能叫椭圆的标准方程，需要化 简。学生比较害怕含有两个根号的式子，按定势思维一般变形为式，然后两边平方不难得到 椭圆的标准方程。 培养运算能力就是要在难受的地方让学生多吃点苦。老师千万不能包办代 替，此时此刻教师的责任就是等待！教师建
12、议不移项直接两边平方看看行不行。让学生 在吃点苦！学生演算过后很惊奇,过程并不麻烦！这样做给学生一些积极的心理暗示和一些 战胜两个根号的勇气。其实，事情并没有结束，方程式不仅从几何意义上讲是“好形”，从 代数上看是一个对偶式，作 22 ()xcyatx， 22 ()xcyatx变换可以简 化运算。教学中，教师既有“重规”，也有“示巧” ，让学生在运算过程中苦中有乐！ 解析几何问题的运算量特别大，造成运算量大原因是在坐标化的过程中，用怎样的代数 形式表达几何图形。 例如，直线有一般式、 两点式、点斜式、斜截式、截距式。 还有xmyb 什么都不是。 教学片段三：妙在一“设” 中心在原点O，焦点在坐
13、标轴上的椭圆与直线1xy交于,A B两点，M为AB的中 点，直线 OM 的斜率为 2 2 ，且OA OB，求椭圆的方程。 教师：求曲线方程一般分两类，曲线未知用“五步”法；曲线已知用待定系数法；本题 要设椭圆方程。 学生甲：先设 22 22 1 xy ab 再设 22 22 1 yx ab 运算量大 学生乙：设 22 1(0,0) xy mn mn 避免了讨论 学生丙：设 22 1(0,0)AxByAB避免了讨论，运算量小 解析几何问题的运算有句名言：设而不求。 为什么设了不求呢？这是个非常有意识的问 题，是求不出来，还是难得求出来，还是不需要求出来。事实上，这里有一个窍门，对称式 都可以用基
14、本对称式表示。显然二元对称式都可以用二元基本对称式表示。几何条件许多是 可以转化为二元对称式，这是解析几何问题的基本特征。只有这样我们的课堂教学才会 有效、高效！ “同理可得”是数学的一大特点，在数学问题中有些问题“同态“，有些问题“同构”。 准确地使用同理是简化运算的一种手段。教学片段四：可不可以“同理”？ 人教版选修21 第 50 页B组 4.如图，矩形ABCD中，8,6. ,ABBCE F G H分 别是矩形四条边的中点，, ,R S T是线段OF的四等分点， ,RST 是线段 CF的四等分 点，请证明直线 ER与GR 、ES与GS、ET与GT的交点都在椭圆 22 1 169 xy 上。
15、 略解：设 (4 ,0),(4,33 ),PtPtEPGPQ故当 1 1 3 , 4 2 4 t时，,QL MN 直线 3 :3 4 EP yx t 直线 3 :3 4 t GPyx 联立方程组 3 3 4 3 3 4 yx t t yx 将联立方程组中的t消去就是椭圆 22 1 169 xy . 教学中在运用“同理可得”的时候也存在风险。还有一些如“类似地可得”,“不妨设” 等等，也是很值得注意。 4、 运算能力的培养，要防止在重要关节处马虎草率，囫囵吞枣 新课程指出高中数学课程的基础性，包括， 在义务教育阶段之后，为学生适应现代 生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素
16、养。有价值的思维 活动依赖于好的数学问题。思维活动的展现依赖于好的运算。一个含有思维活动的运算 恰恰这些是提高学生数学素养之所在。 教学片段五：教还是不教渐近线的证明“夹逼原理” 为什么 b yx a 是双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线 教师：为什么 b yx a 是双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线 学生：当x时， 22 22 1 xy ab 与 b yx a 无限接近于零 教师：计算点 00 (,)M xy到直线 b yx a 的距离 学生甲： 22 00 22 axxa b d a ab 学生乙：“变形”得到的不是“好形” 学生丙： 22 0 2222 00 1ax
17、a b d a ab axxa 学生丁：“变形”得到的也不是“好形” 师 生 共 同 探 讨 ： 设,Mx y在 双 曲 线 上 ，,NxY在 直 线 上 ， 22 ab MNYy xxa ，这是“好形” ！当x时，MN无限接近于零。 注意到：0dMN这里根据“夹逼原理”可得，当x时，d无限接近于 零。 “夹逼原理”在技巧上使用了不等式的“放缩”，在思想方法上是“转化”。当我们的教 学已经走进了学生的“最近发展区” 的时候， 要把握机遇。往往这种机遇比我们刻意去营造 的效果更好！ 参考文献 1吴有昌 .回归传统回归课本 -2019 年高考数学广东卷试题和答卷分析J中学数学研 究,2019(8) 2中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验 )S人民教育出版社,2003.