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1、宁波市 2019 年高三模拟考试卷 高三数学 ( 理科 ) 说明：本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，共150 分 考试时间120 分钟 注意：本卷考试时间120 分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上 参考公式： 如果事件 A，B互斥，那么 棱柱的体积公式 VSh P ABP AP B其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 如果事件 A，B相互独立，那么 棱锥的体积公式 1 3 VS h P A BP AP B其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 在 n 次独立重复试验中事件 A恰好 棱台的体积公式 1122 1 3 VhSS SS 发生k次的概率是1 n k kk n C
2、 pk，其中 12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中 p表示在一次试验中事件A发生的概率h表示棱台的高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 第卷（选择题共 50 分） 一、选择题 ：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1、若(2 )ai ibi，其中,a bR，i是虚数单位，则复数abi （ A）12i（ B）12i（C）12i（D）12i 2、已知集合 222 2,(1) ,33,(1) ,5AaaaaBa，若1 AB， 则实数a的值为 （ A）0（B）1（C）2（D）2或
3、0 3、若函数 3 2 (6); ( ) log(6), xx f x xx 则(2)ff等于 （ A）4（B）3（C）2（ D）1 4、等比数列的首项为1，项数是偶数， 所有的奇数项之和为85， 所有的偶数项之和为170， 则这个等比数列的项数为 （ A）4（B）6（C）8（ D）10 5、阅读右边的程序框图，若输入的100N， 则输出的结果为 （A）50（B） 101 2 （C）51（D） 103 2 6、已知,表示两个互相垂直的平面， ba,表示一对异面直线，则ba的 一个充分条件是 （A）ba,/（B）/,/ba （C）/,ba（D）ba, 7、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时， 供
4、给量相应增加，而需求量相应减少， 具体结果如下表： 表 1 市场供给表 表 2 市场需求表 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）大约为 （ A）2.3元（B）2.5元（C）2.7元（D）2.9元 8、若两个非零向量,a b满足2ababa，则向量ab与ab的夹角是 （A） 6 （B） 3 （C） 2 3 （D） 5 6 9、已知)(xfy是偶函数，而)1(xfy是奇函数，且对任意10x， 都有0)( xf，则) 15 106 (), 17 101 (), 19 98 (fcfbfa的大小关系是 （ A）cab（B）cba（C）acb（ D）abc 单价（元kg/）
5、 24.28.22 .36 .34 供给量 （kg1000） 506070758090 单价（元kg/） 44.39.26 .23.22 需求量 （kg1000） 506065707580 10、若 52345 012345 (23)xaa xa xa xa xa x，则 12345 2345aaaaa等于 （ A）10（B）5（C）5（D）10 第 II 卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分 11、某校在“五四”青年节到来之前，组织了一次关于“五四运动”的知识竞赛在参加 的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答对的题数如下： 答对5
6、题的有10 人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人； 答对10题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大 约为 题 12、已知双曲线)0(1 9 2 22 m m xy 的 一个顶点到它的一条渐近线的距离 为1，则m 13、某个几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，其中正视图与侧视图是 完全相同的图形，则这个几何体的 体积为 3 cm 14、在ABC中，角CBA,所对的边 分别为cba,，若CBA,成等差 数列，且1b，则ABC面积的 最大值为 15、在计算“ 111 1 223(1)n n )(Nn”时，某同学学到了如下
7、一种方法： 先改写第k项： 111 (1)1k kkk ，k *s*5*u 由此得 111 1212 ， 111 2 323 ， 111 (1)1n nnn ， 相加，得. 11 1 1 )1( 1 32 1 21 1 n n nnn 类比上述方法，请你计算“ 111 1 23234(1)(2)n nn )(Nn” ， 其结果为 16、已知点),(yxP在由不等式组 01 01 03 x yx yx 确定的平面区域内，O为坐标原点， 点)2, 1(A，则 AOPOPcos| 的最大值是 17、过点( ,0)M a的直线交圆 22 :25O xy于点,A B，若16MBMA，则实数 a k *s
8、*5*u 三、解答题：本大题共5 小题，共72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18、 （本小题14 分）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任意取出不同的三个数字 （ 1）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率； （ 2）记取出的这三个数字中奇数的个数为，求随机变量的分布列与数学期望 19、 （本小题14 分）已知函数( )sin()(0,0,) 2 f xAxA的图像 与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别 为 0 (,2)x和 0 (2 , 2)x （ 1）求( )f x的解析式及 0 x的值； k *s*5*u （ 2）若锐角
9、满足 1 cos 3 ，求(4 )f的值 20、 （本小题15 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中 ,BAAD CDAD，2,CDADAB PA底面ABCD，E是PC的中点 （1）求证：BE/平面PAD； （2）若BE平面PCD， 求异面直线PD与BC所成角的余弦值； 求二面角EBDC的余弦值 21、（本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab 的右焦点恰好是抛物线 2 :4Cyx的焦点F， 点A是椭圆E的右顶点过点A的直线l交抛物线C于,M N两点，满足OMON， 其中O是坐标原点 （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ，
10、过点N作x轴平行线NQ，直线BQ与 NQ相交于点Q若QMN是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程 22、 （本小题14 分）设( )ln a f xxx x ， 32 ( )3g xxx （ 1）当2a时，求曲线( )yf x在1x处的切线方程； （ 2）如果存在 12 ,0,2x x，使得 12 ()()g xg xM成立， 求满足上述条件的最大整数M；k *s*5*u （ 3）如果对任意的 1 ,2 2 s t，都有( )( )f sg t成立，求实数a的取值范围 宁波市高三数学 (理科)模拟试卷参考答案 一. 选择题（本大题共10 小题，每小题4分 ,满分 40 分，在每小题给出
11、的四个选项中只有 一项是正确的 ） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B A B C A D C C A D 二 填空题（本大题共4 小题，每小题7 分，满分28 分。 ） 11、712、2 4 3 13、3 3 2 14、 4 3 15、 )2)(1(4 3 2 nn nn 16、5 5 3 17、3 三 . 解答题（本大题共5 小题，满分52 分解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18、 （ 本小题 14 分） （ 1） 2 7 3 9 1 4 C P C ；（6 分） （2） 0 12 3 P 1 21 5 14 10 21 5 42 5 3 E. （14 分）
12、19、 （ 本小题 14 分） k *s*5*u （1）由题意可得：2,2 2 T A，即 2 4 1 2 ， 1 ( )2sin() 2 f xx，(0)2sin1f，由 2 ， 6 . （ 4分） 00 1 ()2sin()2 26 f xx，所以 0 1 2 262 xk， 0 2 4() 3 xkkZ， 又 0 x是最小的正数， 0 2 3 x；（8 分） （2）(4 )2sin(2)3sin 2cos2 6 f， 1 (0,),cos 23 ， 2 2 sin 3 ， 2 742 cos22cos1,sin 22sincos 99 ， 4 274 67 (4 )3 9999 f. k
13、 *s*5*u （14 分） 20、 （ 本小题 15 分） 设,ABa PAb，建立如图的空间坐标系， (0,0,0),( ,0,0)AB a，(0,0,)Pb, (2 ,2,0),(0,2,0)CaaDa，( , ,) 2 b E a a. （1）(0, ,) 2 b BEa，(0,2 ,0),(0,0, )ADaAPb， 所以 11 22 BEADAP， k *s*5*u BE平面PAD，/ /BE平面PAD. （5 分） （2）BE平面PCD，BEPC，即0BE PC (2 ,2 ,)PCaab， 2 2 20 2 b BE PCa，即2ba. )0,2,(),2,2, 0(aaBCa
14、aPD， 2 410 cos, 5 2 25 a PD BC aa ， 所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为 10 5 ；k *s*5*u （10 分） 平面BDE和平面BDC中， (0, , ),(,2 ,0)BEa aBDaa( ,2 ,0)BCaa ， 所以平面BDE的一个法向量为 1 (2,1, 1)n；平面BDC的一个法向量为 2 (0,0,1)n； 12 1 cos, 6 n n，所以二面角EBDC的余弦值为 6 6 （15 分） x z y 21、 （ 本小题 15 分） （1）(1,0)F， 22 1ab，( ,0)A a，设直线:lxamy代入 2 4yx中， 整理得 2
15、440ymya。设 1122 (,),(,)M x yN xy，则 12 12 4 4 yym y ya ， 又 22 1122 4,4yxyx， 22 212 12 16 yy x xa， 由OMON 得 2 1212 40OM ONx xy yaa，解得4a或0a（舍），得 2 15b 所以椭圆E的方程为 22 1 1615 xy . （ 7 分） （2）椭圆E的左顶点( 4,0)B，所以点),4( 2 yQ. 易证QOM,三点共线 . (I) 当QM为等腰QMN的底边时，由于OMON，O是线段MQ的中点， 0 04 4 21 2 1 yy y ，所以0m，即直线MN的方程为4x；（11
16、分） (II) 当QN为等腰QMN的底边时，4 4 2 4 2 2 2 1 yy 又 12 16y y， 解得 32 8 2 2 2 1 y y ， 24 22 2 1 y y 或 24 22 2 1 y y 2 2 m， 所以直线MN的方程为yx 2 2 4，即)4(2 xy；（15 分） 综上所述， 当QMN为等腰三角形时， 直线MN的方程为4x或 )4(2 xy . 22、 （ 本小题 14 分） （1）当2a时， 2 ( )lnfxxx x ， 2 2 ( )ln1fxx x ，(1)2f，(1)1f， 所以曲线( )yf x在1x处的切线方程为3yx；（4 分） （2）存在 12 ,
17、0,2x x，使得 12 ()()g xg xM成立 等价于： 12max ()()g xg xM， 考察 32 ( )3g xxx， 22 ( )323 () 3 gxxxx x， 由上表可知： minmax 285 ( )( ), ( )(2)1 327 g xgg xg， 12maxmaxmin 112 ()()( )( ) 27 g xg xg xg x， 所以满足条件的最大整数4M；（8 分） （3）对任意的 1 ,2 2 s t，都有( )( )f sg t成立 等价于：在区间 1 ,2 2 上，函数( )f x的最小值不小于( )g x的最大值， 由（ 2）知，在区间 1 ,2
18、2 上，( )g x的最大值为(2)1g。 (1)1fa，下证当1a时，在区间 1 ,2 2 上，函数( )1f x恒成立。 当1a且 1 ,2 2 x时， 1 ( )lnln a f xxxxx xx ， 记 1 ( )lnh xxx x ， 2 1 ( )ln1h xx x ，( 1)0h。 当 1 ,1) 2 x， 2 1 ( )ln10h xx x ；当(1,2x， 2 1 ( )ln10h xx x ， 所以函数 1 ( )lnh xxx x 在区间 1 ,1) 2 上递减，在区间(1,2上递增， x0 2 (0,) 3 2 3 2 (,2 3 2 ( )gx 00 ( )g x 3
19、递减 极（最）小值 85 27 递增1 min ( )(1) 1h xh， 即( ) 1h x，所以当1a且 1 ,2 2 x时，( )1f x成立， 即对任意 1 ,2 2 s t，都有( )( )f sg t。（14 分） （3）另解：当 1 ,2 2 x时，( )ln1 a f xxx x 恒成立 等价于 2 lnaxxx恒成立， 记 2 ( )lnh xxxx，( )12 lnh xxxx， (1 )0h。 记( )12 lnm xxxx，( )32lnm xx，由于 1 ,2 2 x， ( )32ln0m xx, 所以( )( )12 lnm xh xxxx在 1 ,2 2 上递减， 当 1 ,1) 2 x时，( )0h x，(1,2x时，( )0h x， 即函数 2 ( )lnh xxxx在区间 1 ,1) 2 上递增，在区间(1,2上递减， 所以 max ( )(1) 1h xh，所以1a。（14 分）