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1、澄海区 2008-2009 学年度第一学期期末考试 高三理科数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4 页，满分 150 分考试时间120 分钟 注意事项： 1答第一部分 (选择题 )前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上 3 考生务必将第二部分(非选择题 )的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分 4考试结束后，监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回，试卷由考 生自己保管 参考公式： 柱体的体积公式ShV，其中 S 是柱体的底面
2、积，h 是柱体的高 锥体的体积公式ShV 3 1 ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 第一部分（选择题，共40 分） 一、选择题：本大题共有8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑 1已知集合|,023| 2 axxNxxxM，若NM，则实数a的取值范围是 A),3B),3(C1,(D)1,( 2函数 4 sin1)( 2 x xf的最小正周期是 A 2 BC2D4 3函数 x xy 1 4 2 的单调递增区间是 A),0(B ), 2 1 ( C)1,(D) 2 1 ,( 4已知 |a|=3，
3、|b|=5，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 A 5 12 B3 C4 D5 5若tan2，则sincos的值为 A 1 2 B 2 3 C1 D 2 5 6记等差数列 n a的前n项和为 n S，若| 113 aa，且公差0d，则当 n S取最大值时， n A4 或 5 B 5或 6 C6 或 7 D 7 或 8 7设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若，m，则 m； 若 m，n，则 mn； 若，则 其中正确命题的序号是 A和B和C和D和 8若定义在R 上的偶函数xf满足xfxf2，且当1,0x时，,xxf，则函 数xxfy 3
4、log的零点个数是 A多于 4 个B4 个C3 个D2 个 O O M Q P N B A 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，满分30 分本大题分为必做题和选做题两 部分 . （一）必做题：第9、10、11、12 题是必做题，每道试题考生都必须做答 9记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 431 ,aaa成等比数列，则 35 23 SS SS 的值为 10 2 2 0 (42)(43)xxdx 11右图表示一个几何体的三视图及相应数据，则该几何体的体积 是 12如果过点 (0,1)斜率为 k 的直线 l 与圆04mykxyx 22 交于 M、N
5、 两点，且 M、 N 关于直线x+y=0 对称，那么直线l 的斜 率 k=_ ；不等式组 0y 0,mykx ,01ykx 表示的平面区域的面积 是 （二）选做题：第13、14、15 题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前 两题的得分 13 （ 坐标系与参数方程选做题）曲线 sin cos y x (为参数 )上的点到两坐标轴的距离之和 的最大值是 14 （ 不等式选讲选做题）不等式5|2|1|xx的解集是 15 （ 几何证明选讲选做题）如右图， O 和 O 相交于 A和B， PQ切 O 于P， 交 O于Q和M，交AB的延长线于N ，MN 3 ,N Q 15，则PN _ 三、解答题
6、：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(本小题满分13 分) 已知数列 n a中，02,3 11aaann , 数列 n b中，)(1 * N n ab n nn （）求数列 n a通项公式； （）求数列 n b通项公式以及前n 项的和 17(本小题满分13 分) 已知 ABC 中，1BCBA，若 ABC 的面积为S，且 2 3 6 3 S ()求角B的取值范围； ()设 ) 4 sin( 12cos2sin )( B BB Bf，求)( Bf的值域 18(本小题满分14 分) 如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC 垂直，M是 CE 和AD的交点， B
7、CAC，且BCAC ()求证：AM平面 EBC ； ()求直线AB与平面 EBC 所成的角的大小； ()求二面角CEBA的大小 19(本小题满分14 分) 已知实数a0，函数Rxxaxxf 2 2)( ()若函数)( xf有极大值32，求实数a的值； ()若对1 ,2x，不等式 9 16 )( xf恒成立，求实数a的取值范围 20(本小题满分14 分) 已知数列 na的前 n项和为 n S，若 n a是 1 与 n S的等差中项 ()求证 1 n S是等比数列，并求出 n a的表达式； ()若)1(2log 1 nb n an ，求 1 2 )5( )( n n bn b nf的最大值及取得最
8、大值时n 的值 21(本小题满分12 分) B M E D C A 设函数 2 ()(1)2 ln(1)fxxx （）若在定义域内存在 0 x，而使得不等式 0 ()0fxm能成立，求实数m 的最小值； （）若函数 2 ()()gxfxxxa在区间0, 2上恰有两个不同的零点，求实数a 的 取值范围 澄海区 2008-2009 学年度第一学期期末考试 高三理科数学参考答案 一、选择题 CDBA DCAB 二、填空题 9、 2 1 或 2；10、 8；11、 3 4 8；12、 1， 4 1 ； 13、2；14、)2,3(；15、35 三、解答题 16、(本小题满分13 分) 解： （ 1）02
9、 1nn aa )1(2 1 n a a n n -2分 又 3 1 a n a是首项为3，公比为2 的等比数列 -4分 *)(23 1 Nna n n -6分 （2） )( 1 * N n ab n nn n n n a b 1 )1(= 1 23 1 )1( n n -8分 1 21 23 1 )1( 23 1 3 1 n n nn bbbS -10分 = 2 1 1 ) 2 1 (1 3 1 n =- n ) 2 1 (1 9 2 =1) 2 1 ( 9 2 n -13分 17、(本小题满分13 分) 解： （）设ABC的三边分别是cba, 1BCBA 1cos Bac，即 B ac c
10、os 1 -2分 又 2 3 6 3 S 2 3 sin 2 1 6 3 Bac-4分 3tan 3 3 B-6分 36 B - 7分 （） ) 4 sin( 12cos2sin )( B BB Bf )cos(sin 2 2 cos2cossin2 2 BB BBB Bcos22-9分 36 B 2 3 cos 2 1 B -11分 6)(2Bf -12分 )( Bf的值域是6,2 -13分 18、(本小题满分14 分) 解法一： ()四边形ACDE是正方形， ECAMACEA,-1分 平面 ACDE平面 ABC ， ACBC， BC平面 EAC -2分 AM平面 EAC ， BCAM-3分
11、 又CECBC AM平面 EBC -4分 ()连结BM， AM平面 EBC ， ABM是直线AB与平面 EBC 所成的角-5分 设aBCACEA2，则 aAM2，aAB22， -7分 2 1 sin AB AM ABM， 30ABM 即直线AB与平面 EBC 所成的角为30 -9分 ()过A作EBAH于H，连结HM AM平面 EBC ， EBAM EB平面AHM AHM是二面角CEBA的平面角-10分 平面 ACDE 平面 ABC ， EA平面 ABC EAAB-11分 在EABRt中，EBAH，有AHEBABAE 由()所设aBCACEA2可得 aAB22，aEB32， 3 22a EB A
12、BAE AH B M E D C A H B M E D C A 2 3 sin AH AM AHM 60AHM -13分 二面角CEBA等于 60 -14分 解法二 : 四边形ACDE是正方形， ECAMACEA,， 平面 ACDE平面 ABC ， EA平面 ABC ，-2分 可以以点A为原点，以过A点平行于 BC 的直线为 x轴，分别以直线AC 和AE为y轴 和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA 设2BCACEA，则 ),0,2,2(),0,0,0(BA)2,0,0(),0,2,0(EC， M是正方形ACDE的对角线的交点， )1 ,1 ,0(M -4分 () AM )1 , 1
13、,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(EC， )0,0,2()0,2,0()0,2,2(CB， 0,0CBAMECAM， -6分 CBAMECAM, AM平面 EBC -7分 ()AM平面 EBC ， AM 为平面 EBC 的一个法向量， )0,2,2(),1 , 1 ,0(ABAM， 2 1 ,cos AMAB AMAB AMAB B M E D C A y x z 60, AMAB 直线AB与平面 EBC 所成的角为30 -10分 () 设平面EAB的法向量为),(zyxn，则AEn且ABn， 0AEn且0ABn .0),()0,2,2( ,0),()2,0,0( zyx zy
14、x 即 .0 ,0 yx z 取1y，则1x， 则)0,1,1(n -12分 又 AM为平面 EBC 的一个法向量， 且 )1 , 1,0(AM， 2 1 ,cos AMn AMn AMn ， 设二面角CEBA的平面角为，则 2 1 ,coscosAMn ， 60 二面角CEBA等于 60 -14分 19、(本小题满分14 分) 解： （）axaxaxxaxxf44)2()( 232 )2)( 3 2 (3483)( 2 xxaaaxaxxf-2分 令fx ()0得0)2)( 3 2 (3xxa x 2 3 或x2-4分 fxaxxxR()()2 2 有极大值32，又f ()20 fx()在
15、3 2 x 时取得极大值-6分 2732 27 32 ) 3 2 (aaf，-7分 （）由)2)( 3 2 ()(xxaxf知： 当0a时，函数fx()在 3 2 ,2上是增函数，在1 , 3 2 上是减函数 此时， afy 27 32 ) 3 2 ( max -8分 又对1 ,2x，不等式 9 16 )( xf恒成立 9 16 27 32 a得 2 3 a 2 3 0a-10分 当0a时，函数fx()在 3 2 ,2 上是减函数，在1 , 3 2 上是增函数 又af32)2(，af)1(， 此时，afy32)2( max-11分 又对1 ,2x，不等式 9 16 )( xf 恒成立 9 16
16、 32a 得 18 1 a 0 18 1 a -13分 故所求实数的取值范围是) 2 3 ,0()0, 18 1 (-14分 20、(本小题满分14 分) 证明：（） n a是 1 与 n S的等差中项 nn Sa12-1分 又 nn aaaS 21 当2n时， 1nnn SSa )2(1)(2 1 nSSS nnn ，即)2(12 1 nSS nn -3分 )2)(1(21 1 nSS nn )2(2 1 1 1 n S S n n 又 11 12Sa ，则 1 11 aS 1 n S是首项为2，公比为2 的等比数列-5分 解：由前述知数列1 n S是首项为2，公比为2 的等比数列 n n
17、S21 12 n n S 当 11 1 222,2 nnn nnn SSan时 )1(2 1 na n n-8分 （）解： 1 2 n n a n n a2 1 -9分 2log 1n an b 12 log 1 n a n 1 -11分 0 1 4 ,01 n n ， 1 2 )5( )( n n bn b nf 1 1 )5( 2 1 n n n 4)1(5)1( 1 2 nn n 5 1 4 )1( 1 n n 9 1 -13分 当且仅当n = 1 时，取等号 )(nf的最大值是 9 1 -14分 21、(本小题满分12 分) 解： ()要使得不等式 0 ()0fxm能成立，只需 min
18、 ()mfx 求导得： 12(2) ()2(1)2 11 x x fxx xx -2分 函数()fx得定义域为(1,)， 当(1, 0)x时，()0fx， 函数()fx在区间(1, 0)上是减函数；-3分 当(0,)x时，()0fx， 函数()fx在区间 (0，+)上是增函数-4分 min ()(0)1fxf， 1m，故实数 m 的最小值为1-6分 ()由 2 ()(1)2 ln(1)fxxx得： 22 ()(1)2 ln(1)()12 ln(1)g xxxxxaxxa -7分 函数 2 ()()gxfxxxa在区间0, 2上恰有两个不同的零点 方程(1)2 ln(1)xxa在区间0, 2上恰有两个相异实根-8分 设(1)2 ln(1)hxxx 21 1 11 x hx xx ， 列表如下： x 00,111,22 hx 0 hx122 ln 232ln 3 021(32 ln 3)2(ln 31)2(ln1)0hhe 02hh 从而有 max 1hx， min 22 ln 2hx-10分 画出函数 hx在区间 0, 2上的草图（见右下） 易知要使方程hxa 在区间0, 2上恰有两个相异实根， 只需： 22 ln 2 32 ln 3a， 即：22 ln 2,32 ln 3a-12分