《第二章极限习题及答案：函数的连续性.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章极限习题及答案：函数的连续性.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、分段函数的极限和连续性 例设 )21(1 )1( 2 1 )10( )( x x xx xf （1）求）xf (在点1x处的左、右极限，函数）xf (在点1x处是否有极限？ （2）函数 ）xf ( 在点 1x 处是否连续？ （3）确定函数）xf (的连续区间 分析： 对于函数）xf (在给定点 0 x处的连续性，关键是判断函数当 0 xx时的极限是 否等于)( 0 xf；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续 解： （ 1）1lim)(lim 11 xxf xx 11lim)(lim 11xx xf 1)(lim 1 xf x 函数）xf (在点1x处有极限 （2）)(lim 2 1
2、 )1( 1 xff x 函数）xf (在点1x处不连续 （3）函数）xf (的连续区间是（0， 1） ， （1，2） 说明： 不能错误地认为)1(f存在，则）xf (在1x处就连续求分段函数在分界点 0 x 的 左 右 极 限 ， 一 定 要 注 意 在 分 界 点 左 、 右 的 解 析 式 的 不 同 只 有 )(l i m),(lim)(lim 0 00 xfxfxf xx xxxx 才存在 函数的图象及连续性 例已知函数 2 4 )( 2 x x xf， （1）求 ）xf ( 的定义域，并作出函数的图象； （2）求）xf (的不连续点 0 x； （3）对）xf (补充定义，使其是R
3、上的连续函数 分析：函数）xf (是一个分式函数， 它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围， 给 函 数）xf (补 充 定 义 ， 使 其 在R 上 是 连 续 函 数 ， 一 般 是 先 求)(lim 0 xf xx ， 再 让 )(lim)( 0 0 xfxf xx 即可 解： （1）当02x时，有2x 因此，函数的定义域是,22, 当2x时，.2 2 4 )( 2 x x x xf 其图象如下图 （2）由定义域知，函数）xf (的不连续点是2 0 x （3）因为当2x时，2)(xxf 所以4)2(lim)(lim 22 xxf xx 因此，将）xf (的表达式改写为 )2(4
4、)2( 2 4 )( 2 x x x x xf 则函数）xf (在 R 上是连续函数 说明： 要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意 化简后的函数与原来的函数定义域是否一致 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例利用连续函数的图象特征，判定方程0152 3 xx是否存在实数根 分析： 要判定方程0)(xf是否有实根，即判定对应的连续函数)( xfy的图象是否 与 x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即 可 解： 设152)( 3 xxxf，则）xf (是 R 上的连续函数 又038)3(, 1)0(ff，因此在0,3内
5、必存在一点 0 x，使0)( 0 xf，所以 0 x 是方程0152 3 xx的一个实根 所以方程0152 3 xx有实数根 说明： 作出函数)( xfy的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)( xf是否 有实数根的常用方法，由于函数152)( 3 xxxf是三次函数，图象较难作出，因此这种 方法对本题不太适用 函数在区间上的连续性 例函数 2 4 )( 2 x x xf在区间（ 0，2）内是否连续，在区间2,0上呢？ 分析： 开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左 点处右连续，右端点处左连续 解：2 2 4 )( 2 x x x xf（Rx且2x） 任取
6、20 0 x，则)(2)2(lim)(lim 00 00 xfxxxf xxxx )( xf在（ 0，2）内连续 但 )(xf 在 2x 处无定义， )( xf 在 2x 处不连续 从而)( xf在2,0上不连线 说明： 区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线 函数在某一点处的连续性 例讨论函数)0() 1 1 lim()(xx x x xf n n n 在1x与 2 1 x点处的连续性 分析： 分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想 明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得 出结果，是分类讨论的实施方法本题极限式中，若不能对x
7、以 1 为标准，分三种情况分别 讨论，则无法获得)(xf的表达式，使解答搁浅 讨论)( xf在1x与 2 1 x点处的连续性，若作出)(xf的图像，则可由图像的直观信 息中得出结论，再据定义进行解析论证 由于)( xf的表达式并非显式，所以须先求出)( xf的解析式，再讨论其连续性，其中 极限式中含 n x，故须分类讨论 解： （1）求)( xf的表达式： 当1x时，xxx x x xf n n n n 01 01 lim1 lim1 )( 当1x时，xxx x x xf n n x 10 10 1) 1 ( 1) 1 ( lim)( 当1x时，0 11 11 lim)(xxf n n x x
8、x x x xf 1 , 1,0 10,0 )( （2）讨论)(xf在1x点处的连续性： 1)(lim)(lim, 1lim)(lim 11 11 xxfxxf xx xx )(lim 1 xf x 不存在，)( xf在1x点处不连续 （3）讨论)(xf在 2 1 x点处的连续性： 2 1 lim)(lim, 2 1 lim)(lim 2 1 2 1 2 1 2 1 xxfxxf xxxx 2 1 lim)(lim, 2 1 lim)(lim 2 1 2 1 2 1 2 1 xxfxxf xxxx ) 2 1 ( 2 1 )(lim 2 1 fxf x ，)( xf在 2 1 x点处连续 根据函数的连续性确定参数的值 例若函数 0, 0,)1( )( 3 xa xx xf x 在0x处连续，试确定a 的值 解： x xx xxf 3 00 )1(lim)(lim ,)0(, )1(lim 3 3 1 0 afe x x x 欲)(xf在0x处连续， 必须使)0()(lim 0 fxf x ，故 3 ea 说明： 利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解