等比数列的前n项和----基于核心素养的数学教学设计.pdf

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1、等比数列的前n 项和 基于核心素养的教学设计 一对“核心素养”及“数学学科核心素养”这一指导思想的认识 1. “核心素养”的产生背景 2014 年 3 月，教育部印发的 关于全面深化课程改革， 落实立德树人根本任 务的意见文件中，提出了“核心素养”概念，为进一步深化课程改革指明了方 向：要根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德、智、体、美全面 发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化，深入回答“培养 什么人、怎样培养人”的问题。要求统筹各方面的力量，根据学生的成长规律和 社会对人才的需求， 把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观 的有关内容细化，研究制定各

2、学段学生发展的核心素养体系。 林崇德教授主编的 21 世纪学生发展核心素养研究一书对“核心素养”进 行了界定： “核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个 人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力. 指向未来人才培养的核心素 养研究一直是多个学科、多种领域合作研究的集成，被多个国家高度关注. 中国 为迎接未来教育挑战，也进行了中国学生发展核心素养的研究，明确学生应具备 的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，要从实际情况和学生特 点出发，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中. 张绪培（中国教育学会副会长、国家督学）：在三维目标基础上提出核心素 养，这是对三

3、维目标的发展和深化。核心素养更直指教育的真实目的，那就是育 人。核心素养具有中国特色，包括了能力、品格。核心素养的提出，对教学下一 步的发展，有了更明确的指向。 崔允漷（华东师范大学课程与教学研究所所长）：21 世纪的到来，每一个国 家、国际组织都在思考到底要培养什么样的人的问题。教育部关于全面深化课 程改革 落实立德树人根本任务的意见提出的核心素养体系，就是希望在基础 教育阶段把国家的教育方针具体化，系统地描述出小学生、初中生、高中生的毕 业形象，为进一步的课程设计提供方向或路径。现在基本上把学生发展核心素养 确定为 9 个素养、23 个基本要点、 70 个关键表现。接下来就是根据这样的框架

4、， 进一步设计不同阶段的课程标准，老师、学校基于课程标准的来设计教学、命题、 作业、考试。这是一个很庞大的体系，也是我们今后努力的方向。 我的理解：我们的传统是比较重视“双基”，即基础知识与基本技能，后来 觉得“双基”不完整，提出三维目标。从“双基”到三维目标，再到核心素养， 这是从教书走向育人这一过程的不同阶段。用简单的比喻来说，落实“双基”是 课程目标 1.0 版，三维目标是 2.0 版，核心素养就是3.0 版。现如今，修订普通 高中课程标准， 就是以学科核心素养为纲， 编制课程标准， 包括学业质量的标准， 当然，也包括基于课程标准的教学与评价。 2. 数学学科核心素养的内涵与价值 郝京华

5、教授认为，学科核心素养是“核心素养”在特定学科（或特定学习领 域）的具体化，是学生学习一门学科（或特定领域）之后所形成的具有学科特点 的关键成就，是学科育人价值的集中体现。各学科核心素养的内容和要求既相互 区别又相互联系，不能截然分开. 核心素养绝非各门学科知识的简单累加，而是 各科背后蕴含的思想方法和辩证思维，是支撑“有文化教养的健全公民”形象的 心智修炼或精神支柱 . 就数学学科而言，研究表明，数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学 建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。史宁中教授说，数学的核心 素养就是用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世 界. 数学学

6、科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实 施。通过数学的学习、体验建立起一些思想、方法，以及用数学的思想方法处理 和解决问题的能力 . 数学学科核心素养是基于认数、计算、测量、统计等具体的 数学知识与技能而形成的数学的思想与方法，以及对数学在现实社会与生活中的 作用与价值的认识 . 3. 提升学生数学学科核心素养的原则 从数学素养由来的不同历史时期看，数学素养的定位始终由数学在成人社会 中的表现所决定，包括我国数学素养中“适应个人终身发展”的提法，其唯一的 指向是公民，是成人 . 所以，学生发展的数学核心素养，不是在当年学生学业考 试成绩中反映，而是在他们未来的成人生活和职业

7、中体现. 为了学生的可持续发 展，使其适应瞬息万变的未来生活，需要提升学生的核心素养. （）人文性原则 学生是活生生的人， 是发展中的人， 所以我们要创设情境， 挖掘学生的潜力， 与此同时又要悦纳学生的不成熟，以学生为本，尊重学生原有的认知起点，了解 学生的困难，让学生经历一个个探究的过程，参与一个个讨论的主题，辩论一个 个有偏差的想法，总结一个个有个性的创意在这样互动交流的氛围中，学生 的思维得到外显，懂得了如何与人相处、如何面对困难、如何弥补自己的过失， 合作、沟通、交流、适应、调整等能力悄然形成. （）整体性原则 承担起学生的学习与发展的，不是某一门学科而是整个课程；不是每一间教 室而是

8、整所学校；不是每一所学校而是整个社会文化.作为教师，要打破学科壁 垒，站在育人的高度进行教育教学. 整体性体现在有些学科必备的素养中：如抽 象、推理、创新等，学科整合成为一种合理与必然. 如语文、英语或文史哲学科， 数学与理化生等学科，音体美或艺术、戏剧类学科都可以整合. 整体性并非淡化 学科，学科自身的独特性不等于僵化学科的边界，而是在各司其职的基础上相互 融通，也就是“软化”学科边界，其价值还在于为类似“科学、技术、工程和数 学”等新兴学科的创生提供了空间. 在教学实践中有这样的例子：科学课和数学 课的整合，科学课中的杠杆尺可以作为数学中学习“反比例意义”概念的素材， 让学生参与，在参与中

9、互动，在互动中建构，在建构中生成，明白知识的来龙去 脉，做到知其然更知其所以然. 这即为学习的要义 . 再如，语文学科中的小故事渗 透了数学的思想方法，如曹冲称象运用了等量代换的思想；司马光砸缸 运用了逆向思维；田忌赛马蕴含着优化思想，也蕴含着统计与概率的知识： 随机匹配上等马、 中等马和下等马有6 种情况，获胜的可能性是 1/6. 而且这个故 事能让学生在体会智慧的同时，学会辩证思考，了解规则意识在现实生活、国际 交流、未来社会的重要性，而我们津津乐道的取胜之道也有其局限性. 所以要增 强整体性，强化各学段、相关学科纵向有效衔接和横向协调配合，提升学生整体 化思维和系统思考的能力. 整体性还

10、体现在有教无类和因材施教上. 尊重学生的个体差异，课程与教学 要面向每一个学生，促进每一个学生的发展，允许学生以不同的速度学习，教师 要学会等待，激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲，这是会学习、善于学习的 基础. （）实践性原则 课堂是实施学科素养的主渠道，学科实践活动课程是数学学科素养的有益保 障. 给学生提供多样化的学习素材，设计有价值的数学活动，能够帮助学生积累 活动经验和思考经验，在过程中进行体验性理解，进而完成活动. 数学学科实践 活动所承载的对概念的关系性理解，对数学建模、数学抽象、数学推理等方面都 有较高的要求；基于活动需要，事先收集资料、设计方案、落实行动、回顾反思 等环节也体

11、现了对信息技术、综合实践活动方法、语文学科中语言文字的再利用 等各方面的要求，有利于提高学生综合运用知识解决问题的能力，也提升了学生 的核心素养 . （）结构性原则 整体把握教材，不再是就课时论目标， 而是 “基于核心素养的单元教学设计” ， 要在围绕培养学生人格品行以及关键能力为基本素养的前提下，认真研讨不同学 科的核心素养，并在课堂教学中践行. 为学生主动学习、合作学习、探究性学习 和核心素养的培养提供更多的空间. 课堂上要让学生“建构”知识体系，可以用思维导图、日记等方式呈现自己 对本单元核心概念的理解. 体会到数学知识不是无本之木，让他们弄清知识从哪 里来，还要让他们体会到知识可以到哪

12、里去，来去之间，知识的本质就会镶嵌其 中，知识的价值性就在潜移默化中驻足于学生心里. 教结构、用结构也能体现举 一反三和触类旁通，促进学生创新意识的形成. . 提升学生核心素养的办法 数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径，在数学课堂教学中，教 师在关注学生的知识、技能目标的同时，更应关注学生对数学的思考，让学生自 觉地用数学的思维方法去观察、分析社会，解决现实问题，真正做到为形成学生 的数学素养而教，为学生健康快乐的可持续发展而教.学生的数学素养包括：思 考问题的方式、创新意识、稳定的个性心理品质等. （1）学生的数学素养来自于学生的质疑反思 好的问题是学生创新意识的萌芽. 能发现问题

13、、提出问题是学生思维批判性 的具体体现，问题能引起学生内心的冲突，激发学生参与研讨交流的愿望，引导 学生在“互辩”中寻求最佳方案，使学生的探索发现意识在“冲突平衡再冲 突再平衡”的循环和矛盾中不断得到强化，在主动完成认知结构的构建过程中 培养学生的创新意识 . “反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力”. 学生做事之后， 组织他们进行反思，既有对成功的回味又有对偏误的修正；既有对同伴的欣赏和 吸纳，又有对自我的完善和丰富； 既有方法的举一反三， 又有思路的提升与拓展 . 教师要带领学生在“咀嚼与回味”中进行多角度的观察和联想，找到更多的思维 通道，做到举一反三和触类旁通. （2）学生数

14、学素养来自于引导学生运用数学的思维方式想问题办事情 数学的思维方式包括：观察、想象、猜想、验证、比较、归纳、抽象、概括 等，其中“概括”是核心. 引导学生用数学的思维方式进行思考比学会数学知识 本身更重要；让学生体会用数学方式来处理问题比仅仅得出正确结论更重要；让 学生学会数学的方法比拥有数学知识更重要. 让学生智慧起来，重要的是独立思 考，教师需要创设情境， 为学生搭设思维的脚手架， 引领学生在过程中逐步感悟. 渗透在数学教材中的数学思想方法就是让学生获得智慧的“钥匙”. 一旦遇 到新情况下的新问题，学生就会将自己头脑中的认知组块重新调整和整合，以其 敏锐的观察力、判断力和丰富的想象力，迅速

15、地接触到问题的实质，创造性地予 以解决 . 这样学生就会越学越有智慧. （3）学生的数学素养来自于学生稳定的个性特征 让学生自己做事情、解决问题，经过认真阅读，耐心地反复观察、思考、分 析，找到合适的解决方法，从中培养他们认真、仔细、踏实的科学态度和克服困 难、持之以恒的探索精神. 在问题解决过程中丰富学生的情感体验，为学生终身 可持续发展打下坚实的基础，烙上数学的重印，从而形成良好的学习习惯和稳定 的个性品质 . 同时，创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，贯穿数学教育 的始终 . 学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的 核心，归纳概括得到猜想和规律并加以验证，是创

16、新的重要方法. 总之一句话： 让学生经历过程，习得方法，感悟思想，富有智慧. 总之，数学素养对于一个学生的数学学习至关重要. 学生的数学素养从何而 来？从学生的独立思考中来，从学生的活动体验中来，从学生的问题解决中来， 从学生的互动交流中来，从教师有价值的引领中来 二教材分析 1. 教材的地位与作用 等比数列的前n 项和选自普通高中课程标准数学教科书数学（5） （人教 A 版）第二章第 5 节第一课时 , 是数列这一章中的一个重要内容，它不仅 在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公 式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都 是学生今

17、后学习和工作中必备的数学素养。 2. 从知识的体系来看 “等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n 项和”与“等比数列”内容 的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做 好铺垫 。 三学情分析 1. 学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求 和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 2. 教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓, 表现欲较强 , 逻辑思维能 力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思 维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 3. 从学生的认知角度来看： 学生很容易把本节内容与

18、等差数列前n 项和从公式 的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节 公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是 一个突破，另外，对于q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面 使用的过程中容易出错。 三教学目标。 根据课程标准（体现学科核心素养）的要求、本节教材的特点和本班学生的 认知规律，本节课的教学目标确定为： 1. 理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上， 并能初步应用公式解决与之有关的问题。 2. 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、 分类讨论等数学思想，

19、培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向 思维的能力 3. 培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数 学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四重点 , 难点分析 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点：公式的推导方法及公式应用中q 与 1 的关系。 五教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课 程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知 识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理 解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运

20、用已有的 学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而 获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对 学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式和探究式相结合 的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉 学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较 论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问 题。一句话：还课堂以生命力，还学生以活力。 六课堂设计 （一） 创设情境，提出问题。（时间设定：3 分钟） 利用投影展示 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国

21、际象棋，当时的印 度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64 个方格上，第一格放1 粒小麦，第二格放2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是 前一格的两倍，直至第64 格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一 惊。为什么呢？ 设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性 故 事内容紧扣本节课的主题与重点 提出问题 1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数 2363 12222 （二）师生互动，探究问题5 分钟 提出问题 2：? 2363 1+ 2+2 +2 +2 究竟等于多少呢 有学生会说：用计算器来求（老师

22、当然肯定这种做法， 但学生很快发现比较难求。 ） 提出问题 3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现，后 一项都是前一项的2 倍） 提出问题 4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在 此等式两边同以 2，得到另一式： 利用投影展示 2363 64 23464 64 .12222 .(1) 222222 .(2) S S 比较（ 1）(2 ）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（ 2）两式 有许多相同的项） 提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？（学生会发现： 64 64 21S 这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法

23、中减的妙用，使学生容 易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也 让学生感受到这种方法的神奇 这时，老师向同学们介绍错位相减法，并 提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什么（1）式两 边要同乘以 2 呢？ 这个问题的设计意图 :让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数 列求和公式的推导做好铺垫 （三）类比联想，解决问题。 时间设定： 10 分钟 提出问题 7： n1n 设等比数列a的首项为 a , 公比为 q, 求它的前项和 S 123 n aaaa n 即 S 学生开展合作学习 , 讨论交流，老师巡视课堂，发现 有典型解法的，叫同学板书在

24、黑板上。 设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新 ,有利于学生的知识迁移和能力提高， 让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验 （四）分析比较，开拓思维。 时间设定： 5 分钟 将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法： 错位相减法 1： 1 1 n qa 2 1q a n qS n n qaaSq 11 1)( 等比数列,公比为,它的前项和 n aqn qa1 1 aSn 2 1 n qa 1 1 n qa 2 1q a 2 1 n qaqa1 n qa1 错位相减法 2 提出公比 q 累加法 qaaSq nn1 1)( 等比数列,公比为,它的前项和 n aqn

25、3 a n qS 2 a 1 aSn 1n a n a 3 a 1n a n a 2 a qan )( 2 1 3 1111 nn qaqaqaaqa 1 1 2 1 2 111 nn n qaqaqaqaaS qa1 n nqaaSq111)( nnn aaaaaS 1321 等比数列,公比为,它的前项和 n aqn )( 1 1 n n qaS qaa 12 nnn aaaaaS 1321 等比数列,公比为,它的前项和 n a qn qaa 23 qaa 34 qaa nn1 )( nnn aSqaS 1 )( 132132nn aaaaqaaa qaaSq nn1 1)( 可能也有同学会

26、想到由等比定理得 123 32 121 23 121 1 1 (1) nn n n n n n nn nn Saaaa aaa q aaa aaa q aaa Sa q Sa q Saa q 即 【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】 （五）归纳提炼，构建新知。 时间设定： 3 分钟 提出问题 8: 由 n n11(1- q)s = a - a q得 n 11 n a -a q s = 1- q 对不对？这里的 q能不能等于 1？等比数列 中的公比能不能为1？1q时是什么数列？此时 n S？ 【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构， 增强思维的严

27、谨性】 提出问题 9:等比数列的前 n项和公式怎样 ? 学生归纳出 1 1 11 (1) ,1,1 11 ,1,1 n n nn aa qaq qq qSSq na qnaq 【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】 （ 六 ） 层 层 深 入 ， 掌 握 新 知 。 时 间 设 定 ： 15分 钟 2,1,q n 1n 1n 基础练习 1已知 a是等比数列 , 公比为 q 21 (1) 若a =,q=, 则S 33 (2). 则a则S 23 8 238 1 (1 2 ) 1( 2) 1 (1 2 ) (2).12222 12 (1) (3). 1 n n n n aa

28、aaaa a 练习2 判断是非 (1).1-2+4-8+16-+ -2 【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量进行正反两方面的“短、 浅、快”练习通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征】 n 例1 已知数列 a是等比数列 , 完成下表 题号a1q n anSn （1）1/2 1/2 8 （2）27 2 /3 8 （3）-2 -96 -63 【设计意图：渗透方程思想. 通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的 能力. 掌握公式中”知三求二”的题型】 练习 3：求等比数列 1 1 1 1 , 2 4 8 16 前 8 项和； 变式 1 、等比数列 1 1 1 1 , 2 4 8 16

29、 前多少项的和是 63 64 ； 变式 2、等比数列 1 1 1 1 , , 2 4 8 16 求第 5 项到第 10 项的和； 变式 3、等比数列, n a 23 a,a ,a ,求前 2n 项中所有偶数项的和。 （先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况， 寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。) 【设计意图：变式训练, 深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识 别能力，渗透转化思想】 练习 4 有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这 位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生 提出了两种方案让老板选择，其一：

30、工作一年，月薪五千元；其二：工作一年， 第一个月的工资为20 元，以后每个月的工资是上月工资的2 倍，此时，老板不 假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析 一下，老板的选择是否正确？ 【设计意图： 让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有 数学】 （七）总结归纳，加深理解。 时间设定： 2 分钟 （1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？ （2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？ 【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的 认知结构】 （八）课后作业，巩固提高。 时间设定： 1 分钟 必做：（ 1）P6

31、6练习 1 研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论” 选做：求和： 234 12223 2422 n n 【设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”； “选做题”又为 学有余力者留有自由发展的空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习， 拓展学生的视野 】 七、教学反思： 本节课以数学学科核心素养为指导思想，因为它基于数学知识技能，又高于 具体的数学知识技能 . 数学核心素养是在素养中最重要的、必须具备的、具有普 适性的部分，数学核心素养是通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事 物时所具备的品质. 数学核心素养对数学学科的教学应该起到指导和引领的作 用，彰显学科教学的育人价值

32、。因此这就要求数学学科教学的目标和活动都要从 素养的高度来进行，为素养而教，用学科育人。 同时也依据课程标准，立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体 现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律， 体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激 发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主 动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的 指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。 参考文献： 1. 教育部 . 关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见 2. 吴正宪，北京教育科学研究院数学特级教师；张秋爽，北京市顺义区教育研究考试中心数 学特级教师 . 数学学科核心素养的内涵、价值与落实建议，基础教育课程 . 3. 林崇德 . 21 世纪学生发展核心素养研究