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1、课时考点1函数的性质及应用 高考考纲透析： （1）了解映射的概念，理解函数的概念。(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一 些简单函数的单调性、奇偶性的方法。(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的 关系，会求一些简单函数的反函数。(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性 质.掌握指数函数的概念、图像和性质。(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对 数函数的概念、图像和性质。(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某 些简单的实际问题。 高考风向标： 映射与函数的概念、函数单调性、 奇偶性、 周期性、 函数的值域与最值、反函数、 函数图象、 指数函
2、数、 对数函数、 二次函数、 函数的综合应用。尤其是函数的单调性、奇偶性、 周期性、 反函数复现率较高。 高考试题选： 1. 若 )( xf 和 g(x) 都是定义在实数集R 上的函数，且方程 0)(xgfx 有实数解，则 )(xfg 不可能 是 （A） 5 1 2 xx（B） 5 1 2 xx（C） 5 1 2 x（D） 5 1 2 x 2. 若函数)1,0)(1(log)(aaxxf a 的定义域和值域都是0 ，1 ，则 a= （） (A) 3 1 (B) 2 (C) 2 2 (D)2 3. 函数 1 ,0)1(log)( 2 在xaxf a 上的最大值和最小值之和为a，则 a 的值为（）
3、 A 4 1 B 2 1 C2 D4 4. 设 )(),(xgxf 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 当0x时， ,0)()()()(xgxfxgxf 且,0)3(g则不等式0)()(xgxf的解集是（） A ),3()0,3( B )3,0()0,3( C ),3()3,( D)3,0()3,( 5. 已知函数 2 2 3 )(xaxxf的最大值不大于 6 1 ，又当. 8 1 )(, 2 1 , 4 1 xfx时 （1）求 a 的值； （2）设. 1 1 .),(, 2 1 0 11 n aNnafaa nnn 证明 6. )(xf是定义在R 上的以 3 为周期的奇函数，且0)2(f在
4、区间（ 0，6）内解的个数的 最小值是（） A2 B3 C4 D 5 热点题型1对数函数与二次函数复合而成的复合函数的性质 例 1：是否存在实数a ，使函数)(log)( 2 xaxxf a 在区间 4,2 上是增函数？如果存在， 说明 a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由。 解题分析：解答此题要把握三点：一是对数的底数a 对单调性的影响，二是二次函数 xaxxg 2 )(的开口方向与对称轴对单调性的影响，三是真数xaxxg 2 )(在给定区 间上要大于0。然后利用复合函数的单调性等知识加以解决。 变式一： 已知集合 2 4 log)4(log| 2 42 x xxA ， 求函数)(44 1
5、2 Axy xx 的值域。 解题分析： 解答此题要把握三点：一是有关两对数积的方程或不等式的常用处理方法（化同 底，真数积商化为对数的和差展开，化为关于对数的方程或不等式。） ；二是换元后注意新变 量的范围；三是二次函数求值域配方。 热点题型2抽象函数的性质及应用 例 2：设函数)7()7(),2()2(),()(xfxfxfxfxf上满足在，且在闭区 间0， 7上，只有.0)3()1(ff（）试判断函数)( xfy的奇偶性； （）试求方程0)(xf在闭区间 2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论. 解: 由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy的对
6、称轴为72xx和, 从而知函数)( xfy不是奇函数 , 由)14()4( )14()( )4()( )7()7( )2()2( xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf , 从而知函数 )(xfy 的周期为10T 又0)7(,0)0()3(fff而, 故函数)( xfy是非奇非偶函数; (II)由)14()4( )14()( )4()( )7()7( )2()2( xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf (II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff 故 f(x) 在0,10和-10,0上均有有两个解, 从
7、而可知函数)(xfy在0,2005上有 402 个 解, 在-2005.0上有 400 个解 , 所以函数)( xfy在 -2005,2005上有 802 个解 . 变式二 ：已知定义在R 上的函数)( xf为奇函数，且在),(上是增函数，对任意实数 R，问是否存在这样的实数m ，使得 )0()cos24()32(cosfmmff对一切 的都成立？证明你的结论。 解题分析： 解答此题要把握三点：一是0)0(f，原式转化为 mm4cos232cos 恒成立；二是,m分离， 2cos 2 2cos4 4cos2 32cos m恒成立；三是不等式 求最值时，注意一正、二定、三相等。 热点题型3函数阅
8、读题 例3 ： 对 定 义 域 是 f D、 g D的 函 数 )( xfy 、 )( xgy ， 规 定 ： 函 数 gf gf gf DxDxxg DxDxxf DxDxxgxf xh 且当 且当 且当 ),( ),( ),()( )(。 （1）若函数 1 1 )( x xf， 2 )(xxg ，写出函数 )(xh 的解析式； （2）求问题（ 1）中函数)( xh的值域； （3）若)()(xfxg，其中是常数，且,0，请设计一个定义域为R 的 函数)( xfy，及一个的值，使得xxh4cos)(，并予以证明。 解 (1)h(x)= 1 2 x x x(-,1) (1,+ ) 1 x=1 (
9、2) 当 x1时, h(x)= 1 2 x x =x-1+ 1 1 x +2, 若 x1 时, 则 h(x) 4,其中等号当x=2 时成立 若 x1 时, 则 h(x) 0, 其中等号当x=0 时成立 函数 h(x) 的值域是 (-,01 4,+ ) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,= 4 则 g(x)=f(x+ )= sin2(x+ 4 )+cos2(x+ 4 )=cos2x-sin2x, 于是 h(x)= f(x)f(x+ )= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令 f(x)=1+2 sin2x, = 2 , g(x)=f(x+ )= 1
10、+ 2 sin2(x+ )=1-2 sin2x, 于是 h(x)= f(x)f(x+ )= (1+2 sin2x)( 1-2 sin2x)=cos4x. 变式三： 已知二次函数)( 4 1 )( 2 Rt a tbattf有最大值且最大值为正实数，集合 0| x ax xA，集合| 22 bxxB。 （1）求A和B； （2） 定义 A与B的差集： AxxBA|且Bx。 设a，b，x均为整数， 且 Ax 。)(EP 为x取自 BA 的概率，)(FP为x取自BA的概率，写出a与b的三组值，使 3 2 )( EP， 3 1 )( FP，并分别写出所有满足上述条件的a（从大到小） 、b（从小到大）依次
11、构成的数 列 n a、 n b 的通项公式（不必证明）； 解： （1） )()( 4 1 2 Rttbattf a 有最大值， 0a 。配方得 a b a b tatf 4 1 2 2 )()(， 由 10 4 1 b a b 。 0|xaxA ， |bxbxB 。 （2）要使 3 2 )( EP ， 3 1 )( FP 。可以使A中有 3 个元素，BA中有 2 个元素，BA 中有 1 个元素。则2,4ba。A中有 6 个元素，BA中有 4 个元素，BA中有 2 个 元素。则3,7ba。A中有9 个元素 ,BA中有6 个元素 ,BA中有3 个元素。则 4,10ba。1,13nbna nn 。
12、备选题： 已知函数Ra xa ax xf, 1 )(。 （I ）证明函数)( xfy的图象关于点)1,(a成中心对称图形； （II ）当 xa+1, a+2时，求证：f (x) 2, 2 3 ； （III）利用函数)( xfy构造一个数列xn，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令 )(,),(),( 12312nn xfxxfxxfx， 在 上 述 构 造 数 列 的 过 程 中 ， 如 果 ),4,3,2(ixi 在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造 数列的过程停止。如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列 xn，求实数a的值。 解：
13、（I ）设点 P（x0，y0）是函数， y=f（x）图象上一点，则 0 0 0 1 xa ax y 点 P（x0， y0）关于（a， 1）的对称点为)2,2( 00 yxaP 2 分 ax xa xaa axa xaf 0 0 0 0 0 1 2 12 )2( ax xa xa ax y 0 0 0 0 0 11 22)2(2 00 xafy 即 P点在函数y=f（x）的图象上，所以函数y=f（x）的图象关于点)1,(a成中心对称 图形 （II ） 2 )(2 )2)(1( )(2 21 2 3 )(2)( xa axax xa xa xa xa xfxf 2, 1aax又0)(20)2)(1( 2 xaaxax 0 2 3 )(2)(xfxf 2 3 )(2xf （也可以用导数的方法证明单调性，再求范围） （III）根据题意，应满足a xa ax ax 1 ,时无解 , 即无解时1)1( , 2 aaxaax 1)1( 2 aaxaax不是方程由于的解 所以对于任意1)1(, 2 aaxaRx无解。 故1a