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1、- 1 - 2017 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 题 一、选择题（本题共30分，每小题 3 分） 1. 如图所示，点 P到直线l的距离是（ ） A线段PA的长度 B 线段PB的长度 C线段PC的长度 D线段PD的长度 2. 若代数式 4 x x 有意义，则实数x的取值范围是（） A0x B4x C0x D4x 3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（） A 三棱柱 B 圆锥 C四棱柱 D 圆柱 4. 实数, , ,a b c d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（） A 4a B 0bd C. ab D 0bc 5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
2、（） A B C. D 6. 若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边数是（） A 6 B 12 C. 16 D18 7. 如果 2 210aa，那么代数式 2 4 2 a a aa 的值是（） A -3 B -1 C. 1 D3 8. 下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况. 2011-2016 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图 - 2 - （以上数据摘自 “一带一路”贸易合作大数据报告（2017） ） 根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（） A与 2015 年相比， 2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B2011-2016 年，我国与东南亚
3、地区的贸易额逐年增长 C. 2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200 亿美元 D2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多 9. 小苏和小林在右图所示的跑道上进行450 米折返跑 . 在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位： m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示. 下列叙述正确的是（） - 3 - A两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前 15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程 D小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2 次 10. 下图显示了用计算机模拟随机
4、投掷一枚图钉的某次实验的结果. 下面有三个推断： 当投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616 ； 随着实验次数的增加， “钉尖向上”的频率总在0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉 尖向上”的概率是0.618 ； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000 时， “钉尖向上”的概率一定是0.620. 其中合理的是（） A B C. D 二、填空题（本题共18分，每题 3 分） 11. 写出一个比3 大且比 4 小的无理数：_ 12. 某活动小组购买了4 个篮球和5 个足球，一共花费了435 元，其中篮球的单价比足球的单价
5、多3 元， 求篮球的单价和足球的单价. 设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 _ 13. 如图，在ABC中，MN、分别为,AC BC的中点 . 若1 CMN S，则 ABNM S四边形 14. 如图，AB为O的直径，C D、 为O上的点，AD CD. 若 0 40CAB， 则C A D - 4 - 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中， AOB可以看作是OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转）得到的，写出一中由OCD得到AOB的过程： 16. 下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知： 0 ,90Rt ABCC，求作Rt ABC的外接圆 . 作法
6、：如图 （1）分别以点A和点B为圆心，大于 1 2 AB的长为半径作弧，两弧相交于,P Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作O. O即为所求作的圆. - 5 - 请回答：该尺规作图的依据是 三、解答题（本题共 72 分，第 17 题-26 题，每小题 5 分，第 27题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算： 0 0 4cos3012122. 18. 解不等式组： 2157 10 2 3 xx x x 19. 如图，在ABC中， 0 ,36ABACA，BD平分ABC交AC于点D. 求证：
7、ADBC. 20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻 边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理 复原了海岛算经九题古证. （以上材料来源于古证复原的原理、 吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽） - 6 - 请根据上图完成这个推论的证明过程 证明： ADCANFFGCNFGD SSSS 矩形 ， ABC EBMF SS 矩形 （_+_ ） 易知， ADCABC SS，_=_ ， _=_ 可得 NFGDEBMF SS 矩形矩形 21. 关于x的一元二次方程 2 3220xkxk. （1
8、）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k的取值范围 . 22. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线， 0 / /,2,90ADBC ADBCABD，E为AD的中 点，连接BE. （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分,1BAD BC，求AC的长 . 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数0 k yx x 的图象与直线2yx交于点3,Am. （1）求k m、 的值； （2）已知点,0P n nn，过点P作平行于x轴的直线，交直线2yx于点M，过点P作平行于y 轴的直线，交函数0 k yx x 的图象于点N. 当1n时，判断线段PM与PN的
9、数量关系，并说明理由； 若PN PM，结合函数的图象，直接写出 n的取值范围 . - 7 - 24. 如图，AB是O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC OA于点C， 过点B作O的切线交CE 的延长线于点D. （1）求证：DBDE； （2）若12,5ABBD，求O的半径 . 25. 某工厂甲、乙两个部门各有员工400 人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过 程如下，请补充完整. 收集数据 从甲、乙两个部门各随机抽取20 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80
10、86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： - 8 - 成绩x 人数 部门 4049x5059x6069x7079x8089x90100x 甲0 0 1 11 7 1 乙 （说明：成绩80 分及以上为生产技能优秀，70-79 分为生产技能良好，60-69分为生产技能合格，60 分 以下为生产技能不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 部门平均数中位数众数 甲78.3 77.5 75 乙78 80.5 81 得
11、出结论： a. 估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 _； b. 可以推断出 _部门员工的生产技能水平较高，理由为_. （至少从两个不同的 角度说明推断的合理性） 26. 如图， P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交AB于点M ，连接 MB，过点P作 PNMB于点N. 已知6ABcm，设AP、两点间的距离为xcm，PN、两点间的距离为ycm.（当点 P与点A或点B重合时，y的值为 0） 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： - 9 - /x cm0 1 2
12、3 4 5 6 /y cm0 2.0 2.3 2.1 0.9 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象. （3）结合画出的函数图象，解决问题：当 PAN为等腰三角形时，AP的长度约为 _cm. 27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 43yxx与x轴交于点AB、（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C. （1）求直线 BC的表达式； （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 1122 ,P x yQ xy，与直线BC交于点 33 ,N xy，若 123 xxx，结合函数的图象，求 123 xxx的取值范围
13、 . 28. 在等腰直角 ABC中， 0 90ACB，P是线段BC上一动点（与点BC、不重合）， 连接AP， 延长BC 至点Q，使得CQCP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M. （1）若PAC，求AMQ的大小（用含的式子表示）. （2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明. - 10 - 29在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M， 给出如下的定义： 若在图形M上存在一点Q， 使得PQ、 两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点 （1）当O的半径为2时， 在点 123 1135 ,0,0 2222 PPP 中，O的关联点是 _ 点P在直线yx上，若P为O的关联点，求点P的横坐标的取值范围 （2）C的圆心在x轴上，半径为2，直线1yx与x轴、y轴交于点AB、若线段AB上的所有点 都是C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围