2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义.pdf

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1、1 2018-2019 学年八年级（上）数学- 专属教案 整式的乘法与因式分解 知识点 平方差公式 :(ab)(ab) a 2 b 2 【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算 下列运算中，可用平方差公式计算的是( ) A(xy)(xy) B( xy)(xy) C( xy)(yx) D(xy)( xy) 解析： A 中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B 中( xy)(xy) (x y)(xy) ，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C 中( xy)(yx) (xy)(x y) ，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D 中(xy)( xy

2、) (x y)(xy) ，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C. 方法总结： 对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项 互为相反数 【类型二】直接应用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x 5)(3x 5) ； (2)( 2ab)(b2a) ； (3)( 7m8n)( 8n7m) ； (4)(x2)(x2)(x 24) 解析： 直接利用平方差公式进行计算即可 解： (1)(3x5)(3x5)(3x) 2529x225； (2)( 2ab)(b2a) ( 2a) 2 b 24a2 b 2； (3)( 7m8n)( 8n7m)

3、 ( 7m) 2(8 n) 249m264n2； (4)(x2)(x2)(x 24) ( x 24)( x 24) x 416. 方法总结： 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个 二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中 的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 【类型三】平方差公式的连续使用 求 2(3 1)(3 21)(341)(381) 的值 解析： 根据平方差公式，可把2 看成是 (3 1)，再根据平方差公式即可算出结果 解： 2(3 1)(3 2 1)(34 1)(38 1)

4、 (3 1)(3 1)(32 1)(34 1)(3 8 1) (32 1)(32 1)(34 1)(3 81) (341)(341)(381) (38 1)(381) 3161. 方法总结： 连续使用平方差公式，直到不能使用为止 【类型四】应用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式简算： (1)20 1 3 19 2 3；(2)13.2 12.8. 解析： (1) 把 201 319 2 3写成 (20 1 3) (20 1 3) ，然后利用平方差公式进行计算； (2) 把 13.2 12.8 写 成(13 0.2) (13 0.2) ，然后利用平方差公式进行计算 解： (1)20 1 319

5、 2 3(20 1 3) (20 1 3) 400 1 9 399 8 9； (2)13.2 12.8 (13 0.2) (13 0.2) 1690.04 168.96. 方法总结： 熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键 2 【类型五】化简求值 先化简，再求值：(2xy)(y2x) (2yx)(2yx) ，其中x1，y2. 解析： 利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解 解： (2xy)(y 2x) (2yx)(2yx) 4x 2y2(4 y 2x2) 4x2 y 24y2 x 25x25y2. 当 x1，y 2 时，原式 51 2522 15. 方法

6、总结： 利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算 【类型六】利用平方差公式探究整式的整除性问题 对于任意的正整数n，整式 (3n1)(3n1) (3 n)(3 n) 的值一定是10 的倍数吗？ 解析： 利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10 的倍数 解： 原式 9n 21(9 n 2) 10n21010( n1)(n1) ，n为正整数，(n1)(n 1)为整数， 即(3n1)(3n1) (3 n)(3 n) 的值是 10 的倍数 方法总结： 对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍 数问题时，要注意这方面的问题 【类型七】平方差公式的实际应用

7、王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说：“我把 这块地一边减少4 米，另外一边增加4 米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了你认为 李大妈吃亏了吗？为什么？ 解析： 根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可 解： 李大妈吃亏了理由：原正方形的面积为a 2，改变边长后面积为 (a4)(a4) a 216， a 2 a 2 16，李大妈吃亏了 方法总结： 解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题 完全平方公式 :(ab) 2 a 2 2ab b 2； 【类型一】直接运用完全平方公式进行计算 利用完

8、全平方公式计算： (1)(5 a) 2； (2)( 3m4n) 2； (3)( 3ab) 2. 解析： 直接运用完全平方公式进行计算即可 解： (1)(5 a) 22510a a 2； (2)( 3m4n) 29m224mn 16n 2； (3)( 3ab) 29a26ab b 2 . 方法总结： 完全平方公式：(ab) 2 a 2 2abb2. 可巧记为 “首平方，末平方，首末两倍中间放 ” 【类型二】构造完全平方式 如果 36x 2( m1)xy25y 2 是一个完全平方式，求m的值 解析： 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值 解： 36x 2 (m 1)xy 25

9、y 2 (6x) 2 (m 1)xy(5y) 2 ， (m 1)xy26x5y，m 1 60，m59 或 61. 方法总结： 两数的平方和加上或减去它们积的2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的2 倍的符 号，避免漏解 【类型三】运用完全平方公式进行简便运算 利用乘法公式计算： (1)98 210199； (2)2016 220164030 20152. 解析： 原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果 解： (1) 原式 (100 2) 2(100 1)(100 1) 10024004 10021 395； (2) 原式 2016 2220162015 20152(2016

10、2015)2 1. 方法总结： 运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完 全平方公式的形式 【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值 已知xy6，xy 8. (1) 求x 2 y 2 的值； 3 (2) 求代数式 1 2( xyz) 21 2( xyz)(xyz) z(xy) 的值 解析： (1) 由(xy) 2 x 2y22xy，可得 x 2 y 2( xy) 2 2xy，将 xy6，xy 8 代入即可求得 x 2 y 2 的值； (2) 首先化简 1 2( xyz) 21 2( xyz)(xyz) z(xy) x 2 y 2，由 (1) 即可求得答案

11、解： (1) xy 6，xy 8， (xy) 2 x 2y22xy， x 2 y 2 ( xy) 22xy36 1620； (2) 1 2( xyz) 21 2( xyz)(xyz) z(xy) 1 2( x 2 y 2 z 22xy 2xz2yz) 1 2( xy) 2 z 2 xzyz 1 2x 21 2y 21 2z 2 xyxzyz 1 2x 21 2y 2 xy 1 2z 2 xzyzx 2y2，又 x 2 y 2 20，原式 20. 方法总结： 通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(xy) 2 x 2 y 22xy， x 2 y 2 ( xy) 2 2xy. 【类型五】完全平方公

12、式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等 式例如图甲可以用来解释(ab) 2( ab) 24ab . 那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等 式是 ( ) Aa 2b2 (ab)(ab) B(ab)(a2b) a 2 ab 2b 2 C(ab) 2 a 2 2ab b 2 D(ab) 2 a 2 2ab b 2 解析： 空白部分的面积为(ab) 2，还可以表示为 a 22ab b 2，所以，此等式是 (ab) 2 a 2 2abb2. 故选 C. 方法总结： 通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释 探究点二：添括号后

13、运用完全平方公式 计算： (1)(abc) 2； (2)(1 2xy)(1 2xy) 解析： 利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括 号的符号法则 解： (1) 原式 (ab) c 2( ab) 2c22( ab)ca 22ab b 2 c 22ac 2bc a 2b2 c 2 2ab 2ac2bc； (2) 原式 1 ( 2xy)1 ( 2xy) 1 2( 2x y) 214x24xyy2. 方法总结： 利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(ab) 2 的形式注意a，b可以是多项 式，但应保持前后使用公式的一致性 因式分解 提公因式法 (1)m

14、ambmcm(abc) ； (2)a 2b2 (ab)(ab) ； (3)a 22ab b 2 ( ab) 2. 探究点一：因式分解的概念 下列从左到右的变形中是因式分解的有( ) x 2 y 2 1 ( xy)(xy) 1；x 3 xx(x 2 1) ；(xy) 2 x 2 2xy y 2 ；x 2 9y2 (x 3y)(x3y) A1个 B 2个 C 3 个 D 4 个 解析： 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解；把一个多项式转化成几 4 个整式积的形式，故是因式分解；是整式的乘法，故不是因式分解；把一个多项式转化成几个 整式积的形式，故是因式分解；故选B. 方法总结：因

15、式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形 式因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式 探究点二：提公因式法分解因式 【类型一】确定公因式 多项式 6ab 2c3a2bc12a2b2 中各项的公因式是( ) Aabc B 3a 2b2 C 3a 2b2c D 3ab 解析： 系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，公因式为3ab. 故选 D. 方法总结： 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1) 定系数，即确定各项系数的最大公 约数； (2) 定字母，即确定各项的相同字母因式( 或相同多项式因式) ；( 3) 定指数，

16、即各项相同字母因式 ( 或相同多项式因式) 的指数的最低次幂 【类型二】用提公因式法因式分解 因式分解： (1)8a 3b212ab3c； (2)2a(bc) 3(bc) ； (3)(ab)(ab) ab. 解析： 将原式各项提取公因式即可得到结果 解： (1) 原式 4ab 2(2 a 2 3bc) ； (2) 原式 (2a3)(bc) ； (3) 原式 (ab)(ab1) 方法总结： 提公因式法的基本步骤：(1) 找出公因式； (2) 提公因式并确定另一个因式 【类型三】利用因式分解简化运算 计算： (1)39 371391； (2)29 20.167220.161320.1620.161

17、4. 解析： (1) 首先提取公因式13，进而求出即可；(2) 首先提取公因式20.16 ，进而求出即可 解： (1)39 37139131337139113(33791) 1320 260； (2)29 20.167220.161320.1620.161420.16(29721314) 2016. 方法总结： 在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便 【类型四】利用因式分解整体代换求值 已知ab7，ab4，求a 2b ab 2 的值 解析： 原式提取公因式变形后，将ab与ab的值代入计算即可求出值 解： ab7，ab4，原式ab(ab) 47 28. 方法总结：

18、求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值 公式法 :平方差公式：a 2b2 (ab)(ab) 【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) Aa 2( b) 2 B 5m220mn Cx 2 y 2 D x 29 解析： A 中a 2( b) 2 符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中 5m 220mn两项都不是平 方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中x 2 y 2 符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误； D中x 29 x 232，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确故选 D. 方法总结： 能够运用平方差公式分解因

19、式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符 号相反 【类型二】利用平方差公式分解因式 分解因式： (1)a 41 16b 4；(2) x 3y2xy4. 解析： (1)a 41 16b 4 可以写成 (a 2)2(1 4b 2)2 的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一 5 个因式a 21 4 b 2 仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y2xy4 有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分 解因式 解： (1) 原式 (a 21 4b 2)( a 21 4b 2) ( a 21 4b 2 )(a 1 2b)( a1 2b) ； (2) 原式xy 2( x 2 y

20、 2) xy 2( xy)(xy) 方法总结： 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式分解因式必须进行 到每一个多项式都不能再分解因式为止 【类型三】底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式 分解因式： (1)(ab) 2 4a2； (2)9(mn) 2( mn) 2. 解析： 将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式 解： (1) 原式 (ab2a)(ab2a) (ba)(3ab) ； (2) 原式 (3m3nmn)(3m3nmn)(2m4n)(4m2n) 4(m2n)(2mn) 方法总结： 在平方差公式a 2 b 2( ab)(ab) 中，a和

21、b可以代表单项式、多项式或单独一个数 【类型四】利用因式分解整体代换求值 已知x 2 y 2 1， xy 1 2，求 xy的值 解析： 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将xy的值代入计算即可求出xy的值 解： x 2 y 2( xy)(xy) 1，xy 1 2 ，xy 2. 方法总结： 有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或 者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便 【类型五】利用因式分解解决整除问题 2 481 可以被 60 和 70 之间某两个自然数整除，求这两个数 解析： 先利用平方差公式分解因式，再找出范围内

22、的解即可 解： 2 481 (224 1)(224 1) (224 1)(212 1)(212 1) (224 1)(212 1)(26 1)(2 6 1) 26 64， 2 6163，26165，这两个数是 65 和 63. 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整 除 【类型六】利用平方差公式进行简便运算 利用因式分解计算： (1)101 2992； (2)572 21 4 428 21 4. 解析： (1) 根据平方差公式进行计算即可；(2) 先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可 解： (1)101 2992 (101 99)(101 9

23、9) 400； (2)572 21 4 428 21 4(572 24282) 1 4(572428)(572 428) 1 41000144 1 436000. 方法总结： 一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便 【类型七】在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式 (1)x 25； (2)x 32x. 解析： (1) 直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2) 首先提取公因式x，然后利用平方差公式进 行二次分解，即可求得答案 解： (1)x 25( x5)(x5) ； (2)x 32x x(x 22) x(x2)(x2) 方法总结： 注意因式分解的步骤为

24、：一提公因式；二看公式在实数范围内进行因式分解的结果可 以出现无理数 6 课后练习 一、选择题 1下列计算中正确的是() Aa 2b32a5 Ba 4 aa4 Ca 2 a 4a8 D( a 2)3 a6 2(xa)(x 2axa2)的计算结果是 () Ax 32ax2a3 Bx 3a3 Cx 3 2a2xa3 Dx 32ax22a2a3 3下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有() 3x3 (2x2) 6x5； 4a3b (2a2b) 2a； (a3)2a5； (a)3 (a) a2. A1 个B2 个 C3 个D4 个 4若, ab 23 22，则 a 2b 2= () A.

25、12 B. 7 C. 6 D.5 5下列各式是完全平方式的是() Ax 2x B1x 2 Cxxy1 Dx 22x1 6把多项式ax 2ax2a 分解因式，下列结果正确的是 () Aa(x 2)(x 1) Ba(x2)(x1) 1 4 7 Ca(x1) 2 D(ax2)(ax1) 7如 (xm)与(x3)的乘积中不含x 的一次项，则m的值为 () A 3 B3 C0 D1 8若 3 x15,3y5，则 3xy 等于 () A5 B3 C15 D10 9下列分解因式正确的是 ( ) A x 3 x=x(x 2 1) Bm 2+m 6=(m+3)(m 2) C (a+4)(a 4)=a 216 D

26、 x 2+y2=(x+y)(x y) 10从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，如图，然后将剩余部分剪开拼成一 个矩形，上述操作所能验证的等式是 ( ) A a 2b2=(a+b)(a b) B (ab) 2 =a 2 2ab+b 2 C (a+b) 2=a2+2ab+b2 Da 2+ab=a(a+b) 二、填空题 9计算 (3x 2y) ()_.10计算：_. 11计算：_.12计算： (a 2)3(a3)2a2 a42a9 a3_. 13 2007 200820092 1.51 3 =_ 14若多项式x 2axb 分解因式的结果为 (x1)(x2)，则 ab的值为 _ 15若

27、 |a2|b 22b10，则 a_，b_. 16已已知,ab2 ab1，则3aab3b= ； 22 ab = . 三、解答题 (本大题共5 小题，共52 分) 17(本题满分 12 分)计算： (1)(ab 2)2 ( a3b)3 (5ab)； (2)x2(x2)(x2)(x3)2； (3)(xy) 2(x y) 2 (2 xy) (4)(2x3y) 2 (y+3x)(3x y) 18(本题满分12 分)把下列各式因式分解： (1)3x 12x 3； (2)2a312a218a； (3)9a2(xy)4b2 (yx)； (4)ab 2-4ab+4a 2 1 3 xy 22 ()() 33 mn

28、mn 2 23 () 32 xy 8 19(本题满分5分)先化简，再求值 2(x3)(x2)(3a)(3a)，其中， a 2，x1. 20(5 分)在多项式 ax 5+bx3+cx 3 中，当 x=3 时，多项式的值为 5，求当 x= 3时，多项式 的值 21(6 分)李叔叔分到一套新房，其结构如图(单位： m)，他打算除卧室外，其余部分铺地砖， 则 (1) 至少需要多少平方米地砖?(4 分) (2) 如果铺的这种地砖的价格为75 元米 2那么李叔数至少需要花多少元钱 ?(2 分) 22(6 分) 已知 22 a4ab2b50，求 22 a bab的值 . 9 23、(本题满分6 分)已知： a， b，c 为 ABC 的三边长，且2a 22b2 2c22ab2ac2bc，试判断 ABC 的形状，并证明你的结论