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1、1 / 17 2018 年初三数学一元二次方程及其解法 一基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方 程。一元二次方程的一般形式：)0(0 2 acbxax，它的特征是：等式左 边加一个关于未知数x 的二次多项式， 等式右边是零，其中 2 ax 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1） 、直接开平方法 : 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 bax 2 )( 的一元二次方程。根据平方根的
2、定义 可知， ax 是 b 的平方根，当 0b 时， bax ， bax ，当 b0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根； II 当 =0 时，一元二次方程有2 个相同的实数根； III 当 0 时，一元二次方程没有实数根 4、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(0 2 acbxax 的两个实数根是 21 xx ， ，那么 a b xx 21 ， a c xx 21 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方 程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二 次项系数所得的商。 5、一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式
3、分解 法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数 。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有 人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以 便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是 否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元 二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习 其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法 之 一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法 ，配方法，待定系数 法）。 4 / 17 二例题
4、讲解： 例 1：解一元二次方程 （1）4 2 x（2）06 2 xx（3）0132 2 xx 【例题解析】： （1）可以利用直接开方法或利用因式分解法或公式法； （2）可以利用配方法或公式法或因式分解法；（3）可以利用配方法 或公式法或因式分解法。 解： （1）a 直接开方法：24 2 xx b因式分解法：220)2)(2(044 22 xxxxxx或 （2）a 配方法： 解： 32 2 5 2 1 2 5 2 1 ) 2 5 ( 4 25 ) 2 1 ( ) 2 1 (6) 2 1 ( 2 1 2 6 06 22 222 2 2 xx x x x xx xx xx 或 b 公式法：使用该方法
5、首先要将方程转化为0 2 cbxax，再准确找 出该一元二次方程中的cba,的值是做对该题的重要前提和保证。 由题可知：6, 1, 1cba 所以 32 12 )6(14)1()1( 2 xx x 或 5 / 17 （3）方法一：（配方法） 2 1 1 4 1 4 3 4 1 4 3 16 1 ) 4 3 ( ) 4 3 ( 2 1 ) 4 3 ( 4 3 2 2 1 2 3 132 0132 2 222 2 2 2 xx x x x xx xx xx xx 或 方法二： （公式法） 由题可知：1,3,2cba 所以： 2 1 1 22 12433 2 xx x 或 方法三： （因式分解） 2
6、 1 1 0)1)(12( xx xx 或 注：在求一元二次方程的根之前，首先要将方程转化成标准形式 )0(0 2 acbxax，再对它的的取值情况进行判定；最后再对求根 的方法进行选取，如配方，公式，还是因式分解法，特别是配方法的 知识基础是建立在完全平方公式： 222 )(2bababa之上的。 6 / 17 例 2：用直接开方法解一元二次方程 （1）049 2 x(2) 4) 1( 2 x (3)3) 1( 2 x(4)9)1(16 2 x 解析： （1）由题可知： 3 2 3 2 3 2 9 4 49049 222 xxxxxx或 （2）由题可知： 1321214) 1( 2 xxxx
7、x或 （3）由题可知： 313131313)1( 2 xxxxx或 （4）由题可知： 4 1 4 7 4 3 1 4 3 1 16 9 )1(9)1(16 22 xxxxxx或 注：求一元二次不等式的根方法中，直接开方法是最基础的方法。 【练一练】：用直接开平方法解下列一元二次方程。 （1） 014 2 x （2） 2)3( 2 x （3） 51 2 x （4） 16281 2 x 7 / 17 例 3：用配方法解一元二次方程 （1）082 2 xx（2）0132 2 xx （3）013 2 xx（4）0184 2 xx 解析： （1）由题可知： 9)1(1811282082 222222 x
8、xxxxxx 423131xxxx或 （2）由题可知： 2 1 1 4 1 4 3 4 1 4 3 16 1 ) 4 3 () 4 3 ( 2 1 ) 4 3 ( 4 3 2 2 1 2 3 1320132 2222 222 xxxx xxx xxxxxx 或 （3）由题可知： 22222 ) 2 3 (1) 2 3 ( 2 3 213013xxxxxx 2 13 2 3 2 13 2 3 4 13 ) 2 3 ( 2 xxx 2 133 2 133 xx或 （4）由题可知： 2 1 218401840184 2222 xxxxxxxx 2 6 1 2 3 )1(1 2 1 112 2222
9、xxxx 2 62 2 62 2 6 1xxx或 注解：配方法的知识基础是建立在完全平方公式： 222 )(2bababa 之上的。 8 / 17 【练一练】：用配方法解下列一元二次方程。 1、. 066 2 yy 2、 xx423 2 3、 964 2 xx 4、 054 2 xx 5、 0132 2 xx 6、 0723 2 xx 7、 0184 2 xx 8、0 4 1 2 1 2 xx 9 / 17 例 4：用公式法解一元二次方程 （1）032 2 xx（2）0132 2 xx （3）13 2 xx（4）184 2 xx 解析（ 1）由题可知：3, 2, 1cba 所以： 13 12
10、)3(14)2()2( 2 xx x 或 （2）由题可知：1,3,2cba 所以： 2 1 1 22 12433 2 xx x 或 （3）由题可知：1,3,2cba 所以： 2 1 1 22 12433 2 xx x 或 （4）由题可知：1,3,2cba 所以： 2 1 1 22 12433 2 xx x 或 注 解 ： 使 用 公 式 法 求 一 元 二 次 方 程 的 根 ， 要 将 方 程 转 化 为 )0(0 2 acbxxa的形式，再准确找出对应的cba,的值。 10 / 17 【练一练】用公式解法解下列方程。 1、 082 2 xx 2、 2 2 3 14yy 3、 yy3213
11、2 4、 0152 2 xx 5、 184 2 xx 6、 0232 2 xx 7、0 4 1 2 1 2 xx8、 0723 2 xx 11 / 17 例 5：用因式分解法解一元二次方程 （1）082 2 xx（2）0132 2 xx （3）03 2 xx（4）034 2 xx 解析：多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能 否运用公式或十字相乘法， 最后考虑分组分解法 对于一个还能继续 分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括 如下： “首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组 分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式” 对于用因式分解法求一元
12、二次方程根的问题，首先将方程转化为 )0(0 2 acbxxa或)0(0 2 abxxa的 形 式 ， 第 一 种 形 式 )0(0 2 acbxxa再考虑用因式分解中十字相乘法，第二种形式 )0(0 2 abxxa就只需提取公因数（式）即可。 （1）由题可知： 082 2 xx x44x x22x xxx24)2( 所以0)2)(4(xx 24xx或 以后做得非常熟练之后，其解答过程可直接写成：0)2)(4(xx 从而方程的根就为24xx或 （2）由题可知 12 / 17 0132 2 xx x2112x x11x xxx3112 所以0)1)(12(xx 1 2 1 xx或 （3）由题可知
13、：该题符合)0(0 2 abxxa的形式，则只需提取公因 式即可，故0)3(xx 所以方程的根为30xx或 （4）由题可知：首先将方程转化为034 2 xx 034 2 xx x4334x x11x xxx)3(14 所以0)1)(34(xx 1 4 3 xx或 注解：要使用因式分解法求一元二次方程的根，首先将方程转化 为)0(0 2 acbxxa或)0(0 2 abxxa的 形 式 ， 第 一 种 形 式 )0(0 2 acbxxa再考虑用因式分解中十字相乘法，第二种形式 )0(0 2 abxxa就只需提取公因数（式）即可。 13 / 17 【练一练】用因式分解法解下列一元二次方程。 1、
14、xx2 2 2、 086 2 xx 3、0673 2 yy4、012 2 xx 5、03165 2 xx6、04 2 1 2 xx 7、 0) 32() 1( 22 xx 8、 22 )2(25) 3(4xx 9、 0)21()21( 2 xx 10、 0)23()32( 2 xx 14 / 17 第 1 练 一元二次方程及其解法 用适当的方法解下列一元二次方程。 1、 513xxxx 2、 xx532 2 3、 2 260xy 4、 0107 2 xx 5、 623 xx 6、 0334 2 xxx 7、 0215 2 x 8、 043 2 yy 9、 0307 2 xx 10、 412 y
15、y 11、 1314xxx 12、 02512 2 x 15 / 17 13、 222 44abaxx 14、 baxabx23 22 15、 0 22 aaxx 16、 36 31 3 5 2 xx 17、 213 yy 18、 )0(0)( 2 abxbaax 19、 03) 19(3 2 axax 20、 01 2 xx 21、 0293 2 xx 22、 02 222 abaxx 23、x2+4x-12=0 24、 03022 2 xx 16 / 17 25、 0175 2 xx 26、 185 2 xx 27、 02332 222 nmnmnxmxx 28、3x 2+5(2x+1)=0 29、 xxx22) 1)(1( 30、 143 2 xx 31、 yy222 2 32、 xx54 2 33、 34、 1126xx 35、 03022 2 xx 36 、x 2+4x-12=0 0452 2 xx 17 / 17 37、 03 2 xx 38、 1 2 xx 39、 yy3213 2 40、 0 8 1 2 22 tt 41、 125 2 yy 42、 792 2 xx =0