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1、第四节二次函数 考纲解读结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的 存在性及根的个数. 命题趋势探究对于二次函数， 高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二次函数、 一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以及分类讨论三 种数学思想 . 由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学中应 用十分广泛， 并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景仍将是一个 热点 . 知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： 2 ( )(0)f xaxbxc
2、a； （2）顶点式： 2 ( )()(0)f xa xmn a；其中，(, )m n为抛物线顶点坐标，xm为 对称轴方程 . （3）零点式： 12 ( )()()(0)f xa xxxxa，其中， 12 ,x x是抛物线与x轴交点的横坐 标. 2二次函数的图像 二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a的图像是一条抛物线，对称轴方程为 2 b x a ，顶点 坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa . (1) 单调性与最值 当0a时，如图 2-8 所示，抛物线开口向上，函数在(, 2 b a 上递减，在,) 2 b a 上递增，当 2 b x a 时， 2 min 4 ( ) 4 a
3、cb f x a ；当 0a 时，如图2-9 所示，抛物线开 口 向 下 ， 函 数 在(, 2 b a 上 递 增 ， 在,) 2 b a 上 递 减 ， 当 2 b x a 时 ，； 2 max 4 ( ) 4 acb f x a . O 2 b x a y 2 4 4 acb a x 图 2-8 O y x 2 b x a 2 4 4 acb a 图 2-9 (2) 与x轴相交的弦长 当 2 40bac时，二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a的图像与x轴有两个交点 11 (,0)Mx和 22 (,0)Mx， 2 12121212 | |()4 | M Mxxxxx x a .
4、二、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a，当0a时，( )fx在区间, p q上的最大值是M， 最小值是 m，令 0 2 pq x： （1）若 2 b p a ，则( ),( )mfp Mf q； （2）若 0 2 b px a ，则(),( ) 2 b mfMf q a ； （3）若 0 2 b xq a ，则(),() 2 b mfMfp a ； （4）若 2 b q a ，则( ),( )mf qMfp. 三、一元二次方程与二次函数的转化 1实系数一元二次方程 2 0(0)axbxca的实根符号与
5、系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 12 ,x x 2 12 12 40 0 0 bac b xx a c x x a （2）方程有两个不等负根 12 ,x x 2 12 1 2 40 0 0 bac b xx a c x x a （3）方程有一正根和一负根，设两根为 12 ,x x 12 0 c x x a 2.一元二次方程 2 0(0)axbxca的根的分布问题 一般情况下需要从以下4 个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 2 b x a 与区间端点的关系； （4）区间端点 函数值的正负 . 设 12 ,x x为实系数方程 2 0(0)axbxca的两根，则一元二
6、次 2 0(0)axbxca 的根的分布与其限定条件如表2-5 所示 . 表 2-5 根的分布图像限定条件 12 mxx 0 2 ()0 b m a f m 12 xmx()0f m 12 xxm 0 2 ()0 b m a f m 根的分布图像限定条件 在区间(, )m n内 没有实根 O nm y x 0 O n m y x 12 12 0 xxm xxm或 O n m y x 0 2 ()0 b m a f m O n m y x 0 2 ( )0 b n a f n O nm y x ()0 ( )0 f m f n m 1 x 2 x O y x 1 x O m 2 x y x 1
7、x O 2 x y x m 在区间(, )m n内 有且只有一个实根 O n m y x ()0 ( )0 f m f n O nm y x ()0 ( )0 f m f n 在区间(, )m n内 有两个不等实根 O n m y x 0 2 ()0 ( )0 b mn a f m f n 四、二次不等式转化策略 1. 二次不等式的解集与系数的关系 若二次不等式 2 ( )0f xaxbxc的解集是 0 (,) a b a c a 二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x轴交点横坐标有关的. 2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略 已知二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc
8、 a.( )0f x恒成立 0 0 a ；( )0f x恒成立 0 0 a . 注 若表述为 “ 已知函数 2 ( )f xaxbxc” ，并未限制为二次函数，则应有 ( )0f x恒成立 0 0 a 或 0 0 ab c ；( )0f x恒成立 0 0 a 或 0 0 ab c . 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧 有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题 动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住 “ 三点一轴 ” ，三点指的是区间两个端点和区间 中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往
9、分成： 轴处在区间的左侧；轴处在区间的右侧；轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间 中点的位置关系） ，从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、 对称轴位置及区 间端点函数值正负. 题型归纳及思路提示 题型 20 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 思路提示二次函数、 二次方程、 二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利 用数形结合思想进行分析. 例 2.41 “0a” 是“ 方程 2 210axx至少有一个负数根” 的（） 必要不充分条件充分不必要条件充要条件既不充分也不必要条件 解析由于0a，则方程 2 210axx的
10、判别式440a， 设 12 ,x x为方程的两根，则 12 12 2 0 1 0 xx a x x a ，故 12 ,x x异号，因此方程有一个负数根； 但反之，若方程 2 210axx有负数根，当0a时，即210x有负数根 1 2 x， 那么方程 2 210axx有负数根0a.因此 “0a” 是方程 “ 2 210axx至少有 一个负数根 ” 的充分不必要条件.故选 B. 变 式1已 知 函 数 2 ( )f xaxbxc， 且abc，0abc， 集 合 |()0Amfm，则（） . A. mA，都有(3)0f mB. mA，都有(3)0f m C. 0 mA，使得 0 (3)0f mD.
11、0 mA，使得 0 (3)0f m 变式 2已知函数 2 ( )24(03)f xaxaxa，若 12 xx， 12 1xxa，则（）. A. 12 ()()f xf xB. 12 ()()f xf x C. 12 ()()f xf xD. 1 ()f x与 2 ()f x的大小不能确定 例 2.42 （2012 江苏 13）已知函数 2 ( )( ,)f xxaxb a bR的值域为0,)，若关于 x的不等式( )fxc的解集为(,6)m m，则实数c的值为 _. 解析将二次不等式转化为二次方程求解. 由题意知 2 ( )f xxaxb的值域为0,)，得 2 40ab.不等式( )f xc
12、( )0f xc，即 2 0xaxbc的解集为(,6)m m，设方程 2 0xaxbc的 两根为 12 ,x x，则 12 12 xxa x xbc ， 22 121212 |()444xxxxx xabc 46c，得9c. 评注本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式 2 xaxbc的解集为 (,6)m m与方程 2 xaxbc的实根 12 ,x x之间的联系，即 12 | 6xx. 变式1 （2012 浙江理17）设aR，若0x时均有 2 (1)1(1)0axxax，则 _a. 变式 2 （2012 北京理 14）已知 ( )(2 )(3), ( )22 x f xm xm
13、xmg x，若同时满足 条件： ,( )0xR f x或( )0g x；(, 4),( ) ( )0xf x g x，则 m的取值范围是 _. 题型 21 二次方程 2 0(0)axbxca的实根分布及条件 思路提示结合二次函数 2 ( )f xaxbxc的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出 关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围. 例243 已知,是方程 2 (21)420xmxm的两个根，且2，求实数m 的取值范围 . 分析根据二次方程根的分布结合图像求解. 解 析根据题意，如图2-10 所 示，对于 2 ( )(21)42f xxmxm， 由 图像知 2，得(2)0f，故 2 (
14、2)2(21 ) 2 4 20fmm，解得3m，所以m 的取值范围是(, 3). 图2-10 2 O y x 评注利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果. 变式 1 关于x的方程 22 (1)210mxmx的两个根， 一个小于0，一个大于 1.求实数m 的取值范围 . 变 式2 已 知 二 次 函 数 2 ( )2( ,)f xxbxc b cR满 足(1)0f,且 关 于x的 方 程 ()0fxxb 的两个实数根分别在区间 ( 3, 2)和(0,1)内，求实数b的取值范围 . 例 2.44 已知方程 32 230( , ,)xaxbxca b cR的三个实根可分别作为一个椭
15、圆、一 个双曲线、一个抛物线的离心率，则 22 ab的取值范围是（）. A. 10 (,) 3 B. 10 ,) 3 C. ( 10,)D. 10,) 解 析由 方 程 32 230( , ,)xaxbxca b cR有 三 个 实 根 123 ,x xx， 且 满 足 123 01,1,1xxx.则231abc，得123cab. 32 232310xaxbxab, (*) 由1x是方程的根，可知方程(*) 可写成： 2 (1)(231)0xxmxab，展开并与 方程 (*) 对照系数可得21ma.所以 2 (21)(231)0xaxab. 令 2 ( )(21)(231)f xxaxab，
16、(0)2310 (1)4330 fab fab ，如图2-11，( , )a b所在 的区域如阴影部分所示,点 1 ( 1, ) 3 A，则 22 ab的取值范围是 10 (,) 3 .故选 A. 2a+3b+1=0 4a+3b+3=0 O 图 2-11 b a -1 A（-1, 1 3 ） 变式 1设直线2yxm与y轴相交于点P，与曲线 22 :33(1)Cxyx相交于 Q， R，且 |PQ|bc，a+b+c=0，则 ( ). A. x (0,1)，都有(x)0 B. x(0,1)，都有(x)0 5. 已知点 A(0,2)，B(2,0)，若点 C 在函数 y=x 2 的图像上，则使得ABC
17、的面积为2 的点 C 的 个数为 ( ). A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知函数(x)=2x 2+(4-m)x+4-m， g(x)=mx，若对于任意实数 x， (x)与 g(x)的值至少有一个 为正数，则实数m 的取值范围是( ). A. -4,4 B. (-4,4) C. (-,4) D. (-,-4) 7. 若函数(x)=x 2+(a+2)x+b(x a,b)的图像关于直线 x=1 对称，则(x)max=_. 8. 关于 x 的方程 2x 2+ax-5-2a=0 的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率， 则实 数 a 的取值范围是_. 9. 当 x 0,2 时，函
18、数(x)=ax 2+4(a-1)x-3 在 x=2 时取得最大值， 则 a 的取值范围是 _. 10.已知二次函数(x)=ax 2-x+c(x R)的值域为 0,+ )，则 ca ac 22 的最小值为 _. 11.已知定义域为R 的函数(x)满足( (x)-x 2 +x)= (x)-x 2+x. (1)若 (2)=3，求(1)，又若(0)=a，求(a)； (2)设有且仅有一个实数x0，使得 (x0)=x0，求函数(x)的解析式 . 12.已知二次函数(x)=x 2+mx+1(x Z)， 且关于 x 的方程 (x)=2 在区间 (-3, 1 2 )内有两个不同的实 根. (1)求 (x)的解析式； (2)若 x 1,t(t1) 时，总有(x-4) 4x 成立，求t 的最大值 .