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1、第八节函数的图像 考纲解读 1.掌握描绘函数图像的两种基本方法 直接描点法（列表描点）和图像变换法. 2.会利用函数图像进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题. 3.会用数形结合、转化与化归的思想，分析解决数学问题. 命题趋势探究 基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是用来研究其他图像问题的基础，是研究函 数性质的重要工具. 解决此类问题的重要思路是要利用函数性质与图像之间的对应关系去比照，如定义域、 单调 性、奇偶性、特殊点等. 高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数行之一并考 察，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有知式选图、知图选式、图像
2、变换（平移 变换、对称变换）以及灵活地应用图像解题，属于每年必考内容之一 知识点精讲 一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数； （ 2）二次函数； （3）反比例函数； （4）指数函数； （5）对数函数； （6）三 角函数 . 二、函数图像作法 1.直接画 确定定义域；化简解析式；考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、 凹凸性；特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换 （1）平移变换 函数()(0)yf xa a的图像是把函数( )yf x的图像沿x轴向左平移a个单位得到 的； 函数()(0)yf xa a的图像是把函数( )yf x的图像沿
3、x轴向右平移a个单位得到 的； 函数( )(0)yf xa a的图像是把函数( )yf x的图像沿y轴向上平移 a个单位得到 的； 函数( )(0)yf xa a的图像是把函数( )yf x的图像沿y轴向下平移a个单位得到 的； （2）对称变换 i:函数( )yf x与函数()yfx的图像关于y轴对称； ii: 函数( )yf x与函数( )yf x的图像关于x轴对称； iii: 函数( )yf x与函数()yfx的图像关于坐标原点(0,0)对称； i:若函数( )f x的图像关于直线xa对称，则对定义域内的任意x都有 ()()f axf ax或( )(2)f xfax（实质上是图像上关于直线
4、xa对称的两点 连线的中点横坐标为 a，即 ()() 2 axax a为常数）； ii: 若函数( )f x的图像关于点( , )a b对称，则对定义域内的任意x都有 ( )2(2)()2()f xbfaxf axbf ax或 ( )yf x的图像是将函数( )f x的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分 关于x轴对称翻折上来得到的（如图2-21（a）和图 2-21（ b） ）所示 ()yfx的图像是将函数( )f x的图像只保留y轴右边的部分不变， 并将右边的图像 关于y轴对称得到函数()yfx左边的图像即函数()yfx是一个偶函数 （如图 2-21 （ c） 所示） . 注：( )
5、f x的图像先保留( )f x原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称 图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而()fx的图像是先保留( )f x在y轴右方的图像， 擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到.这两变换又叫翻 折变换 . 函数 1 ( )yfx与( )yf x的图像关于yx对称 . （3）伸缩变换 ( )(0)yAf x A的图像，可将( )yf x的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A或缩短 (01)A到原来的A倍得到 . ()(0)yfx的图像，可将( )yf x的图像上的每一点的横坐标伸长(01)或 缩短(1)到原来的 1 倍得到 . 题型归纳
6、及思路提示 题型 31 由式选图（识图） 思路提示 利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项， 从而筛选出正确答案 例 2.70 函数 2 2 x yx的图像大致是（） 分析 观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同. 解析解法一： 当0x时，函数2x y单调递增， 同时函数 2 yx单调递增， 故函数( )f x 在,0上单调递增，排除,C D；当0x时，( )f x存在两个零点 12 2,4xx，所以 排除选项B.故选A. 解法二： 如图 2-22 所示，有图像可知，函数2x y与函数 2 yx的交点有3 个，说明函数 2 2 x y
7、x的零点有3 个， 故排除选项,B C； 当 0 xx时， 2 2 x x成立， 即 2 20 x yx， 故排除选项D，故选A. A xO x y O y x x y OO y B C D 变式 1 函数ln cos 22 yxx 的图像是（） 变式 2 在同一坐标系中画出函数log, x a yx yayxa的图像，可能正确的是（） 变式3 函数 2 yaxbx与log,0, b a yx abab在同一直角坐标系中的图像可能 是（） 变式 4（ 2012 新课标全国卷10）已知函数 1 ( ) ln(1) f x xx ，则( )yf x的图像大致为 （） 题型 32 函数图像的应用 思
8、路提示1 利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得 到方程解的个数. 例 2.71 函数 0.5 ( )2 log1 x f xx的零点个数为（） .1A.2B.3C.4D 解析 令 0.5 ( )2 log10 x f xx可得 0.5 1 log 2 x x.设 0.5 ( )logg xx， 1 ( ) 2 x h x ， 在同一坐标系下分别画出函数( ), ( )g x h x的图像，如图2-23 所示 .可以发现两个函数一定有 2 个交点，因此函数( )f x有 2 个零点 .故选B. 变式 1 已知函数 3 2 ,2 ( ) (1) ,2 x
9、 f xx xx ，若关于 x的方程( )f xk有两个不同的实根， 则实数k的取值范围是 变式 2直线1y与曲线 2 yxxa有 4 个交点，则a的取值范围是 变式 3 函数( )2lnf xx的图像与函数 2 ( )45g xxx的图像的交点个数为（） .3A.2B.1C.0D 变式 4 设定义域为R的函数 lg1 (1) ( ) 0(1) xx f x x ，则关于 x的方程 2 ( )( )0f xbf xc有 7 个不同实数解的充要条件是（） .00Abc且.00B bc且 .00C bc且.00D bc且 变 式5 设 定 义 域 为R的 函 数 1 2 51 (0 ) ( ) 4
10、4(0) x x f x xxx ， 若 关 于 x 的 方 程 2 2 ()2()0fxm x fxm有 7 个不同实数解，则m 思路提示2 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的 交点，根据题意结合图像写出答案 例 2.72 设函数 1 2 21(0) ( ) (0) x x f x xx ，若 0 ()1f x，则 0 x的取值范围是（） .( 1,1)A.( 1,)B .(,2)(0,)C.(, 1)(1,)D 分析 作出函数( )yf x与1y的图像，由图像得不等式的解集. 解析 作出函数( )yf x与1y的图像， 如图 2-24 所示，得
11、 0 ()1f x所对应的 0 x的取值范 围是(, 1)(1,)，故选D. 变式1 (2010 新课标全国卷理24)设函数, 142xxf若不等式axxf的解集非 空，求a的取值范围 . 变式 2 已知函数 , 04 04 2 2 xxx xxx xf若不等式afaf 2 2， 则实数a的取值范围 是 （） A、, 21,B、2, 1C、1 ,2D、, 12, 变式 3 （2012 福建理 15）对于实数a和b，定义运算 “*”：a*b= baabb baaba , , 2 2 ，设 12xxf*1x，且关于x的方程Rmmxf恰有 3 个互不相等的实数根 1 x 32, ,xx，则 321
12、xxx的取值范围是. 变式 4（ 2010 新课标全国卷理11）已知函数 , 106 2 1 )100(lg xx xx xf若cba,互不相等， 且,cfbfaf则abc的取值范围是（） A、10, 1B、6 ,5C、12,10D、24,20 思路提示3 利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从 图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。 例 2、73 用cba,min表示cba,三个数中的最小值，设xxxf x 10, 2,2min 0x，则xf的最大值为（） A、4 B、5 C、6 D、7 分析题设中的函数xxxfy x 10,2
13、,2min实际上是一个定义在,0上的分 段函数，利用数形结合思想即可作答. 解析如图 225 所示，图像（实线）的最高点，即直线2xy与直线xy10的交 点 A，A的纵坐标即为所求.由,6, 4A得函数xf的最大值为6.故选C. 变式1 设,2,21 22 xxxgxxf若, 22 xgxf xgxf xF则xF 的最大值为. 变式2 （ 2012 湖南理8）已知两条直线myl : 1 和,0 12 8 : 2 m m yl 1 l与函数 xy 2 log的图像从左到右相交于点BA,， 2 l与xy 2 log的图像从左到右相交于点 DC,， 记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为ba,.当
14、m变化时， a b 的最小值为 （） A、216B、28C、 3 48D、 3 44 最 有 效 训 练 题 1、若点ba,在xylg图像上，1a，则下列点中也在此图像上的是（） A、b a , 1 B、ba1 ,10C、1, 10 b a D、ba2, 2 2、为得到函数1log 2 xy的图像，可将函数xy2log的图像上所有点的（） A、纵坐标缩短到原来的, 2 1 横坐标不变，再向右平移1 个单位长度 . B、纵坐标缩短到原来的, 2 1 横坐标不变，再向左平移1 个单位长度 . C、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1 个单位长度 . D、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不
15、变，再向右平移1 个单位长度 . 3、函数xfy的图像如图226 所示，则函数xfy 2 1 log的图像大致是（） 4、函数xxyln与xxyln的图像关于（） A、直线xy对称B、x轴对称C、y轴对称D、原点对称 5、若函数Rxxfy满足xfxf2，且1 , 1x时，xxf.则函数 xfy的图像与函数xy 4 log的图像的交点个数为（） A、3 B、 4 C、 6 D、 8 6、 函 数xfy与 函 数xgy的 图 像 分 别 如 图227 （a） （b） 所 示 .则 函 数 xgxfy的图像可能是（） 7、把函数32log2xy的图像向左平移1 个单位长度得到函数的图像 . 8、指数
16、函数 x a b y的图像如图228 所示，则二次函数bxaxy 2 的顶点的横坐标 取值范围是. 9、若,1a则函数4xaxf x 的零点为m， 4logxxxg a 的零点为 n，则 nm 11 的取值范围是 10、若直角坐标平面内的两点QP,满足条件： 1QP,都在函数xfy的图像上； 2QP, 关于原点对称，则称函数对QP,是函数xfy的一对 “ 友好点对 ” （点对QP,于PQ, 看作同一对 “ 友好点对 ” ）.已知函数 )0(4 )0(log 2 2 xxx xx xfy，则此函数的“ 友好点对 ” 有对. 11、作出下列函数的图像. (1) x x y 3 (2) 1 2 x x y(3) 1log2xy(4) 1 2 x BA OO y y xx DC OO y y xx ( )b( )a OO 1 1 y y xx 2 2 图 2-27 (5) 2 xxy(6) x y 2 1 (7)32 2 xxy 12、已知函数34 2 xxxf. （1）求函数xf的单调区间； （2）求m得取值范围，使得方程mxxf有 4 个不等实根 .