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1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲解读 理解空间直线、 平面位置关系的定义， 并了解平面基本性质可以作为推理依 据的公理和定理 . 命题趋势探究 （1）考查内容 . 近年来， 高考命题呈现出由考查知识向考查能力方向转变的趋势，题目新颖， 灵活 性强，立体几何试题经常以简单几何体为载体，考查线面位置关系，以中档难度题为主； 平面的基本性质、 公理、公理的推论及直线与平面的位置关系，都是每年必考的知识点， 试题难度不大，多为选择题和填空题. 垂直是直线与直线、直线与平面、 平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下 的作用，或称“二传手”，不少问题常以垂直为解题的突破口，然后深入，主要
2、考查渗透转 化思想 . （2）本专题知识的考查多为识记，理解内容，如果掌握了方法，题目一般不是太难， 每年高考分值约5 分. 知识的精讲 一、平面的基本性质 平面的基本性质如表8-4 所示 . 表 8-4 名称图形文字语言符号语言 公理 1 如果 一条直 线上的两点在一 个平面内，那么 这条直线上所有 的点都在这个平 面内 Al Bl l A B 公理 2 过不在同一直线 上的三点有且只 有一个平面 A,B,C不共线 A,B,C且是 唯一确定的 公理2 的推论 推论 1 经过一条直线和 该直线外一点有 且只有一个平面 若点A,则经过 点 A 和直线a 有且 仅有一个平面 推论 2 两条相交直线
3、确 定一个平面 abP有 且 只 有一个平面，使 ,ab 推论 3 两条平行直线确 定一个平面 a b有且只有一 个 平 面， 使 ,ab 公理 3 如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 若,P则 ,a且 Pa 二、空间直线与直线的位置关系 1.位置关系如表8-5 所示 . 表 8-5 位置关系相交（共面）平行（共面）异面 图形 符号abP ab,aA bAb 公 共 点 个 数 1 0 0 特征两条相交直线确定一个平 面 两条平行直线确定一个 平面 两条异面直线不同在 如何一个平面内 2.公理 4（平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行. 3.
4、定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）. 三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6） 位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线） 图形 符号l lP l 公共点个 数 无数个1 0 四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7） 表 8-7 位置关系平行相交（但不垂直）垂直 图形 符号 l，l 公共点个数0 无数个公共点且都在 唯一的一条直线上 无数个公共点且都在 唯一的一条直线上 注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90 o 也叫垂直 . 题型归纳及思路提示 题型 111 证明“点共面”、 “线共面”或“点共线”及“线
5、共点” 思路提示 要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点 也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点 都是这两个平面的公共点，根据公理3 可知这些点在交线上，因此共线，证明“线共点” 问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是： 先证明两条直线交于一点，再证明交点 在第三条直线上. 例 8.19 如图 8-73 所示，平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF 与 ABCD 都是直角梯形， 0 90 ,BADFAB 11 ,. 22 BCAD BEAF 求证： C,D,F,E四点共面 . 分析证明四点共面，利用平面的确
6、定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明 DC,FE相交与一点 . 解 析如 图8-74所 示 ， 延 长DC 交AB 的 延 长 线 与 点G ， 由 1 , 2 B CA D 得 1 , 2 GBGCBC GAGDAD 延长 FE交 AB的延长线于G ， 同理可得 1 , 2 G EG BBE G FG AAF 故 , G BGB G AGA 即 G与 G 重合，因此，直线CD和 EF相交与点 G，即 C,D,F,E四点共面 . 变式 1 如图 8-75 所示， 已知 ABCD-A1B1C1D1是正方体 ,点 F在 CC 1上， 且 AE=FC1,求证 E,B,F,D1 四点共面 .
7、 变式 2 如图 8-76 所示，在六面体ABCD -A1B1C1D1中，上下底面均为正方形， 1 DD平面 A1B1C1D1， 1 DD平面 ABCD .求证： A1C1与 AC共面， B1D1与 BD 共面 . 例 8.20 如图 8-77 所示，空间四边形ABCD中， E,F,G 分别在 AB,BC,CD上， 且满足 AE： EB =CF： FB =2： 1， CG ： GD=3： 1， 过 E,F,G 的平面交AD 于 H， 连接 EH,HG.(1)求 AH： HD;(2)求证：EH,FG,BD 三线共点 . 解析（1）因为2 AECF EBFB ， 所以 EF AC,又 EF平面 A
8、CD，所以 EF平面 ACD，而 EF平面EFGH ，且平面EFGH平面ACD=GH,所以EF GH,而 EF AC,所以 ACGH,所以 3 AHCG HDGD ， 即 AH：HD=3：1. （2）证明：因为EF GH，且 11 , 34 EFGH ACAC， 所以 EF GH,所以四边形EFGH为梯形 . 令EHFGP， 则,PEH PFG， 而EH平面 ABD，FG平面 BCD， 平面ABD 平面 BCD=BD，所以,PBD，故 EH,FG,BD 三线共点 . 评注所谓“线共点” 问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为： 先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过
9、该点，把问题转化为证明点在线上的问题. 实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题. 变式 1 如图 8-78 所示， 正方体 ABCD -A1B1C1D1中，E,F分别是 AB,AA1的中点 .求证：（1）E,C, D1,F 四点共面；（ 2）CE ,D1F,DA 三线共点 . 变式 2 如图 8-79 所示，点E,F,C,H 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 AB,BC,CC1,C1D1的中点， 证明： EF ,HG,DC三线共点 . 题型 112 截面问题 思路提示 截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并 确定该截面的形状
10、.例 8.21 如图 8-80 所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为 1， P为 BC的中 点， Q 为线段 CC 1上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得截面记为S ,则下列命题正确 的是.（写出所以正确命题的编号）. 当 1 0 2 CQ时， S为四边形； 当 1 2 CQ时， S为等腰梯形； 当 3 4 CQ时， S与 C1D1的交点 R 满足 1 1 3 C R； 当 3 1 4 CQ时， S为六边形； 当1CQ时， S的面积为 6 2 . 分析本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其 是两条平行直线确定一个平面. 解析对于 ,
11、因为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，当 1 2 CQ时， 2 2 PQ，这时 过,A P Q的截面与正方体表面交与点 1 D，且PQ 1 AD，截面S，如图 8-81 （a）所示， 1 5 , 2 APD Q截面S为等腰梯形，当 1 0 2 CQ时，过,A P Q三点的截面与正方体 表面的交点在棱 1 DD上，截面 S为四边形，如图 8-81 （b）所示，故正确； 如图 8-81（c）所示，当 3 4 CQ时， 11 1 , 3 C RC Q CTQC 又 CT=1，得 1 1 3 C R； 如图8-81 （d）所示，当 4 5 CQ时，过点,A P Q的平面截正方体所得的截面为
12、五边形 APQRS ； 如图8-81 （e）所示当1CQ时，则过点,A P Q的截面为,SA P Q，其截面为菱形， 对角线 2,3,SPAQ 所以S的面积为 16 23. 22 综上，正确的命题序号是. 变式 1 如图 8-82 所示，M是正方体ABCD -A1B1C1D1的棱 DD1的中点， 给出下列四个命题： 过M点有且只有一条直线与直线 11 ,AB BC都相交； 过M点有且只有一条直线与直线 11 ,AB BC都垂直； 过M点有且只有一个平面与直线 11 ,AB BC都相交； 过M点有且只有一个平面与直线 11 ,AB BC都平行 . 其中真命题是（）. A. B. C. D. 变式
13、 2 在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1， 过对角线 1 BD的一个平面交 1 AA于 E， 交 1 CC 与 F，得四边形 1 BFD E，给出下列结论： 四边形 1 BFD E有可能是梯形； 四边形 1 BFD E有可能是菱形； 四边形 1 BFD E在底面 ABCD内的投影一定是正方形； 四边形 1 BFD E有可能垂直与平面 11 BB D D； 四边形 1 BFD E面积的最小值为 6 2 . 其中正确的是（） A. B. C. D. 题型 113 异面直线的判定 思路提示 判定空间两条直线是异面直线的方法如下： （1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经
14、过B点的直线是异面 直线 . （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面. 例 8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）. A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 解析假设 a 与 b 是异面直线，而ca, 则 c 显然与 b 不平行（否则cb，则有ab， 矛盾） ，因此c与b可能相交或异面，故选B. 评注判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法. 变式 1 已知空间三条直线,l m n，若l与m异面，且l与n异面，则（） A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能 变式
15、2 已知,a b为不垂直的异面直线，是一个平面， 则,a b在上的射影可能是：两条 平行直线； 两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点，则在上面的结 论中，正确的结论的编号是（写出所有正确的编号）. 变式 3 若直线l不平行于平面，且l，则（） A. 内的所有直线与l异面 B. 内不存在与l平行的直线 C. 内存在唯一的直线与l平行 D. 内的直线与l都相交 例 8.23 如图 8-83 所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内，M和N分 别AB和DF为的中点，用反证法证明：直线ME与BN是异面直线 . 解析假设直线ME与BN共面，连接,AN NE EB, 则AB平面
16、MBEN, 且平面MBEN 与平面交于，由已知，两正方形ABCD和DCEF不在同一平面，故AB平面DCEF， 又ABCD，所以 AB 平面DCEF，又平面MBEN平面DCEFEN，所以 AB EN，又ABCDEF，所以EFEN，这与EFENE矛盾，故假设不成立，所 以直线ME与BN不共面，直线ME与BN是异面直线 . 变式 1 在正方体ABCDA B C D中，棱,BB C D的中点分别是,F H，如图 8-84 所示， 判断点,A DF H是否共面？并说明理由. 最有效训练题33（限时 45 分钟） 1. 下列命题正确的是（） A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.
17、 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 2. 下列四个命题：若直线,a b是异面直线，,b c是异面直线，则 ,a c是异面直线；若直 线,a b相交，, b c相交，则 ,a c相交；若ab， 则,a b与c所成的角相等； 若,ab bc， 则ac，其中真命题的个数是（） A.4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（） A. 在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B. 过直线m有且只有一个平面与平
18、面垂直 C. 与直线 m垂直的直线不可能与平面 平行 D. 与直线m平行的平面不可能与平面垂直 4. 平行六面体 1111 ABCDABC D中, 既与AB共面也与 1 CC共面的棱的条数为（） A.3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图 8-85 所示，M是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 DD的中点，给出下列四个命题： 过M点有且只有一条直线与直线 11 ,AB BC都相交； 过M点有且只有一条直线与直线 11 ,AB BC都垂直； 过M点有且只有一个平面与直线 11 ,AB BC都相交； 过M点有且只有一个平面与直线 11 ,AB BC都平行； 其中真命题是（） A.
19、B. C. D. 6如图8-86 所示，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错 误的为（） A. ACBD B. AC截面PQMN C. ACBD D.异面直线PM与BD所成的角为45 图 8-86 7过正方体 1111 ABCDA BC D的顶点A作直线l，使l与直线 1 ,AB AD AA所成的角都相 等，这样的直线l可以作条 8如图8-87 所示，是正方体的表面展开图，,E F G H分别是棱的中点，EF与GH在 原正方体中的位置关系为 9下列命题中不正确的是 没有公共点的两条直线是异面直线； 分别和两条异面直线都相交的两条直线异面； 一条直线和两条异面直线中的一
20、条平行，则它和另一条直线不可能平行； 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面； 10在正方体的顶点中任意选择4 个顶点，对于有这4 个顶点构成的四面体的以下判断中， 所有正确的结论是（写出所有正确结论的编号） 能构成每个面都是等边三角形的四面体； 能构成每个面都是直角三角形的四面体； 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体； 11如图8-88 所示，空间四边形ABCD中，,E F分别是,AB AD的中点，,G H分别在 ,BC CD上，且:1: 2BG GCDHHC （1）求证：,E F G H四点共圆； （2）设EG与FH交于点P，求证：,P A C三点共线 12如图 8-89 所示，正方体 1111 ABCDABC D中，,M N分别是 11 AB， 11 BC的中点，问： （1）AM和CN是否为异面直线？说明理由； （2） 1 D B和 1 CC是否为异面直线？说明理由；