《2019中考数学题型专项研究第12讲：解直角三角形的实际应用(1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019中考数学题型专项研究第12讲：解直角三角形的实际应用(1).pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2019 年中考数学题型专项研究 第 12 讲解直角三角形的实际应用 1锐角三角函数的概念的应用 2特殊三角函数值 3 解直角三角形的应用 特殊三角函数容易混淆；不会构造直角三角形 准确理解与掌握三角函数的定义，熟记特殊三角函数值，会构造直角三角形并应用直 角三角形和三角函数来解题 熟记几个特殊的三角函数值 三角函数 角 sin costan 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 从表中不难得出： sin 230cos2301， sin30 cos30tan30 sin 245cos2451， sin45 cos45tan45 sin 260cos2
2、601， sin60 cos60tan60 那么，对于任意锐角 A，是否存在 sin2Acos 2B1， sinA cosAtanA 呢？ 事实上，同角的三角函数之间 ，具有三个基本关系： 如图，在 RtABC，C90，A，B，C 所对的边依次为a，b，c 则sin2Acos 2A1(平方关系 ) tanA sinA cosA，cotA cosA sinA(商的关系 ) tanAcotA1(倒数关系 ) 【典例解析】 【例题 1】 （2017日照）在 RtABC中，C=90 ，AB=13，AC=5 ，则 sinA的值为（） A B C D 【考点】 T1：锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定
3、理求出BC，根据正弦的概念计算即可 【解答】解：在 RtABC中，由勾股定理得， BC=12， sinA=， 故选： B 【例题 2】（2017 重庆 B）如图，已知点 C与某建筑物底端B相距 306 米（点 C与点 B 在同一水平面上），某同学从点 C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走 195 米至坡顶 D 处， 斜坡 CD的坡度（或坡比） i=1：2.4，在 D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为 20 ，则建 筑物 AB的高度约为（精确到0.1 米，参考数据： sin20 0.342，cos20 0.940，tan20 0.364） （） A29.1 米 B31.9 米C45.9 米 D95.
4、9 米 【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得1，根据同 角三角函数关系，可得1 的坡度，根据坡度，可得DF 的长，根据线段的和差，可得 答案 【解答】解： 作 DE AB于 E点， 作 AFDE于 F点， 如图， 设 DE=xm ，CE=2.4xm ，由勾股定理，得 x2+（2.4x） 2=1952， 解得 x75m， DE=75m ，CE=2.4x=180m ， EB=BC CE=306 180=126m AF DG， 1=ADG=20 ， tan1=tanADG=0.364 AF=EB=126m ， tan1=0.364， DF=0.364AF=0.364 1
5、26=45.9， AB=FE=DE DF=75 45.929.1m， 故选： A 【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE ，CE的长是解题关键 【例题 3】（2017 湖北荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗 杆正前方 2米处的点 C出发，沿斜面坡度 i=1：的斜坡 CD前进 4 米到达点 D，在点 D处安置测角仪， 测得旗杆顶部 A 的仰角为 37 ， 量得仪器的高 DE为 1.5 米已知 A、B、 C、D、E在同一平面内， ABBC ，ABDE求旗杆 AB的高度 （参考数据： sin37 ， cos37，tan37 计算结果保留根号） 【考点】 TA
6、：解直角三角形的应用仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用坡度坡 角问题 【分析】 延长 ED交 BC延长线于点 F， 则CFD=90 ， RtCDF中求得 CF=CDcos DCF=2、 DF= CD=2 ， 作 EG AB， 可得 GE=BF=4 、 GB=EF=3.5 ， 再求出 AG=GEtan AEG=4?tan37 可得答案 【解答】解：如图，延长ED交 BC延长线于点 F，则 CFD=90 ， tanDCF=i= = ， DCF=30 ， CD=4 ， DF= CD=2 ，CF=CDcos DCF=4 =2， BF=BC +CF=2+2=4， 过点 E作 EG AB于点 G， 则
7、 GE=BF=4 ，GB=EF=ED +DF=1.5 +2=3.5， 又 AED=37 ， AG=GEtan AEG=4?tan37 ， 则 AB=AG +BG=4?tan37+3.5=3+3.5， 故旗杆 AB的高度为（ 3+3.5）米 【例题 4】（2017 山东聊城）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“ 运河四大 名塔”之一（如图 1） 数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运 河两岸上的 A，B 两点的俯角分别为17.9，22 ，并测得塔底点C到点 B 的距离为 142 米（A、B、C在同一直线上， 如图 2） ，求运河两岸上的 A、B 两点的距离 （精确到 1
8、米） （参考数据： sin22 0.37，cos220.93，tan22 0.40，sin17.9 0.31，cos17.9 0.95， tan17.9 0.32） 【考点】 TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】在 RtPBC中，求出 BC ，在 RtPAC中，求出 AC ，根据 AB=AC BC计算即可 【解答】解：根据题意，BC=142米， PBC=22 ，PAC=17.9 ， 在 RtPBC中，tanPBC=， PC=BCtan PBC=142? tan22 ， 在 RtPAC中，tanPAC=， AC=177.5， AB=AC BC=177.5 14236 米 答：运河两岸上
9、的A、B两点的距离为 36 米 【专项训练】 一、选择题： 1. （2017?温州）如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos= 错误！ 未找到引用源。，则小车上升的高度是（） A5 米 B 6 米 C 6.5 米D12 米 【考点】 T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】在 RtABC中，先求出 AB，再利用勾股定理求出BC即可 【解答】解：如图AC=13 ，作 CB AB， cos= 错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 ， AB=12 ， BC= 错误！未找到引用源。 =13 2122=5， 小车上升的高度是5m 故选 A 【点评】此题主要考查解直角三
10、角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是 学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 2. （2017 绥化） 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为 3.5 米， BCA约为 29 ， 则该楼梯的高度 AB可表示为（） A3.5sin29 米 B3.5cos29 米 C 3.5tan29 米 D米 【考点】 T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】由 sinACB=得 AB=BCsin ACB=3.5sin29 【解答】解：在 RtABC中， sinACB=， AB=BCsin ACB=3.5sin29， 故选： A 3. (2017 湖北宜昌 )ABC在网格中的位置如图所
11、示（每个小正方形边长为1） ，ADBC 于 D，下列选项中，错误的是（） Asin =cosBtanC=2 Csin =cosDtan =1 【考点】 T1：锐角三角函数的定义 【分析】观察图象可知， ADB是等腰直角三角形， BD=AD=2 ，AB=2，AD=2，CD=1 ， AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断 【解答】解：观察图象可知，ADB 是等腰直角三角形， BD=AD=2 ，AB=2，AD=2， CD=1，AC= ， sin =cos=，故正确， tanC=2，故正确， tan =1，故 D正确， sin =，cos=， sin cos ，故 C错误 故选 C 4. （2017
12、 深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树 AB的高度，他们先在 点 C处测得树顶 B的仰角为 60 ，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30 ，已知斜坡 CD 的长度为 20m，DE的长为 10cm，则树 AB的高度是（）m A20B30 C30D40 【考点】 TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】先根据 CD=20米， DE=10m得出 DCE=30 ， 故可得出 DCB=90 ， 再由 BDF=30 可知 DBE=60 ，由 DF AE可得出 BGF= BCA=60 ，故 GBF=30 ，所以 DBC=30 ， 再由锐角三角函数的定义即可得出结论 【解答】解：在
13、RtCDE中， CD=20m ，DE=10m， sinDCE=， DCE=30 ACB=60 ，DF AE， BGF=60 ABC=30 ，DCB=90 BDF=30 ， DBF=60 ， DBC=30 ， BC=20m， AB=BC?sin60 =20 =30m 故选 B 5. （2017?益阳）如图，电线杆 CD的高度为 h，两根拉线 AC与 BC相互垂直，CAB= ， 则拉线 BC的长度为（ A、D、B在同一条直线上）（） A错误！未找到引用源。B错误！未找到引用源。C 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 Dh?cos 【考点】 T8：解直角三角形的应用 【分析】根据同角的余角相等得
14、CAD= BCD ，由 osBCD= 错误！未找到引用源。知 BC= 错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 【解答】解： CAD +ACD=90 ，ACD +BCD=90 ， CAD= BCD ， 在 RtBCD中， cosBCD= 错误！未找到引用源。 ， BC= 错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 ， 故选： B 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定 义是解题的关键 二、填空题： 6. 在 RtABC中， C=90 ，AB=2，BC=，则 sin= 【考点】 T5：特殊角的三角函数值 【分析】根据 A 的正弦求出 A=60 ，再根据
15、 30 的正弦值求解即可 【解答】解： sinA=， A=60 ， sin =sin30= 故答案为： 7. （2017? 黑龙江）ABC 中，AB=12，AC=错误！未找到引用源。，B=30 ，则ABC 的面积是21错误！未找到引用源。或 15 错误！未找到引用源。 【考点】 T7：解直角三角形 【专题】 32 ：分类讨论 【分析】过 A 作 ADBC 于 D（或延长线于 D） ，根据含 30 度角的直角三角形的性质 得到 AD 的长，再根据勾股定理得到BD，CD 的长，再分两种情况：如图1，当 AD 在 ABC 内部时、如图 2，当 AD 在ABC 外部时，进行讨论即可求解 【解答】解：如
16、图1，作 ADBC，垂足为点 D， 在 RtABD 中， AB=12、B=30 ， AD=错误！未找到引用源。 AB=6，BD=ABcosB=12 错误！未找到引用源。 =6错误！ 未找到引用源。， 在 RtACD 中，CD=错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 =错误！未找到引 用源。 ， BC=BD+CD=6 错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。 =7 错误！未找到引用 源。 ， 则 SABC=错误！未找到引用源。 BC AD=错误！未找到引用源。 7 错误！未找到引用 源。 6=21 错误！未找到引用源。 ； 如图 2，作 ADBC，交 BC 延长线于点 D， 由知， A
17、D=6、BD=6 错误！未找到引用源。、CD=错误！未找到引用源。 ， 则 BC=BDCD=5 错误！未找到引用源。 ， SABC=错误！未找到引用源。 BC AD=错误！未找到引用源。 5 错误！未找到引用 源。 6=15 错误！未找到引用源。 ， 故答案为： 21错误！未找到引用源。或 15 错误！未找到引用源。 【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到BC 和 AD 的长， 同时注意分类思想的运用 8. （2017 黑龙江鹤岗）ABC中，AB=12 ，AC=，B=30 ，则ABC的面积是21 或 15 【考点】T7：解直角三角形 【分析】过 A 作 ADBC于 D（或
18、延长线于 D） ，根据含 30 度角的直角三角形的性质得 到 AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况： 如图 1，当 AD在ABC 内部时、如图 2，当 AD在ABC外部时，进行讨论即可求解 【解答】解：如图1，作 ADBC ，垂足为点 D， 在 RtABD中， AB=12 、B=30 ， AD= AB=6，BD=ABcosB=12 =6， 在 RtACD中，CD=， BC=BD +CD=6+=7， 则 SABC= BC AD= 76=21； 如图 2，作 ADBC ，交 BC延长线于点 D， 由知， AD=6、BD=6、CD=， 则 BC=BD CD=5， SABC= BC
19、AD= 56=15， 故答案为： 21或 15 9. （2017?黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB 的高度， 一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A 处的仰角大小为 45 ，随后沿直线 BC向前走了 100 米后到达 D 处，在 D 处测得 A 处的仰角大小为 30 ，则建筑物 AB的高 度约为137米 （注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：错误！未找到引用 源。1.41，错误！未找到引用源。 1.73） 【考点】 TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】设 AB=x米，由 ACB=45 得 BC=AB=x 、BD=BC +CD=x
20、 +100，根据 tanADB= 错误！ 未找到引用源。 可得关于 x 的方程，解之可得答案 【解答】解：设 AB=x米， 在 RtABC中， ACB=45 ， BC=AB=x 米， 则 BD=BC +CD=x +100（米） ， 在 RtABD中， ADB=30 ， tanADB= 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ，即错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。， 解得： x=50+50 错误！未找到引用源。 137， 即建筑物 AB的高度约为 137 米 故答案为： 137 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的 思想找出各边之间的关系，然后
21、找出所求问题需要的条件 10. （2017湖北江汉）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水 坝的横断面是梯形ABCD 已知迎水坡面 AB=12米，背水坡面 CD=12米，B=60 ，加 固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tanE=，则 CE的长为8米 【考点】 T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】分别过 A、D作下底的垂线，设垂足为F、G在 RtABF中，已知坡面长和坡 角的度数，可求得铅直高度AF 的值，也就得到了DG的长；在 RtCDG中，由勾股定 理求 CG的长，在 RtDEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据 CE=GE CG即可 求解 【解答】解：分
22、别过A、D 作 AFBC ，DG BC，垂点分别为 F、G，如图所示 在 RtABF中，AB=12米， B=60 ， sinB=， AF=12 =6， DG=6 在 RtDGC中，CD=12，DG=6米， GC= =18 在 RtDEG中，tanE=， =， GE=26 ， CE=GE CG=26 18=8 即 CE的长为 8 米 故答案为 8 三、解答题： 1. （2017.江苏宿迁）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A 处测得 正前方小岛 C的俯角为 30 ，面向小岛方向继续飞行10km 到达 B 处，发现小岛在其正 后方，此时测得小岛的俯角为45 ，如果小岛高度忽略不计，求
23、飞机飞行的高度（结果 保留根号） 【考点】 TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】 C作 CDAB，由 CBD=45 知 BD=CD=x ，由ACD=30 知 AD=x， 根据 AD+BD=AB列方程求解可得 【解答】解：过点 C作CDAB于点D， 设 CD=x ， CBD=45 ， BD=CD=x ， 在 RtACD中， tan， AD=x， 由 AD+BD=AB可得x+x=10， 解得： x=55， 答：飞机飞行的高度为（55）km 2. （2017 贵州） 如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为 12 米，坡 角 为 60 ，根据有关部门的规定， 39 时，才能避免
24、滑坡危险，学校为了消除安 全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数） （参考数据： sin39 0.63，cos39 0.78，tan39 0.81， 1.41，1.73， 2.24） 【考点】 T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】假设点D 移到 D 的位置时，恰好 =39，过点 D 作 DEAC于点 E，作 D E AC于点 E ，根据锐角三角函数的定义求出DE 、CE 、CE 的长，进而可得出结论 【解答】解：假设点 D移到 D 的位置时，恰好 =39， 过点 D作 DE AC于点 E，作
25、D E AC于点 E ， CD=12米，DCE=60 ， DE=CD?sin60 =12 =6 米，CE=CD?cos60 =12 =6米 DE AC，D EAC，DD CE ， 四边形 DEE D 是矩形， DE=D E=6米 D CE =39， CE = 12.8， EE =CE CE=12.8 6=6.8（米） 答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动 6.8 米才能保证教学楼的安全 3. （2017 湖北随州） 风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要 由塔杆和叶片组成（如图1） ，图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在A 处测得塔杆 顶端 C的仰角是 55 ，沿 HA
26、方向水平前进 43 米到达山底 G处，在山顶 B处发现正好一 叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H 在同一直线上）的仰角是45 已 知叶片的长度为35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计） ，山高 BG为 10 米，BG HG，CHAH，求塔杆 CH 的高 （参考数据： tan55 1.4，tan35 0.7，sin55 0.8， sin35 0.6） 【考点】 TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】作 BE DH，知 GH=BE 、BG=EH=10 ，设 AH=x，则 BE=GH=43 +x，由 CH=AHtan CAH=tan55 ?x 知 CE=CH EH=tan55?x 10，根据 BE=DE可得关于 x 的方程，解之可 得 【解答】解：如图，作BE DH于点 E， 则 GH=BE 、BG=EH=10 ， 设 AH=x，则 BE=GH=GA +AH=43+x， 在 RtACH中，CH=AHtan CAH=tan55 ?x ， CE=CH EH=tan55?x 10， DBE=45 ， BE=DE=CE+DC ，即 43+x=tan55?x10+35， 解得： x45， CH=tan55 ?x=1.445=63， 答：塔杆 CH的高为 63 米