初中数学教材例题与习题“二次开发”的策略研究.pdf

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1、1 初中数学教材例题与习题“ 二次开发 ” 的策略研究 一、问题的提出 现实教学过程中， 教师对教材例题与习题的处理都是简单的、表面的，对教材例题 与习题 “ 二次开发 ” 的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、 再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状。 而教材例题与习题的 “ 二 次开发 ” 能促使学生的学习方式由 “ 重结论轻过程 ” 向“ 过程与结果 ” 并重的方向发展， 使学 生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“ 做一题，通一类，会一片” 的解题境界。正如数 学教育家波利亚指出的：“ 一个有责任心的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目， 还不如适

2、当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指 导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力。” 二、核心概念界定 教材例题与习题的 “ 二次开发 ” ：主要是指教师和学生在课程实施过程中依据课程标 准对教材中的例题与习题的背景、条件和结论、解法以及题目中的基本图形进行再度发 展和创新，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。它以既有教材 为依托，基于教材，又超越教材，可以从三个向度上展开：一是对既有教材例题与习题 灵活地、创造性地、个性化地运用; 二是对其它教学素材资源的选择、整合和优化; 三 是自主开发其它新的教学资源。 三、理论依据 1. 再创造理论

3、荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：数学知识既不是教出来的， 也不是学出来的， 而是研究出来的。他强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为 主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做 数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“ 再创造 ” ，其核心是数学过程再现， 是通过教师精心设计、创设问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，来探索 问题的结果并进行组织的学习方式。 2.波利亚解题思想 美国著名数学教育家G 波利亚认为：学习任何东西的最好的途径是自己去发现。为 了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己发现要学习的材料。波利

4、亚强 2 调，要成为一个好的解题者，如果“ 头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学 不到更多的东西 ” ，“ 学东西的最好途径是亲自去发现它” ，最富有成效的学习是学生自己 去探索、去 “ 发现” 。只有学习者自己的思维活动起来了，他在学习中才会寻求到欢乐。 有了成功的体验，他对数学知识本身才可能产生内在的兴趣。 四、开发策略 笔者认为，教材例题与习题的“ 二次开发 ” 可以重点对例题与习题的题目背景、题目 条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“ 二次开发 ” 。教师结合案例分析，帮 助学生围绕新课程标准进行探究，以期促进学生学会从多层次、广视角、全方位的认识 并研究问题，从而

5、提高课堂教学的有效性。 （一）情境创设生活化 初中数学新课程标准指出：教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生 把所学的数学知识应用到生活、生产实践的现实生活中，以帮助学生体会数学在现实生 活中的应用价值。教师应根据学生的认知规律，从他们的生活实际出发，对题目背景进 行“ 二次开发 ” ，在数学与生活中架起桥梁，使学生在解题时感到有趣，有更多的机会接 触生活与生产实践中的数学问题，应用数学知识去分析、解决生活中遇到的困难，达到 数学教育的目的。 【案例】如图，D、E 分别是ABC中 AB、AC 上的点， ABC ADE 。已知：AD:DB1:2,BC9cm,求 DE。 （浙 教版数学九（上

6、） P104页例题 2） 对题目背景的“二次开发” ： 如图，小亮欲测量一电线杆AB的高度，他站在该电线杆的影子上前后移动，直到他 身体影子的顶端正好与电线杆影子的顶端重叠，此时同伴测出小亮与电线杆距离 BE 12m ，小亮的影子长 CE 4m 。已知小亮的身高DE 1.7m， （1）图中CDE 和CAB 是否相似？请说明理由 ; （2）求电线杆 AB 的高度。 （浙教版九年级上册44-2 作业本 29 页第 3 题） 1.改变遮挡物 （1）遮挡物为竖直的平面 小亮和他的同学利用影长测量旗杆高度如图，1m 长的直立竹竿 的影长为 1.5m。测量旗杆落在地上的影子为21m，落在墙上的影长 为 2

7、m。求旗杆的高度。 （2）遮挡物为斜坡 C A B E D 3 小亮在 下午实 践活动课时, 测量西教学楼的旗杆高 度 如图,当太阳从西照射过来时 ,旗杆 AB 的顶端 A 的影子落 在教学楼前的斜坡E 处 ,测得在地面上的影长BD20 米,DE2 米,坡面与水平地面的夹角为30 。同一时刻一根长 为 1 米的直立竹竿的影长为26 米，根据这些数据求旗杆 AB 的高度（结果保留两个有效数） （3）遮挡物的面数增加 小亮在下午实践活动课后 ,测量西教学楼的旗杆高度。 如图,当太阳从西照射过来时 ,旗杆 AB 的顶端 A 的影子落 在教学楼前的平地C 处,测得在平地上 EC2 米,地面上的 影长

8、BD20 米,DE4 米,坡面与水平地面的夹角为30 。 同一时刻一根长为1 米的直立竹竿的影长为32 米，根 据这些数据求旗杆AB 的高度（结果保留两个有效数） （4）无遮挡物 小亮在下午实践活动课 , 测量东教学楼前水杉树的高度。如 图,当太阳从西照射过来时 ,小树 AB 的顶端 A 的影子落在司令台 的斜坡处 ,测得在地面上的影长BD2 米,坡面上影长 DE4 米; 同一时刻一根长为1 米的直立竹竿的在平地上影长为26 米， 在坡面上影长 3 米为根据这些数据求树的高度。 （精确到 01 米） 2移动参照物 （1）参照物的移动（ A） 晚上，小亮晚自修结束回寝室途中， 走到 C 处时，

9、发现在点 B 上方的路灯 A 照得自己的影子 CD 的长为 2 米；继续往前走4 米到达 E 处时，这时自己的影子 EF 长为 4 米 ,已知小亮的身高为1.6 米 ，路灯的高度 等于多少？ （2）参照物的移动（ B） 小亮探究影子长度的变化规律， 当他走到离路灯 2 米处 时，其影子的顶点标记为H1，此时 影长为米；当 他继续走到 H1 时，其影子的顶点标记为H2，此时影长为 米；当他继续走到 H2时，其影子的顶点标记为H3，此时影 长为米；按这样的规律继续走当他走到Hn,其影子的顶点标记为Hn+1,此时影长 为米。 （二）解题思路多元化 在长期的教学实践中使我们体会到：“ 练不在多，而在于

10、精 ” 。恰当且适量地采用 “ 一 30 A B D E 20 4 C 2 F 2 G 4 BD 2 4 E 1 3 3 A B F E CD 4.8 A B H1H2 H4 H3 4.8 2 1.6 30 A B D E 20 2 4 题多解 ” 的教学，进行多角度的解题思路分析，探讨解题规律和解题方法与技巧，对学生 巩固基础知识形成知识网络，提高解题技能，发展逻辑思维，提高分析问题解决问题的 能力十分有益。 【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题） 已知在圆O 中， A 为优弧BC 的中点，且ABBC,E 为弧BC 上的一点，求 AEBE+CE。 （1）利用截长的方法解题 解析：在 AE

11、 上取点 F，使得 AFBE,证明 AFCBEC(SAS)，得到 CF CE，说 明 ECF 是等边三角形，得到EFEC，即可得， AEBE+CE （2）利用补短的方法解题 解析：延长 EB 至点 F,使 BFEC,证明 ABF ACE (SAS)，得到 BAF=CAE ， AEAF，然后说明 AFE是等边三角形，得到 AEEFBE+BF，即 AEBE+CE （3）利用旋转的方法解题 解析：将 ACE 顺时针旋转 60 ，则 ABF ACE ，得到 AEF是等边三角形， ACEABF ，可得到 BF+ABE=180A ，即点 F、B、E 三点共线，则 AEEB+BF 即：AEEB+EC （4）

12、利用平行的方法解题 解析：过点 C 作 AE 的平行线 CF 交圆于点 F，连接 AF。说明四边形 CEGF 是平行 四边形，得到 BEG 和 AFG 是等边三角形， BEEGBG,AFGFAG,AFEC 得到 AEEB+EC （5）利用托勒密定理解题 解析：利用托勒密定理可得 +ECAB=AEBCBEAC ， ABC 是等边三角形 ABACBCBE+ECAE （三）典型题目变式化 数学教育家华东师范大学张奠宙教授指出：变式教学是我国具有特色的教学方法， 应该发扬光大。数学教学方法在不断改进、创新，但变式教学理应得到进一步的重视。 O B A C E F 图（ 1） O B C A E 图（5

13、） G O B C A E F 图（4） O B C A E F 图（ 2） （3） 5 数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解 与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用 数学“ 变式教学 ” 的方法是十分有效的手段。所谓“ 变式” ，就是指教师有目的、有计划地 对命题进行合理的转化。 【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题） 已知在圆 O 中，A 为优弧 BC 的中点，且 ABBC,E 为弧 BC 上的 一点，求证 AEBE+CE。 【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识； （2）利 用截长补短的解题方法

14、。 变式 1：已知在圆 O 中，A 为优弧 BC 的中点，且 ABBC,E 为圆上不同于 A、B、 C 的任意一点，求证AEBE+CE。 变式 2：已知如图，ABC 是等边三角形，AEB=60 ,求证 AEBE+CE 变式 3：已知如图，ABC 是等边三角形，AEB=60 ，A,B,E,C 四点共圆吗？ 变式 4：已知在圆 O 中，A 为优弧 BC 的中点，且 ABBC,E 为圆 上不同于 A、B、C 的任意一点，请你写出AE、BE、CE 之间的数量关 系？ 变式 5：已知在圆 O 中，四边形 ABCD 是正方形， E 是不同于 A、 B、C、D 的任意一点，请你写出 AE、BE、CE、DE

15、之间的数量关系？ 解析：连结 AC,90AEC, 222 +EC =dAE，同理可得 222 dBEDE 所以 22222 2AEECBEDEd,而 d 等于正方形边长的2倍，即为 定值。 变式 6：由变式 4、变式 5 你能得出一个什么结论？ 结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为定值 （四）基本图形离析化 任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂的图形中 的基本图形 “ 离析” 出来，是解决问题所必备的重要方法之一，而这种“ 离析” 在真正理解 基本图形的基础上才能进行，对条件进行“ 弱化” 处理也不失为帮助学生理解图形本质的 O B C A E

16、变式 1 O B A C E M N 变式 4 O B A C E 变式 2 O B A C E变式 3 D O B A C E 变式 5 O B C A E 6 一种有效方法。 1重视基本图形 （1）基本图形的识别与性质 【案例】试题来源（浙教版数学九（上）P118页 44 相似三角形的性质） 有一块三角形余料ABC ，它的边长 BC 120mm ，高 AD 80mm ， 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶 点分别在 AB 、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？ （2）基本图形在纯数学题中应用 如图，在 Rt ABC中，C=90 ,AC4,BC3。 （1）

17、如图 1，四边形 DEFG 为 ABC的内接正方形，求正方形的边长。 （2）如图 2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于 ABC， 求正方形的边长。 (3) 如图 3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于 ABC， 求正方形的边长。 (4) 如图 4，三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于 ABC， 求正方形的边长。 （3）基本图形的在生活题中应用 小明在出墙报时，需要长48cm 、宽 4cm的彩色纸条镶 边，现有如图一张三角形彩色纸零件，其中 BC 25cm,BC边 上的高为 20cm ，给出一种裁纸方法： 将 AB 、 AC分为五等分

18、， 然后如图连接两边的对应的点， 并以这些连接线为一边作矩 形，剪出这些小矩形纸条， 用来为墙报镶边，问： 这种方法 能满足镶边需要吗？请说明理由。 2重视对基本图形的“二次开发” 【案例】 已知： 如图， 在RtCAB 和 RtECD中， ACCE, 点 D 在边 BC 的延长线上，且ACEBD90 。 求证： CAB ECD （选自七年级下15 全等三角形（ 3） 作业题 ） A C B E D NP MQ BA D C E GF K H B A C BA D C E G F AB C A C B E D I F K J H G 图 1 图 2 图 3 图 4 B A D C E 7 （1

19、）弱化线段条件 弱化条件：删掉ACCE（线段相等） 结论由三角形全等 弱化为三角形相似。 如图，在 RtCAB 和 RtECD 中，点 D 在边 BC 的延长线上， 且ACEBD90 。 求证： CAB ECD。 解析： ( ABC 在和CDE 中 B= D=90 ACB= CED同角的余角相等） CAB ECD （2）弱化角度条件 弱化条件：删掉 “ 直角” 条件。 如图：在 ABC 和CDE 中，点 D 在边 BC 的延长线 上，ACCE,ACEBD,则ABCCDE。 解析： ABC在和 CDE 中 B= D ACB= CED （三角形的内角和等于 180 ） AC=CE ABCCDE B

20、DFCEDBFCD,BDCE （3）弱化线段和角度条件 同时弱化条件：删掉 “ 线段相等 ” ，“ 直角” 去掉。 如图，在 ABC 和CDE 中，点 D 在边 BC 的延长 线上， ACEBD，则ABCCDE。 解析： ABC 在和CDE 中 B= D ACB= CED （三角形内角和为180 ） ABC CDE 五、几点思考 对数学教材例题与习题的“ 二次开发 ” ，一方面教师的自身素养会在研究的过程中不 断提高，数学课堂的会更加有效。另一方面在这样的教学模式下能充分激起学生学习数 学的兴趣，并能主动地、自觉地去探究数学问题，有利于促进学生的发展。但在具体的 B A D C E A B E D C A B E C D 8 教学实践中，也存在很多困惑的地方，比如：如何把握教材例题、习题“ 二次开发 ” 广度 和深度？如何指导学生参与到例题、习题的“ 二次开发 ” 之中？进行了教材例题、习题的 “ 二次开发 ” 后，由于探究性的增强， 学生往往需要额外的学习时间，可否考虑突破40 分 钟的课堂教学时限以提升教学效果？这也是笔者在今后的实践探索中要继续研究的问 题。