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1、等差数列及其通项公式,一般地，如果一个数列 a1,a2,a3 ，an 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d， a2 a1 = a3 - a2 = = an - an-1 = = d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。,知识回顾,an+1-an=d(nN *),通 项 公 式 的 推 导1（归纳猜想）,设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, 所以有：,an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。,所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（nN*）,问an=? 通过观察：a2， a3，a
2、4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？,a1 、an、n、d知三求一,a2=a1+ d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, an=a1+(n-1)d,a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d = (a1+2d) +d =a1+3d,叠加得,等差数列的通项公式推导2（叠加）,例 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。 （1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 （2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？,解:（1）由题意知，举行奥运会的年
3、份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1) =1892+4n(nN*) (2) 假设an=2008, 由 2008=1892+4n, 得 n=29. 假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解 答：所求通项公式为 an= 1892+4n(nN*) ， 2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会,例.在等差数列an中,已知a3=10, a9=28,求a12 。,推广：等差数列an中，am,an(nm) 等差数列的通项公式一般形式: an = am + (nm)d.,解：由题意得,a1+2d=10 a1+8d
4、=28,所以 a12=4+(12-1) 3=37,注:a12=a1+11d=a1+2d+(12-3)d=a3+(12-3)d =a1+8d+(12-9)d=a9+(12-9)d,解得： a1=4 d=3,练一练：已知a5=11, a8=5, 求等差数列an的通项公式.,练 习,1、填空题： (1)已知等差数列3，7，11，则a11= (2)已知等差数列11，6，1，则an = (3)已知等差数列10，8，6， ，中，-10是第（ ）项,43,-5n+16,11,练 习,2.已知等差数列an的通项公式为an=2n 1. 求首项a1和公差d.,变式引申: 如果一个数列an的通项公式an=kn+d,
5、 其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗? 语言描述这种现象,想一想！,在等差数列,中，,为公差，若,且,求证：,证明： 设首项为,，则,例2.,等差数列的性质,若p=q呢?,练习 .在等差数列an中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15,例题分析,1.等差数列a
6、n的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2,B,2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10=,2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6),提示1:,提示：,d=an+1an=4,-35,3. 在等差数列an中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap= q，aq= p ( pq )，求ap+q,d=2,a101=154,d= -1,ap+q =0,课堂练习,(4),例3,练 习,已知 ，求 的值。,解:,小结,掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题,an=
7、a1+(n1)d, 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力,am+an=ap+aq,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？,【说明】 3.更一般的情形，an= ，d=,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,等差数列的性质,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,作 业,书上39页，第3题（2），第4题,谢 谢！,