理科数学专题六高考中的概率与统计问题.pdf

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1、1 专题六高考中的概率与统计问题 1(2013 安徽 )某班级有50 名学生，其中有30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男 生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女 生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是() A这种抽样方法是一种分层抽样 B这种抽样方法是一种系统抽样 C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案C 解析x男 1 5(86 94889290)90， x 女 1 5(8893938893)91， s 2 男 1 5(86 90) 2(9

2、4 90)2 (8890)2(9290)2(9090)28， s 2 女 1 5(88 91) 2(93 91)2 (9391)2(8891)2(9391)26. 2已知随机变量 服从正态分布N(2， 2 )，且 P( 4)0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x 2， P( 4)0.2， P(04)0.6. P(0D(2) BD(1)D(2) CD(1)D( 2) 4(2013 四川 )节日前夕， 小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互 独立，且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 秒为间隔闪亮， 那 么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超

3、过2 秒的概率是() A. 1 4 B.1 2 C.3 4 D.7 8 答案C 解析设在通电后的4 秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为 x、y，x、y 相互独立，由题意可知 0x4 0y4 |x y|2 ，如图所示两串彩 灯 第 一 次 亮 的 时 间 相 差 不 超 过2秒 的 概 率 为P(|x y| 2) S正方形2SABC S正方形 4421 222 44 12 16 3 4. 5(2012 重庆 )某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、 外语三门文化课和其他三门艺 术课各 1 节， 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_(用 数字作答 ) 答案 3

4、5 解析6 节课随机安排，共有A 6 6720(种)方法 课表上相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课，分三类： 3 第 1 类：文化课之间没有艺术课，有A 3 3 A 4 4624144(种 ) 第 2 类：文化课之间有1 节艺术课，有A 3 3 C 1 3 A 1 2 A 3 36326216(种) 第 3 类：文化课之间有2 节艺术课，有A 3 3 A 2 3 A 2 266 272(种) 共有 14421672432(种 ) 由古典概型概率公式得P432 720 3 5. 题型一求事件的概率 例 1某项专业技术认证考试按科目A 和科目 B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才 可继续

5、参加科目B 的考试已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格 方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为 2 3，科目 B 每 次考试成绩合格的概率均为 1 2，假设各次考试成绩合格与否互不影响 (1)求他不需要补考就可获得证书的概率 (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2 次、 3 次、 4 次考 试的概率 思维启迪准确地分析事件类型，正确地运用概率公式，是解决这类问题的关键 解设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1，“科目 A 补考合格 ”为事件 A2，“ 科目 B 第一次考试合格”为事件 B1，“科目 B 补考合格 ”为

6、事件 B2，则 A1，A2，B1，B2相互独 立 (1)设“不需要补考就可获得证书”为事件 M， 则 P(M)P(A1B1) P(A1)P(B1) 2 3 1 2 1 3. (2)设“参加考试次数为2 次、 3 次、 4 次” 分别为事件E， C， D.则 P(E)P(A1B1 A1 A2) P(A1)P(B1)P( A1)P( A2) 2 3 1 2 1 3 1 3 4 9， P(C)P(A1B1B2A1B1B2 A1A2B1) P(A1)P( B1)P(B2) P(A1)P( B1)P( B2)P( A1)P(A2) P(B1) 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 2

7、3 1 2 4 9， P(D)P( A1A2B1B2 A1A2B1B2) P( A1)P(A2)P( B1)P(B2)P( A1)P(A2)P( B1)P( B2) 1 3 2 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 2 1 2 1 9. (另解： P(D)1P(EC)1P(E)P(C)1 4 9 4 9 1 9) 思维升华(1)一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行 4 求解尤其是涉及到“至多 ”、“至少 ”等问题时常常用这种方法求解 (2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互 斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发

8、生的积事件，然后用概率公式求 解 某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答 一题的方式进行， 每位选手最多有5 次选题答题的机会，选手累计答对3 题或答错3 题即 终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错 3 题者则被淘汰 已知选手甲答题连 续两次答错的概率为 1 9(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响 ) (1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率 解(1)设选手甲答对一个问题的正确率为P1， 则(1P1) 21 9， 故选手甲答对一个问题的正确率P1 2 3. (2)选手甲答了3 道题目进入决赛的概率为(2

9、3) 3 8 27 ； 选手甲答了4 道题目进入决赛的概率为C2 3(2 3) 21 3 2 3 8 27 ； 选手甲答了5 道题目进入决赛的概率为C 2 4(2 3) 2 (1 3) 2 2 3 16 81. 选手甲可以进入决赛的概率P 8 27 8 27 16 81 64 81. 题型二求离散型随机变量的均值与方差 例 2李先生家在H 小区，他在 C 科技园区工作， 从家开车到公司上班有L1， L2两条路线 (如 图)，路线 L1上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 1 2；路线 L 2上有 B1， B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 3 4 ， 3 5. (1)

10、若走路线L1，求最多遇到 1 次红灯的概率； (2)若走路线L2，求遇到红灯次数 X 的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选 择哪条路线上班更好些，并说明理由 思维启迪走 L1或 L2遇到红灯的次数都是独立重复试验问题，可结合二项分布求其概率， 选何条路线是要利用均值的大小判定注意三个转化： (1)转化为 P3(1)P3(0)的值； (2)X 可取 0,1,2 转化为独立事件的积事件的概率； (3)转化为比较E(X)、E(Y)的大小 5 解(1)设“走路线 L1最多遇到1 次红灯 ”为事件 A， 则 P(A) C0 3 1 2 3C1 3

11、1 2 1 2 21 2. 所以走路线L1最多遇到1 次红灯的概率为 1 2. (2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2. P(X0) 13 4 13 5 1 10， P(X1) 3 4 1 3 5 1 3 4 3 5 9 20， P(X2) 3 4 3 5 9 20. 随机变量 X 的分布列为 X 012 P 1 10 9 20 9 20 所以 E(X) 1 100 9 201 9 202 27 20. (3)设选择路线L1遇到红灯的次数为 Y，随机变量Y 服从二项分布，即Y B 3， 1 2 ，所以 E(Y)3 1 2 3 2. 因为 E(X)202 轿车数量 (辆 )2345545 每

12、辆利润 (万元 )1231.82.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率 (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿 车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列 (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿 车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由 6 解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A，则 P(A) 2 3 50 1 10. (2)依题意得， X1的分布列为 X1123 P 1 25 3 50

13、9 10 X2的分布列为 X21.82.9 P 1 10 9 10 (3)由(2)得 E(X1)1 1 252 3 503 9 10 143 50 2.86(万元 )， E(X2)1.8 1 102.9 9 102.79(万元 ) 因为 E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车 题型三概率与统计的综合应用 例 3(2013 课标全国 )经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获 利润 500 元，未售出的产品，每1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需 求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品以 X(单位：t,100

14、X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元 )表示下一个 销售季度内经销该农产品的利润 (1)将 T表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取 X 105， 且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率 )求 T 的数学期望 思维启迪利润T 是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与x 的取值范围有关，因此，T 关于 x 的函数要用分段函数表示 解(1)

15、当 X100,130)时， T 500X300(130X)800X39 000. 当 X130,150 时， T500 13065 000. 所以 T 800X39 000，100X 1 3，如图所示， 三棱锥 SABC 与三棱锥SAPC 的高相同， 因此 VSAPC VSABC SAPC SABC PM BN AP AB 1 3(PM，BN 为其高线 )，故所求概率为 2 3. 7两封信随机投入A，B，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数 的数学期望E( )_. 答案 2 3 解析两封信投入A，B，C 三个空邮箱，投法种数是329， A 中没有信的投法种数是224，概率为 4 9， A 中仅有

16、一封信的投法种数是C 1 224，概率为 4 9， A 中有两封信的投法种数是1，概率为 1 9， 故 A 邮箱的信件数 的数学期望是 4 9 0 4 91 1 92 2 3. 8随机变量 服从正态分布N(0,1)，如果 P( P2BP1 P2 CP1P2. 2一名学生通过某种外语听力测试的概率为 1 3，他连续测试 3 次，那么，其中恰有一次通过 的概率是() A. 4 9 B. 4 27 C.2 9 D. 2 3 答案A 解析该名学生测试一次有两种结果：要么通过， 要么不通过， 他连续测试三次，相当于 做了 3 次独立重复试验，那么，根据n 次独立重复试验事件A 发生 k 次的概率公式知，

17、 连续测试3次恰有一次获得通过的概率为P C1 3 1 3 111 3 24 9. 3某人随机地将编号为1,2,3,4 的四个小球放入编号为1,2,3,4 的四个盒子中，每个盒子中放 一个小球， 球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则就叫放错了设放对的个数为 ，则 的期望 E( )_. 答案1 解析因为 P( 0) 33 24 9 24， P( 1) C 1 42 24 8 24， P( 2) C 2 41 24 6 24， P( 4) 1 24， 所以 E( )1 8 242 6 244 1 241. 4某班有 50 名学生，一次考试的数学成绩 服从正态分布N(100,10 2)，已知

18、P(90 100) 0.3，估计该班学生数学成绩在110 分以上的人数为_ 答案10 解析由题意知， P( 110) 12P 90 100 2 0.2， 该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.250 10. 5在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是每场投6 个球， 至少投进4 个球， 且最后 2 个球 都投进者获奖，否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是 2 3. (1)记教师甲在每场的6 次投球中投进球的个数为X，求 X 的分布列及数学期望； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率； (3)已知教师乙在一场比赛中，6 个球中恰好投进了4 个球，求教师乙在一场比赛中获奖的 概率；教师乙在一场

19、比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 解(1)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知XB 6， 2 3 . P(Xk)C k 6 2 3 k1 3 6k(k0,1,2,3,4,5,6) 所以 X 的分布列为 17 X 0123456 P 1 729 12 729 60 729 160 729 240 729 192 729 64 729 所以 X 的数学期望E(X) 1 729(0 1112260316042405192664) 2 916 729 4. (2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A， 则 P(A) C2 4 1 3 2 2 3 4C1 41 3 2 3 5 2 3 632 81. 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为 32 81. (3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件B，则 P(B)C 2 4 C 4 6 2 5，即教师乙在一场比赛中获奖的 概率为 2 5.显然 2 5 32 81，所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的 概率不相等