江苏省常州市教育学会学业水平监测2012届高三数学试卷.pdf

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1、试卷与答案第1 页 共 15 页 江苏省常州市教育学会学业水平监测2012 届高三数学试卷 参考公式： 如果事件A、B 互斥，那么 P(A+B ) = P(A) +P(B) 如果事件A、B 相互独立，那么 P(A2 B) =P(A)2 P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的 概率 knkk nn PPCkP)1 ()( 正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥体侧=cl 2 1 其中 c 表示底面周长，l表示斜高或母线长 球的体积公式V球= 3 4 R 3 其中 R 表示球的半径 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题： 本大题共12 小题，每小题5

2、分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 （文科学生做）已知 为第四象限角，则+为（） A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角 （理科学生做）设复数 z1=1+i，z2= - 3+i，则 z= 12 z z在复平面内所对应的点位于 （） A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限 2 一个多面体的各个面都是五边形，且每个顶点出发有三条棱，这个多面体是（） A六面体B八面体C十面体D十二面体 3 对于一组数据 i x(i=1，2，3， , ， n)，如果将它们改变为 i x- c(i=1，2，3， , ， n)，其 中 c0，则下面结论中正确的是（） A

3、平均数与方差均不变B平均数不变，而方差变了 C平均数变了，而方差保持不变D平均数与方差均发生了变化 4 设 1 (1, ) 2 OM ，(0,1)ON，则满足条件0OP OM 1，0OP ON1 的动点 P 的变动范围（图中阴影部分，含边界）是（） A 2 1 O y x 1 B 2 1 O y x 1 D - 2 1 O y x 1 C 2 1 O y x 1 试卷与答案第2 页 共 15 页 5 函数 2 y x 的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两 个定点间的距离为（） A8 B4 2C 4 D22 6 某农场，可以种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全

4、部供应距农场d km 的中心城市，其产销资料如下表所示： 当距离 d 达到 nkm 以上时， 四种农作物中以种植稻米的经济效益最高（注经济效益 市场售价 生产成本 运输成本 ） 则 n 的值为（） A50 B70 C 250 D320 7 若数列 n a是等差数列，首项a10，a4+a20050，a10042 a10050，则使前 n 项和 Sn 0 成立的最大自然数n 可以是（） A2005 B2006 C 2007 D2008 8如图，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的 立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中 三根立柱 1 AA、 1 BB、 1 CC的长度分别为10

5、m、 15m、 30m， 则立柱 1 DD的长度是（） A30m B 25m C20m D 15m 9 （文科学生做）已知 8 () a x x 展开式中常数项为1120， 其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 （） A1 或 8 3B1 或 8 2C 8 2D 8 3 （理科学生做）设 12 )310( n （nN）的整数部分和小数部分分别为In和 Fn，则 Fn(Fn+In)的值为（） A1 B2 C 4 D与 n 有关的数 10椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 经过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B 是它的焦点， 长

6、轴长为2a，焦距为2c，静放在点A 的小球（小球的半径忽略不计）从点A 沿直线 出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（） 水果蔬菜稻米甘蔗 市场价格（元/ kg）8 3 2 1 生产成本（元/ kg） 3 2 1 0.4 运输价格（元/ kg2 km）0.06 0.02 0.01 0.01 单位面积相对产量（kg）10 15 40 30 作 物 项 目 A B C D A1 B1 C1 D1 试卷与答案第3 页 共 15 页 A4aB2(a- c) C 2(a+c) D 4a或 2(a- c)或 2(a+c) 11已知 2432 ( )34,( ( )318506948f

7、xxxf g xxxxx，那么整系数多项式函 数)(xg的各项系数和为（） A10 B9 C 8 D11 12平行移动抛物线x 2= - 3y，使它的顶点总在抛物线 x 2=y 上，这样得到的抛物线所经过 的区域是（） AxOy 平面By 21 2 xC y- 21 2 xDy- 21 2 x 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题4分，共 16 分答案填在题中横线上 13某校有老师200 人，男学生1200 人，女学生1000 人现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为40 人， 则 n= 14已知A=0 ，1，2，3

8、， 4，5，6，7 ，f：AA。则满足“若i+j=7 ，则 f(i) 2 f(j)=ij ” 的映射 f 的个数为。 15已知 2005sin2 =sin2008，则 tan(1004 )tan(1004 ) tan(1004 )tan(1004 ) 的值为 16设 m 是正整数，若用m 去除整数a ，b 所得的余数相同，则称a ，b 关于模 m 同余， 记作 ab(modm)根据这一定义，下列各式成立的是 ab(modm) , t;abmtZ ab(modm)(mod)bam； (mod) , =1,2,3, ii abmin 11 (mod) nn ii ii abm 三、解答题：本大题共

9、 6 小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 本小题满分12 分） （文科学生做） 某学生语、 数、英三科考试成绩， 在一次考试中排名全班第一的概率： 语文为 0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中： （1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ （2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ （理科学生做）某先生居住在城镇的A处， 准备开车到单位B 处上班 若该地各路段 发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车 事件的概率如图 （例如： ACD 算作两个路段，且路段AC 发生堵车事件的概率 为 1 2 ，路段 CD 发生堵车事

10、件的概率为 1 3 ） 若记路线AC FB 中遇到堵车次数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望E A B D C F E 1 2 1 4 2 3 1 3 1 3 1 2 1 4 试卷与答案第4 页 共 15 页 18（ 本小题满分12 分） 在等比数列 an中，前 n 项和为 Sn若 S2，S4，S3成等差数列，则a2, a4, a3成等差数 列 （1）写出这个命题的逆命题； （2）判断逆命题是否为真，并给出证明 试卷与答案第5 页 共 15 页 19（ 本小题满分12 分） 正四棱柱AC1中， E 为棱 D1D 上的点， O 是底面正方形 ABCD 的中心 （1）若 E 为 D1D 的中点，

11、则 1 AA AB 为何值时， EO 与面 A1ADD1成30角； （2）若 AB1EO，证明 O 点在面 AEB1上的射影是 AEB1的垂心 试卷与答案第6 页 共 15 页 20（ 本小题满分12 分） 函数 432 ( )41f xxxax在0,1)上单调增，在1,2)上单调减 （1）求 a 的值 （2）实数 k 取何值时，函数g(x)=kx+1 与 f(x)的图象恰有三个公共点？ 试卷与答案第7 页 共 15 页 21（ 本小题满分12 分） 过点 P 作椭圆 2 2 1 4 x y的两条切线l、m，试求当lm 时的点 P 的轨迹 试卷与答案第8 页 共 15 页 22（ 本小题满分1

12、4 分） 定义 22 ( )(1)(1) A xb fx ax ，xA，A=a，b） ，ab， a、b 为正实数 （）求fA(x)的最小值； （）确定fA(x)的单调区间，并对单调增区间加以证明； （）若x1Ik= k2，(k+1) 2)， x 2 Ik+1 = (k+1) 2， (k+2)2 )，kN*求证： 1 12 4 ()() (1) kk II fxfx k k 试卷与答案第9 页 共 15 页 参考答案 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 1B 2D 3C 4A 5 B 6A 7 D 8B 9 A 10 D 11C 12C 提示： 1 （文科题）可根据象限角

13、的概念直接进行判断 （理科题）(1i) ( 3i)24iz，对应点（ - 2，- 4）在第三象限 2 设面数为F，棱数为 E，顶点数为V，则 V+F- E=2，且 5F=2E，3V=2E，解得 F=12 3 设 x1，, ， xn的平均数为 1n xx x n ，方差为 22 1 ()() n xxxx D n ， 则 x1- c，, ， xn- c 的平均数为 11 ()() nn xcxcxx xcxcx nn ， 方差为 22 1 ()() n xcxxcx DD n 4 设OP= (x，y)，则 11 ( , ) (1 ,)0,1 22 OP OMx yxy， ( , ) (0,1)0

14、,1OP ONx yy 显然点 (x，y)的变动区域为图A 所示 5 xy=2 为等轴双曲线，两个顶点为(2,2),(2,2)AB， 于是 2a=|AB|=4， 2c=2 2 42a 6 设四种农作物均种植1 个单位面积 水果：经济效益=(8- 3)3 13 10- 0.063 13 103 n=50- 0.6n， 蔬菜：经济效益=(3- 2)3 13 15- 0.023 13 153 n=15- 0.3n， 稻米：经济效益=(2- 1)3 13 40- 0.013 13 403 n=40- 0.4n， 甘蔗：经济效益=(1- 0.4)3 13 30- 0.013 13 303 n=18- 0

15、.3n 依题意有， 40- 0.4n 50-0.6n，40- 0.4n15- 0.3n，40- 0.4n18- 0.3n 分别解得： n50，n250，n320故 n50 7 易知 d0，a10050 S2009= 120091005 2009 ()2009 2 aaa0， 试卷与答案第10 页 共 15 页 S2008= 1200842005 20082008 ()() 22 aaaa0 故 Sn 0的最大自然数 n 为 2008 8BB1+DD1=AA1+CC1 9 （文科题） 48 48 4 8( )11202 a C xa x 展开式中各项系数和为(1+a) 8=1 或 38 （理科题

16、） 2121 ( 103)( 103) nn n I， 21 ( 103) n n F，Fn(In+Fn)=1 10设靠近A 的长轴的端点为M，另一长轴的端点为N若小球沿AM 方向运动，则路程 应为 2(a- c)；若小球沿 ANM 方向运动，则路程应为2(a+c)；若小球不沿AM 与 AN 方 向运动，则路程应为4a 11f(g(1)=188，f(x)=215x=8（x= 23 3 ，不合，舍去 ） 12设抛物线的顶点为(t，t 2)，则有 (x- t)2= - 3(y- t2)，整理得 2t 2 +2tx- (x 2+3y)=0 由 0 可推得 2 20xy 二、填空题：本大题共4 小题，

17、每小题4 分，共 16 分 1396 14 48015 1 2005 16 提示： 13 40 96 200120010001000 n n 14对 0，7 两元素的象，此时f(i) 2 f(j)=0 ，故 0，7 这两元素的象至少有一个为0，计有 2 3 8-1=15 种情形； 对 1，6 两元素的象，此时f(i) 2 f(j)=6=1 3 6=23 3，故 1，6 两元素的象可能是1，6； 6，1；2，3； 3，2，计有 4 种情形。 同理， 2，5 两元素的象有2 种情形； 3，4 两元素的象有4 种情形。 故映射 f 的个数为153 43 23 4=480 种。 15 tan(1004

18、 )tan(1004 ) tan(1004 )tan(1004 ) sin(1004 )sin(1004 ) cos(1004 )cos(1004 ) sin(1004 )sin(1004 ) cos(1004 )cos(1004 ) sin(1004 )cos(1004 )sin(1004 )cos(1004 ) sin(1004 )cos(1004 )sin(1004 )cos(1004 ) sin(10041004 ) sin(10041004 ) 试卷与答案第11 页 共 15 页 sin2 sin2008 1 2005 16(mod)|()abmmba易知均成立 三、解答题：本大题共

19、6 小题，共74 分 17（文科题）解分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则 P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85 ,2 分 (1)()()()(CPBPAPCBAP =1- P(A)2 1- P(B)2 1- P(C) =(1- 0.9)3 (1- 0.8)3 (1-0.85) =0.003 答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003,7 分 (2)P( CBACBACBA ) = P()()()A B CP A B CP A B C =)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP =1 -P(A)2 P(B)2 P(C

20、)+P(A)2 1- P(B)2 P(C)+P(A)2 P(B)2 1- P(C) =(1- 0.9)3 0.8 0.85+0.9(1- 0.8)3 0.85+0.90.8 (1- 0.85) =0.329 答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329,12 分 （理科题）解记路段 MN 不发生堵车事件为MN，路线 A C FB 中遇到堵车次 数 可以为 0， 1，2，3,2 分 1113 (0)()(1)(1)(1) 22416 PP AC CF FB， (1)()()()PP AC CF FBP AC CF FBP AC CF FB = 1131131117 22422422416 ，

21、(2)()()()PP AC CF FBP AC CF FBP AC CF FB 1131111115 22422422416 ， 1111 (3)() 22416 PP AC CF FB ,8 分 的分布列为： 0 1 2 3 P 3 16 7 16 5 16 1 16 数学期望为E = 37515 0123 161616164 ,12 分 18 （ 1）逆命题：在等比数列an 中，前 n 项和为 Sn，若 a2，a4，a3成等差数列，则 S2， 试卷与答案第12 页 共 15 页 S4，S3成等差数列 ,3 分 （2）设数列 an的首项为a1，公比为 q 由已知，得2a4= a2 + a3

22、， 2a1q 3=a 1q+a1q 2 a1 0，q0， 2q 2q1=0 ， q=1，或 q=1 2 ,5 分 当 q=1 时， S2=2a1，S4=4 a1，S3=3 a1， S2+S32 S4， S2，S4，S3不成等差数列,8分 当 q= 1 2 时， S2+S3=（a1+a2）+( a1+a2+a3)=2a1a1+ 1 4 a1= 5 4 a1， 2 S4= 4 1 1 1 2 1() 5 2 1 4 1 2 a a， S2+S3=2 S4， S2，S4，S3成等差数列,11分 综上可知，当公比q=1 时，逆命题为假；当公比q1 时，逆命题为真 故命题 q 为假命题 ,12 分 (本

23、题也可举反例说明命题q 为假命题 ) 19解解法一（1）连 BD1， AD1，则 BD1EO 故 BD1与面 ADD 1A1所成的角为 30o,2 分 又因 BA面 ADD1A1，故 BD1A=30o 设 AB=AO=1，AA1=a 在 RtBAD1中， 2 1 11 sin30 2 11 BA BD a ， 解之 a=2 故当 1 2 AA AB 时， EO 与面 A1ADD1所成的 角为 30o ,6 分 （2）正四棱柱AC1 B1B底面 ABCDBBAO 又 ABCD 是正方形AOBD， 因 BDB1B=B， 故 AO面 B1D1DB AOEB1 , 8 分 设 O 点在面 AEB1上的

24、射影为H，连 AH， 则 B1EAH A B1 A1 B O E D1 C1 D C A E H O B1 试卷与答案第13 页 共 15 页 同理， AB1EH， 故 H 是 AEB1的垂心,12 分 解法二（1）建立空间直角坐标系D- xyz， 设正方形ABCD 的边长为1，棱 AA1=a，则 D（0， 0，0） ， E（0，0， 2 a ） ， O（ 1 2 ， 1 2 ， 0） ，,2分 平面 ADD 1A1的法向量为 n=（0，1，0） ， 则 1 1 (,) 2 22 a EO 依题意 =60o， 故 1 cos, 2 | EO EO EO| n n n 2 1 2 11 1 44

25、4 a a=2 故当 1 2 AA AB 时， EO 与面 A1ADD1成 30o , 6 分 （2）设 O 点在面 AEB1上的射影为H， 则OH是面 AEB1的法向量 ,8 分 易证AO面 BDD1B1，故 1 AOEB 于是， 1111 ()0EB AHEBAOOHEB AOEB OH 故 1 EBAH 同理， 1 ABEH 故 H 为 AEB1的垂心 ,12 分 20 32 4122fxxxax由题设， f (1)=0，解之4a ,4 分 依题意，方程fxg x，即 32 440x xxxk恰有 3 个不同的实根 若方程 32 440Q xxxxk有一根为零， 则0k此时方程fxg x

26、的解集为0, 2，不合题意,6 分 k0 且方程0Q x恰有 2 个不同的非零根 故0Q x有两重根 0 x与另外一个不等于x0的根 0 0 0 0 Q x Qx 即 32 000 2 00 440 3840 xxxk xx 由 得 0 2 2或 3 x代入得0k（舍去）或 32 27 k A B1 A1 B O E D1 C1 D C z y x A B1 H O E 试卷与答案第14 页 共 15 页 当 32 27 k时函数 1与g xkxfx的图象恰有三个公共点,12 分 21解不失一般性，设P(u，v)为轨迹上的任一点，过P 的直线 L 的方程为 y- v=k(x- u)，即 y=k

27、(x- u)+v 将代入 2 2 1 4 x y并整理得 (1+4k 2)x2+(8kv- 8k2u)x+4k2u2- 8kuv+4v2- 4=0 ,3 分 当 L 为切线时，上述关于x 的方程有等实根，于是 =(8kv- 8k 2u)2- 4(1+4k2)(4k2 u 2- 8kuv+4v2- 4)=0 整理变形得(4- u 2)k2+2uvk+1- v2=0 ,6 分 两切线l、m，lm， 关于 k 的方程有两不等实根k1、k2，且 k12 k2= -1 4- u 20， =(2uv)2- 4(4- u2)(1- v2) 0， 2 2 1 1 4 v u u 2，u 2+4v24，u2 +

28、v 2 =5 ,9 分 上述结论中，当u 2+v2 =5 时， u2+4v24 恒成立 又当点 P 的坐标为 (2， 1)时，过 P 的两切线显然存在且互相垂直（其中一条直线 的斜率不存在）， P(u，v)满足 u 2+v2 =5，即 P 的轨迹是以原点为圆心， 5为半径的一个圆,12 分 22解（） 22 ( )(1)(1) A xb fx ax 22 22 22 11 xxbb aaxx 22 ()2()11 xbxbb axaxa 22 (1)1 xbb axa 设 t = xb ax ， xa，b） ，ab，a、b 为正实数，则t2 b a 1，于是 g(t)= 22 (1)1 b t

29、 a （t2 b a ）为关于 t 的增函数， 从而当且仅当t =2 b a 时，函数 g(t)取最小值即fA(x)的最小值为 2 221 bb g aa ,5 分 （）由（）得，( ) A fx 2 2 (1)1 xbb axa 因 xb ax - 1 0，故函数( ) A fx的单调性等价于函数h(t) = xb ax （xa，b，a b，a、 b 为正实数）的单调性，易知当xa，ab）时，函数 h(t)单调递减；当x（ab， b)时，函数h(t)单调递增 m l x O y P 试卷与答案第15 页 共 15 页 故函数( ) A fx的单调减区间为a，ab） ，增区间为（ab，b） ,9 分 （）由（）知， 1 () k I fx的最小值为 2 2 2 (1) 21 k k 2 2 k ， 1 2 () k I fx 的最小值为 2 2 2 (2) 21 (1) k k 2 2 (1)k ，于是 1 12 ()() kk II fxfx 22 22 (1)kk 22 22 2 (1)kk 4 (1)k k ,14 分