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1、理论力学参考答案第5 章 第 5 章 摩 擦 47 47 第 5 章 摩擦 一、是非题正确的在括 号内打 “”、错误的打 “” 1静滑动摩擦力与最大静滑动摩擦 力是相等的。 2 最大静摩擦力的方向总是与相对滑动趋势 的方向相反。 3摩擦定律中的正压力即法向约束反力是指 接触面处物体的重力。 4 当物体静止在支撑面上时支撑面 全约束反力与法线间的偏角不小于摩擦角。 5 斜面自锁的 条件是斜面的倾角小于斜面间的摩擦角。 二、填空题1 当物体处于平衡时静滑动摩擦力增大是有一定限度的它只 能在 0FsFsmax 范围内变化而动摩擦力应该是不改变的。 2 静滑动摩擦力等于最大静滑动摩擦力时物体的平衡状态
2、称 为临界平衡状态。3 对于作用于物体上的主动力若其合力的 作用线在摩擦角以内则不论这个力有多大物体一定保持平 衡这种现象称为自锁现象。4 当摩擦力达到最大值时支撑面 全约束反力与法线间的夹角为摩擦角。5 重量为 G 的均质 细杆 AB 与墙面的摩擦系数为0.6f 如图 5.12 所示则摩擦力为 0。 6 物块 B 重 2kNP 物块 A 重 5kNQ 在 B 上作用一水平力 F 如图 5.13 所示。当系A 之绳与水平成30 角 B 与水平面间 的静滑动摩擦系数s102f.物块 A 与 B 之间的静滑动摩擦系数 s2025f.要将物块 B 拉出时所需水平力F 的最小值为2.37kN 。 A
3、C B G A B F 图 5.12 图 5.13 48理论力学 48三、选择 题 1 如图 5.14 所示重量为P 的物块静止在倾角为的斜面上 已知摩擦系数为sfsF为摩擦力则 sF的表达式为B 临界时 sF 的表达式为A 。 A sscosFfP B ssinFP C sscosFfP D ssinFP NF P sF 图 5.14 2 重量为 G 的物块放置在粗糙的水平面上物 块与水平面间的静摩擦系数为sf 今在物块上作用水平推力P 后物块仍处于静止状态如图5.15 所示那么水平面的全约束 反力大小为C 。 A RsFfG B 22RsFPfG C 22RFGP D 22RsFGfP P
4、 G 图 5.15 3 重量为 P、半径为 R 的圆轮放在水 平面上如图5.16 所示轮与地面间的滑动摩擦系数为sf 滚动 摩阻系数为圆轮在水平力F 的作用下平衡则接触处的摩擦力 sF和滚动摩阻力偶矩fM 的大小分别为C 。 A ssFfP fMP B ssFfP fMRF C sFF fMRF D sFF fMP 4重量分别为AP 和 BP 的物体重叠地放置在粗糙的水平面上水平力F 作用于物体A 上如图 5.17 所示。设 AB 间的摩擦力最大值为maxAFB 与水 平面间的摩擦力的最大值为maxBF 若 AB 能各自保持平衡则 各力之间的关系为B 。 A maxmaxBAFFF B max
5、maxBAFFF C maxmaxABFFF D maxmaxBAFFF F P NF sF fM F A B 图 5.16 图 5.17 第 5 章 摩 擦 49 49 5 当物体处于临界平衡 状态时静摩擦力sF 的大小C 。 A 与物体的重量成正比B 与物体的重力在支撑面的法线方向的大小成正比C 与相互 接触物体之间的正压力大小成正比D 由力系的平衡方程来 确定 6 已知物块 A 重 100kN 物块 B 重 25kN 物块 A 与地面 间的滑动摩擦系数为0.2 滑轮处摩擦不计如图5.18 所示则物 体 A 与地面间的摩擦力的大小为B 。 A 16kN B 15kN C 20kN D 5k
6、N 3 4 A B 图 5.18 7 如图 5.19所示为一方桌的对称 平面水平拉力P 和桌子重 W 都作用在对称平面内桌腿A、B 与地面之间的静滑动摩擦系数为sf。若在对称平面内研究桌 子所受的滑动摩擦力。以下四种情况下哪一种说法是正确的 B A 当 sPfW 时滑动摩擦力为s2FFfW/AmaxBmax B 当 sPfW 时滑动摩擦力s2FFfW/AmaxBmax C 当 sPfW 时滑动摩擦力 s2ABFFfW/ D 当 sPfW 时滑动摩擦力sABFFfW 8 如图 5.20 所示木梯重量为PB 端靠在铅垂墙上A 端放在水平地面上若 地面为绝对光滑木梯与墙之间有摩擦其摩擦系数为sf 梯
7、子 与地面的夹角为。 以下四种条件的说法哪一种是正确的D A 当 sarctgf 时杆能平衡B 当 sarctgf 时杆能平衡C 只有当 sarctgf 时杆不平衡D 在 090 时杆都不平衡A B W P A B P 图 5.19 图 5.20 50理论力学 50四、 计算题5-1 如图 5.21 所示重量为G 的物块放在粗糙的水平面上接触面之间的摩 擦系数为 sf。试求拉动物块所需力F 的最小值及此时的角。 解选择物块为研究对象受力分析如图所示。列平衡方程有 0xF 0cossFF 0yF 0sinGFFN 其中 NssFfF 引入 smfarctan 联立 求解可得cossinsinco
8、smmssGfGfF 当 smfarctan 时 F 取极小 值其值为22min1ssffGF 5-2 重量为 P的物体放在倾角为的斜 面上物体与斜面之间的摩擦角为m 如图 5.22 所示。如在物 块上作用力F 此力与斜面的夹角为。求拉动物块时的F 值并 问当角为何值时此力为极小。解选择物块为研究对象受力 分析 如图所示。列平衡方程有0xF 0sincosPFFs 0yF 0cossinPFFN 其中 NmsFFtan 联立求解可得cossinmmPF 当 m 时 F 取极小值其值为sinminmPF 5-3 重力为 500N 的物体 A 置于重力为 400N 的物体 B 上 B 又置于水平面
9、C上如图 5.23 所示。已知A、B 之间的摩擦系数0.3ABfB 与水平面之间的 摩擦系数 0.2BCf 今在 A 上作用一与水平面成30 的力 F 问 1 当力 F 逐渐加大时是A 先滑动呢还是A、 B 一起滑动 2 如果 B 物体重力为200N 情况又如何解 1 分别选择物块A 和 B 为研究对象受力分析如图所示。不妨假设当力F 逐渐加大时 物块 A 先处于滑动的临界状态此时由平衡方程有A 0xF 0cossABFF 0yF 0sinANABGFF 其中 sABFNABABFf联立求 解可得 N5.209FN4.181sABF 。而此时由物块B 的平衡方程有 F 图 5.21 F sF
10、NF G P F 图 5.22 P F sF NF y x F sABF NABF AG NABF sBCF NBCF BG sABF F 图 5.23 A B C A B 第 5 章 摩 擦 51 51 B 0xF 0sABsBCFF 0yF 0BNBCNABGFF 其中 sABsABFFNABNABFF联立求解可得 N4.181sABsBCFFN75.1004NBCF 可知 NBCBCsBCFfF 故物 块 B 未达到临界状态。故A 先滑动。2 如果 B 物体重力为 200N 仿照前面计算过程可得N4.181sBCFN75.804NBCF 可知 NBCBCsBCFfF 。故 A、B 一起滑
11、动。5-4 如图 5.24 所示的 梯子长 ABl 重 100NP 靠在光滑的墙上并和水平地面成75角。 已知梯子和地面之间的静滑动摩擦系数为0.4sf 问重 700NQ 的人能否爬到梯子顶端而不致使梯子滑倒并求地面对梯子 的摩擦力。 假定梯子的重心在其中点C。 解选择物块为研究 对象受力分析如图所示。列平衡方程有0xF 0sBNAFF 0yF 0QPFNB 0FBM 0cos2cossinlPlQlFNA 联立求解可得 N201sBF N800NBF 由于 NBssBFfF 故能保持平衡。5-5 欲 转动一放在V 形槽中的钢棒料如图5.25 所示需作用力矩M 15N m 的力偶已知棒料重40
12、0NW 直径 25cmD 试求棒料与槽 间的摩擦系数f。 解选择 V 形槽中的钢棒料为研究对象受力 分析如图所示。 列平衡方程有A B Q C 图 5.24 B A Q C NBF P NAF sBF M 45 45 图 5.25 y x M 2NF 1NF 2sF 1sF W O 52理论力学 52 0xF 045coso21WFFsN 0yF 045sino12WFFsN 0FOM 02221MDFDFss 其中 11NsfFF22NsfFF 联立求解有0321032ff 解上面的方程可得 棒料与槽间的摩擦系数223.0f。5-6 如图 5.26 所示半圆柱体 重力为 P重心 C 到圆心
13、O 点的距离 43Ra 其中 R 为圆柱体半 径。如半圆柱体和水平面间的摩擦系数为f 求半圆柱体被拉 动时所偏过的角度。解选择半圆柱体为研究对象受力分析 如图所示。列平衡方程有0xF 0sFF 0yF 0PFN 0FAM 0sinsinRRFaP 其中 NsfFF 联立求解可得半圆柱体被拉动时 所偏过的角度为ff343arcsin 5-7 同一物块在如图5.27 所示的 两种受力情况下均保持物体不下滑时力F1 和 F2 是否相同为 什么设物块重为Q 与铅垂面间的摩擦系数为sf。 解分别选 择物块为研究对象受力分析如图所示。分别列平衡方程有1 0xF 0sin11NFF 0yF 0cos11PF
14、Fs 其中 11NssFfF 联立求解可得 保持物体不下滑时力F1 为 F P a C O 图 5.26 F P a C O NF sF A 2F P 1F P 图 5.27 1F P 1NF 1sF 2F P 2NF 2sF 第 5 章 摩 擦 53 53 cossin1sfPF 2 0xF 0sin22NFF 0yF 0cos22PFFs 其中 22NssFfF 联立求解可得保持物体不下滑时力F2 为 cossin2sfPF 5-8 如图 5.28 所示系统中已知物体ABCD 重 P 50kN 与斜面间的摩擦系数为f 0.4 斜面倾角 30AB CD 10cmAD BC 50cm 绳索 A
15、E 段水平试求能使系统平衡时物体 M 重量 Q 的最小值。解当重量 Q 的较小时物块可能有两种 运动趋势向下滑动或向下倾倒。画出物块的受力图分别计算 这两种运动所需要的Q 的最小值。当物块有向下滑动趋势 时由物块的平衡有0xF 0cossinTsFPF 0yF 0sincosTNFPF 其 中 NsfFFQFT 联立求解可得保持物体不下滑时力Q 的最小值 为 kN2.7sincoscossinminffPQ 当物块有向下倾倒趋势时物 块受钭面的法向约束反力通过C 点由物块的平衡有0FCM 0sincos2sin2cosCDADFBCPCDPT 其中 QFT 解得保持物体 不倾倒时力Q 的最小值
16、为 kN46.8sincos2cos2sinminCDADCDBCPQ 要保证物块既不向 下滑动又不向下倾倒重量Q 的最小值应取为kN46.8minQ 5-9 如图 5.29 所示圆柱体A 与方块 B 均重 W 100N 置于与水 平成 30 的斜面上若所有接触处的滑动摩擦角均为35 求保持 物体平衡所需要的最小力P。解分别选择圆柱体A 与方块 B 为研究对象受力分析如图所示。力 P 较小时圆柱体A 与方块 B 均有向下运动的趋势。此时由平衡方程有A 0xF 030sinoWFFsAAB Q P E A B C D 图 5.28 P A B C D TF NF sF y x 54理论力学 54
17、 0yF 030cosoWFFsABNA 0FAM 0rFrFsAsAB B 0xF 030sinoWPFFsBBA 0yF 030cosoWFFsBANB 其中 NBsBFFo35tanBAsBAFFo35tanABBAFF联立求解可得 N35.4P 5-10 如图 5.30 所示的均质杆AB 和 BC 重均为 W 长 均为 LA 、B 为铰链连接C 端靠在粗糙的墙上设静摩擦系数 为 f 0.35 求系统平衡时角的范围。解分别选择整体与BC 杆为研究对象受力分析如图所示。列平衡方程有整体 0FAM 0cos2cos2sin2lWlWlFN BC杆 0FBM 0cos2cossinlWlFlF
18、sN 其中 sFNfF联立求解可得o926.9 5-11 如图 5-31 所示托架安装在直径30cmd 的水泥柱子上 托架与柱子之间的静摩擦系数s025f.且 60cmh 问作用于托架 上的荷载 P距圆柱中心线应为多远时才不致使托架下滑托架 自重不计。解选择托架为研究对象受力分析如图所示。列 平衡方程有0xF 0NBNAFF 0yF 0PFFsBsA P 30 r A B W W 图 5.29 y x W r A ABF NAF sAF sABF P B W sBF NBF BAF sBAF A B C W W 图 5.30 A B C W W NF AxF AyF sF NF sF W B
19、BxF ByF C 第 5 章 摩 擦 55 55 0FAM 02dxPdFhFsBNB 其中 sBFNBsFf联立求解可得xcm120 5-12 如图 5.32 所示圆柱 O 重量为 Q 半径为 R 夹放在用铰链 连接的两板AB 、BC 之间若圆柱与板之间的摩擦系数为sf 试求圆柱平衡时力P 的大小。 设 ABL2ABC 。 解当 P 较小时 圆柱 O 有向下滚动的趋势。 分别选择圆柱O 与板 AB 为研究 对象受力分析如图所示。列平衡方程有圆柱 O 0yF 0sinsin21QFFmRmR AB 杆 0FBM 0costancos1LPRFmR 由于 问题的对称性可知圆柱O 在 C、D 两
20、处受到的全约束反力相 等即 21RRFF。联立求解可得cossin2minsfLQRP 当 P 较大 时圆柱 O 有向上滚动的趋势。 分别选择圆柱O 与板 AB 为研 究对象受力分析如图所示。列 x d P h 图 5.31 NBF x d P h A B NAF sAF sBF Q A C B P P O 图 5.32 A B P 1RF BxF ByF C Q O 1RF 2RF m m C D Q O 1RF 2RF m m C D 56理论力 学 56平衡方程有圆柱 O 0yF 0sinsin21QFFmRmR AB杆 0FBM 0costancos1LPRFmR 由于问题的对称性可知
21、圆柱O 在 C、D 两处受到的全约束反力相等即21RRFF。联立求解 可得 cossin2maxsfLQRP 因此圆柱平衡时力P 的大小为 cossin2sfLQRPcossin2sfLQR 5-13 如图 5.33所示均质杆 AB 重 175NW 木块 C 重 2200NW 杆与木块间的静摩擦系数10.5f 木块与水平面间的静摩擦系数20.6f 求拉动木块的水平力P 的最小值。解分别选择均质杆AB 与木块 C 为研究对象受 力分析如图所示。列平衡方程有均质杆 AB 0FBM 045sin245cos45sino1oolWlFlFsANA 木块 C 0xF 0PFFsCsA 0yF 02WFF
22、NANC 其中 NANAFFsAsAFF 。在木块滑动的临 界状态下有1NAsAFfFNCsCFfF2 。联立求解可得NP5.147 5-14 如图 5.34 所示两无重杆在B 处用套筒式无重滑块连接 在杆 AD 上作用一力偶AM 其力偶矩 40NmAM 滑块和杆 AD 间的摩擦系数s03f.在图示瞬时ABAC 求保持系统平衡时力 偶矩 CM 的范围。 1W B o45 NAF sAF BxF ByF A 图 5.33 A B o45 P C P C NAF sAF NCF sCF 2W B D A C o30 CM l AM 图 5.34 C o30 CM NBF sBF CxF CyF B
23、 B D A AM sBF NBF AxF AyF 第 5 章 摩 擦 57 57 解分别选择杆AD 与杆 BC 为研究对象当力偶矩CM 较小时物块相对于杆AD 有向上运 动的趋势此时两杆的受力分析如图所示。列平衡方程有杆 AD 0FAM 033ANBMlF 杆 BC 0FCM 060sin30sinoolFlFMNBsBC 其中 NBNBFFsBsBFF 。 在木块滑 动的临界状态下有NBssBFfF 。联立求解可得mN61.49CM 同理当力偶矩CM 较小时物块相对于杆AD 有向下运动的趋 势。此时列平衡方程有杆 AD 0FAM 033ANBMlF 杆 BC 0FCM 060sin30si
24、noolFlFMNBsBC 其中 NBNBFFsBsBFF 。在 木块滑动的临界状态下有NBssBFfF 。联立求解可得 mN39.70CM 综合考虑以上两种可能情况可得保持系统平衡 时力偶矩 CM 的范围为mN61.49 CM mN39.70 5 -15 如图 5.35 所示砖夹由曲杆AOB 和 OCD 在点 O 铰接而成。工作时 在点 H 加力 P 点 H 在 AD 的中心线上。若砖夹与砖块之间的 摩擦系数 s05f.不计各杆自重问距离b为多大时才能将砖块夹 起图中长度单位为cm。 解由整体的受力图可知工作时在点 H 加力 P 大小应等于G。分别选取曲杆AOB 和砖块为研究 对象受力分析如
25、图所示。列平衡方程有曲杆 AOB 0FOM 05.93PFbFsANA 砖块0yF 0GFFsDsA 其中 sAsAFF。 由于对 称性可知 sDsAFF。而 sAFNAsFf。联立求解可得bcm11 5-16 楔形夹具如图5.36 所示。A 块顶角为受水平向左的力P 作用 B 块受垂直向下的力Q 作用。 A 块与 B 块之间的静滑 动摩擦系数为sf 如不计 A、B 的重量试求能保持平衡的力P 的范围。解分别选择楔形块A 与楔形块 B 为研究对象。当 力 P 较大时楔形块B 相对于楔形块A 有向上运动的趋势此时 两楔形块的受力分析如图所示。列平衡方程有楔形块 A 0xF 0cossinPFFs
26、ABNAB 25 A C D B 3 b H P G O 图 5.35 A B b H O P OxF NAF sAF OyF A D G sAF NAF sDF NDF 58理论 力学 58楔形块 B 0yF 0sincosQFFsBANBA 其中 NABNBAFFsABsBAFF。在木块滑动的临界状态下有 NABssABFfF 。联立求解可得QffPsssincoscossin 同理当力 P 较小时楔形块B 相对于楔形块A 有向下运动的趋势两楔形块 的受力图和前面的楔形块的受力图相似只需改变各自的摩 擦力方向即可。列平衡方程有楔形块 A 0xF 0cossinPFFsABNAB 楔形块 B
27、 0yF 0sincosQFFsBANBA 其 中 NABNBAFFsABsBAFF。 在木块处于滑动的临界状态下有 NABssABFfF 。 联立求解可得QffPsssincoscossin 综合考虑以 上两种可能出现的情况可知能保持夹具平衡的力P 的范围为 QffsssincoscossinPQffsssincoscossin 5-17 如图 5.37 所示均 质杆 AB 长 b2重量为 P放在水平面和半径为r的固定圆柱上。 设各处摩擦系数都是sf 试求杆处于平衡时的最大值。解选 均质杆 AB 为研究对象当平衡时较大时均质杆有向下倾倒的 趋势。此时均质杆的受力分析如图所示。列平衡方程有0x
28、F 0cossinsAsCNCFFF 0yF 0sincosPFFFNAsCNC 0FAM 0costanbPrFNC B A Q P 图 5.36 B Q sBAF NBAF NBF A P sABF NABF NAF B A r 图 5.37 B A sCF NCF NAF C sAF P 第 5章 摩 擦 59 59 在均质杆 AB 处于滑动的临界状态 下有 NAssAFfFNCssCFfF 。联立求解可得bfrfss1arcsin2 5-18 如图 5.38 所示鼓轮 B 重量为 500N 放在墙角里。 已知鼓轮与 水平地板间的摩擦系数s025f.而铅直墙壁则假定是绝对光滑 的。鼓轮上
29、的绳索下端挂着重物。设半径200mmR100mmr 求平衡时重物A 的最大重量。解选取鼓轮B 包括重物 A 为 研究对象受力分析如图所示。列平衡方程有0yF 0PWFND 0FOM 0rPRFsD 在鼓轮处于滑动的临界状态下有 NDssDFfF 。 联立求解可得N500P 5-19 一个起重用的夹具由 ABC 和 DEF 两个相同的弯杆组成并由杆BE 连接 B 和 E 都 是铰链尺寸如图5.39 所示。不计夹具自重试问要能提起重量 为 G 的重物夹具与重物接触面处的摩擦系数sf 应为多大解 分别选择节点A 与弯杆 ABC 为研究对象受力分析如图所示。 列平衡方程有节点 A 0xF 030cos
30、30cosooDAFF B O A R r 图 5.38 B O A D sDF NCF NDF C W P 图 5.39 20cm 60cm P 120 15cm C B E A D F G C B A NCF BxF sCF ByF AF P 120 AF DF 60理论力学 60 0yF 030sin30sinooPFFDA 弯杆 ABC 0FBM 0602015AsCNCFFF 其中 AAFF 。显然要起吊重 物摩擦力 sCF 应等于 2G 而起重力 P 等于 G。由静滑动摩擦 定律有 sCF NCsFf。联立求解可得sf 15.0 5 -20 轧压机由两 轮构成两轮的直径均为500mmd 轮间的间隙为5mma 两轮反 向转动转动方向如图5.40 所示。已知烧红的铁板与铸铁轮之 间的摩擦系数为s01f.问能轧压的铁板的厚度b 是多少提示 要使机器正常工作铁板必须被两轮带动即作用在铁板A、B 处的法向反力和摩擦力的合力必须水平向右。解选铁板为 研究对象受力分析如图所示。为使机器正常工作铁板必须被 两轮带动即作用在铁板A、B 处的法向反力和摩擦力的合力 必须水平向右。即0sincosNAsAFF 而 NAssAFfF 。其中 22222tan22abdabdd求解可得mm5.7b d A B a b 图 5.40 a b A B NBF sAF sBF NAF