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1、- 1 - 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 文科数学 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大 题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 设,a b是向量，命题“若ab，则a= b”的逆命题是【 D】 （A）若a b，则a b（B）若a=b，则ab （C）若ab，则ab（D）若a=b，则a= -b 2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x ，则抛物线的方程是【C】 （A） 2 8yx（B） 2 8yx (C) 2 4yx (D) 2 4yx 3. 设0 ab，则下列不等式中正确的是 【B】 （A） 2 ab abab（B） 2 ab
2、 aabb （c） 2 ab aabb (D) 2 ab abab 4. 函数 1 3 yx的图像是【B】 5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是【A】 (A) 2 8 3 (B) 8 3 (C)8-2 (D) 2 3 6. 方程cosxx在,内【C】 (A) 没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根（D）有无穷多个根 7. 如右框图，当 12 6,9,xx8.5p时， 3 x等于【B】 - 2 - (A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11 8. 设集合 M=y| 2 cos x 2 sin x|,x R, N=x|x 1 i |0, 则 f(f(-2)=_ 2_.
3、10 x ,x0， 12. 如图，点（ x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动， 那么 2x-y 的最小值为 _1_. 13. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为_5+6+7+8+9+10+11+12+13=81_. 14. 设 n N ,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要 条件是 n=_3 或 4_. 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多 做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题） 若不等式 12xxa 对任意 xR 恒成立， 则 a 的取值 范围是 _ _。
4、- 4 - B.（几何证明选做题）如图， 0 ,9 0BDA EB CA C D 且 AB=6 ，AC+4 ，AD+12，则 AE=_2_. C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线 1 3c o s : si n x C y （为参数）和曲线 2 :1C 上，则 AB 的最小值为 _1_. 三解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共 75 分） P. （本小题满分 12 分） 如图，在 ABC中， ABC=45 ， BAC=90 ，AD高，沿 AD把是 BC上的 ABD 折起，使 B
5、DC=90 。 （）证明：平面平面； （ ）设 BD=1 ，求三棱锥 D的表面积。 解（）折起前是边上的高， - 5 - 当 折起后， AD ， AD ， 又 DB， 平面， AD 平面平面 BDC. 平面平面 （）由（）知， DAD B, D BD C,D CD A, DB=DA=DC=1， AB=BC=CA=2, 11 11, 22 D A MD B CD CA SSS 13 22sin 60 22 ABC S 表面积： 1333 3. 222 S 17. （本小题满分 12分） 设椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab 过点（ 0，4） ，离心率为 3 5 （）求 C的方程； （
6、）求过点（ 3，0）且斜率为 4 5 的直线被 C所截线段的中点坐标 解（）将（ 0，4）代入 C的方程得 2 16 1 b b=4 又 3 5 c e a 得 22 2 9 25 ab a 即 2 169 1 25a ，a=5 C的方程为 22 1 2516 xy （ ）过点 3, 0 且斜率为 4 5 的直线方程为 4 3 5 yx， 设直线与的交点为 11 ,xy， 22 ,xy， - 6 - 将直线方程 4 3 5 yx代入的方程，得 2 2 3 1 2525 x x ， 即 2 380xx，解得 1 341 2 x， 2 341 2 x， AB 的中点坐标 12 3 22 xx x，
7、 12 12 26 6 255 yy yxx， 即中点为 36 , 25 。 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。 18.（本小题满分 12 分） 叙述并证明余弦定理。 解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，有 222 2cosabcbcA， 222 2cosbcacaB， 222 2coscababC. 证法一如图， 2 cBC - 7 - A CA BA CA B 22 2ACACABAB 22 2cosACACABAAB 22 2cosbbcAc 即 222 2c o sabcb
8、A 同理可证 222 2c o sbcac aB， 222 2c o scaba bC 证法二已知 ABC中,A B C所对边分别为,a b c ， 以A为原点，AB所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos,sin),(,0)C bA bAB c， 19.（本小题满分 12 分） 如图，从点 1(0, 0) P做 x 轴的垂线交曲线 x ye于点 1(0,1), Q曲线在 1 Q点处的切线与 x 轴交于点 2 P，再从 2 P做 x 轴的垂线交曲线于点 2 Q，依次重复上述过程得到一系 列点： 1122 ,;,;, nn PQPQPQ记 k P点的坐标为(, 0)(1, 2,.,) k xk
9、n. （）试求 1 x与 1k x的关系(2)kn - 8 - （ ）求 112233 . nn PQP QP QP Q 解（）设 11 (, 0) kk Px，由 x ye得 1 11 (,) k x kk Qxe点处切线方程为 11 1 () kk xx k yeexx 由0y得 1 1(2) kk xxkn。 （ ） 11 0,1 kk xxx，得(1) k xk， (1) k xk kk P Qee 112233 . nnn SPQP QP QP Q 1 12(1) 1 1 1. 11 nn n eee eee ee 20. （本小题满分 13分） 如图，A地到火车站共有两条路径L1和
10、 L2，现随机抽取 100位从 A地 到火车站的人进行调查，调查结果如下： （）试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率 ; （ ）分别求通过路径L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; （ ）现甲、乙两人分别有40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽 量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径。 解（）由已知共调查了100 人 ，其中40 分钟内不 能赶到火车站的有 12+12+16+4=44人， 用频率估计相应的概率为0.44. （ ）选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人， - 9 - 故由调查结果得频率为： （ ）A1，
11、A2，分别表示甲选择L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择 L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站。 由（）知 P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6 P(A2)=0.1+0.4=0.5 ， P(A1)P(A2) 甲应选择 L1 P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8 P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9 ，P（B2）P（B1） ， 乙应选择 L2. 21. （本小题满分 14分） 设()ln.()()()fxx gxfxfx。 （）求()gx的单调区间和最小值； （）讨论()gx与 1 ()g x 的大小关系； （）求a的取值范围
12、，使得()()gag x 1 a 对任意x0 成立。 解（）由题设知 1 ()ln,()lnfxx gxx x ， 2 1 (), x gx x 令()gx0 得x=1， 当x（0，1）时，()gx0，故（ 0，1）是()gx的单调减区间。 当x（1，+）时，()gx0，故（1，+）是()gx的单调递增区间， 因此， x=1是 ()gx的唯一值点， 且为极小值点， 从而是最小值点， 所以最小值为(1)1.g (II) 1 ()gInxx x 设 11 ()()()1h xgxgInxx xx ，则 2 2 (1) () x hx x ， - 10 - 当1x时，(1)0h即 1 ()()g xg x ， 当(0,1)(1,)x时(1)0h， 因此，()h x在(0,)内单调递减， 当01x时，()(1)0h xh 即 1 ()().g xg x （III ）由（ I ）知()gx的最小值为 1，所以， 1 ()()g ag x a ，对任意 0x ，成立 1 ()1,g a a 即1,Ina从而得 0ae。 B卷试题答案 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.B 9.A 10.D