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1、两个正方形剪拼成一个大正方形 湖北省襄阳市黄集镇初级中学赵国瑞图 1 图 1 中的两个正方形连成了一体 . 布鲁斯博士说, 只 要在上面画两条直线, 把这个图形分成四块, 就可重新拼 成一个正方形而无任何剩余 . 你能做到吗 ? 提示根据图 形剪拼后面积相等的原理, 求出要拼成的正方形的边长, 并 在目前的图形中寻找这样长度的线段. ) 答案这两个正方 形无具体尺寸 , 但不管怎样 , 它们拼成的图形的面积, 总是 它们的面积的和 , 这是一切图形拼剪问题的着手点. 图 2 现设一个正方形的边长为a, 另一个正方形的边长为b, 则这 两个正方形的面积之和为a 2 + b 2 . 再设它们所拼
2、成的正方形的边长为c, 则有 c 2 = a 2 + b 2 . 根据勾股 定理 , c 正是 以 a、b 为直角边的直角三角形的斜边. 根据 这 条线索 , 我们在图 2 上试着找出一个这样的直角三角 形. 显然符合要求 , 因此 CF 的 长度就是我们要拼 的正方形的边长. 既然如此, 何不试着把CF 作为我们要拼 的那个新正方形的一条边呢? 于是我们连接CF, 即把 CF 图 3 作为我们所画的第一条划分线. 既然 CF 是新正方形 的一条边 , 那么过C 点与 CF 垂直的那条直线上应该有着 新正方形的另一条边 . 于是我们如此画一条直线, 如图 3, 设这条直线交DE 于 H , 交
3、 A G 于 I ; 并为了下面证明的 需要 , 设它交 BA 的延长线于J . 这样就把图形分成了四 块、四边形、直角梯形 I A 和这样的四个图形能不能拼成 一个正方形呢 ? 图 4 如图4 所示 , 这样 的四个图形东西 确实可以拼成一个正方形. 具 体的操作过程是: ( 1 ) 把 沿直线H J 平移到的位置 , 与直角 梯形 ABCI 拼成一个这一操作的合理性需要有 作保证 , 这将在下面证明. ( 2) 把 Rt 平移到四边形CH EF 的 右边并与之拼合. 这里需要 有 EF= A B+ J A, 但如果有则 J A = CD, 从而有 EF= GD= GC+ CD= AB+ J
4、A . ( 3) 把 沿直线 J H 平移到刚才拼合成的图形下面并与之拼合. 这 里需要有I F = BC + H E, 但如果有 则 A I = DH , 从而有I F= I G+ GF= A G- AI + GF= BC- DH + DE= BC+ H E. 于是在待证 ) 的 前 提下, 我们得到了图4 的四边形 , 但我们还要证明它 是正方形 . 目前仅知道这个四边形有两个角( 即原来中 的和原来中的是直角 . 我们还需要证明 其他两个角也是直角. 其实这很容易 . 由于在原来的图形 中而所以 下转第 27 页网址 : z xss. chinajournal. net. cn 电子信箱
5、 : zxs s chinajournal. net . cn 数学史话吉林省公主岭市教育六号楼四单元 1( 136100) 窦英俊李玉程程大位是明朝 ( 公元 16 世纪 ) 人, 是我国古代伟大的数学家, 他花了几十年的 时间 , 精 心研究各种数学书籍, 并结合自己的体会, 于 1593 年编写出了算法统宗一书 , 此书出版后, 就在国 内各地广泛流传, 当时此书成为我国初等数学教科书, 它 在我国数学史上是一部很重要的著作 . 本文将介绍此书中 的一道百羊趣题如下甲赶群羊逐草茂, 乙拽肥羊 一只随其后 , 戏问甲及一百否? 甲云所说无差谬, 若得这般 一群凑 , 再添半群小半群, 得你
6、一只来方凑, 玄机奥妙谁参 透? 这道题 , 大意是说 : 牧羊人赶着一群羊去寻找草长得 茂盛的地方放牧, 有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了 上来 , 他对牧羊人说你好 , 牧羊人 ! 你赶这群羊大概有 一百只吧牧羊人答道如果我再有这样一群羊, 并 且加上这群羊的一半, 又四分之一群 , 连你牵着的这只肥 羊也算进去 , 才刚好凑满一百只谁能够知道牧羊人放牧 的这群羊一共有多少只? 弄清了题意以后, 这道题的解法 很简单 , 其解法如下 : 解法一 ( 算术法 ) : 把原来群羊看作 1, 又 一群羊也是1, 半群是1 2 , 小半群是1 4 , 则总的 分数为 : 1+ 1+ 1 2 +
7、1 4 , 它对应的羊数为100 - 1. 故得 算式- 只) . 解法二 ( 方程法 ) : 设这群羊共有x 只. 根据题意得方程x+ x+ 1 2 x+ 1 4 x+ 1= 100. 解此方程得只) . 答: 略去 . ( 责审周春荔 ) ( 上接第 28 页) 即这个拼成的四边形的 右端那个角也是直角( 即原来中的和原来中的 拼 成) . 既然这个四边形的三个角都是直角, 那么 它的第四个角一定也是直角了. 因此这个四边形是一个矩 形. 为证明这个矩形是正方形, 我们还要证明它的一对邻 边相等 . 具体地说 , 我们要在原来的图形 ( 即图 3) 中证明 CF= CH + I C. 如果
8、我们有那么 CH = JI , 我 们只要证明CF= CJ 即可 . 为此 , 我们考察 Rt 和由于所以 加上 GC= BC, 所以从而有 CF= CJ. 因此 , 在待证 ) 的 前提 下, 我们确实拼出了一个正方形. 下面我们来证明Rt 其实 , 由刚才证明的 可 知 FG= J B. 但 FG= GD= GC+ CD= A B+ CD, 而 JB= J A + A B, 故 A B + CD = JA + A B, 即 CD= JA . 又又 由得 从而责审周春荔 网址 : z xss. chinajournal. net. cn 电子信箱 : zxs s chinajournal. net . cn