1、2019-2020年高三数学模拟试卷（理科）（4月份）含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=1，2，3，4，5，集合B=x|x（4x）0，则图中阴影部分表示（）A1，2，3，4B1，2，3C4，5D1，42设i为虚数单位且z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则z的虚部为（）A2B2iC2D23已知服从正态分布N（1，2），aR，则“P（a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分又不必要条件D充要条件4已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，
2、则f（2）=（）A1B1C5D55若正数a，b满足+=1，则+的最小值为（）A3B4C5D66执行如图所示的程序框图，如果输入的x1，3，则输出的y属于（）A0，2B1，2C0，1D1，57若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A2B3C4D58将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A24种B28种C32种D16种9如图，将绘有函数f（x）=2sin（x+）（0，）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（1）=（）A2B2C D10如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交
3、于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4B C D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上.11（x2+）6的展开式中x3的系数是（用数字作答）12已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）13在RtABC中，A=90，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=14已知P、A、B、C是球O球面上的四点，ABC是正三角形，三棱锥PABC的体积为，且APO=BPO=CPO=30，则球O的表面积为15已知函数f（x）=，存在x1x2x3，f（x1）=f（x2）=f（x3）
4、则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=2cosx（sinxcosx）+m（mR），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间0，内的最大值为（）求实数m的值；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（B）=l，且a+c=2，求ABC的周长l的取值范围17如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC=30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC=4，EA=3，FC=1（1）证明：EMBF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值18某学校为
5、了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间2，4的有8人（1）图中a的值为；（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望19已知正项数列an，若前n项和Sn满足8Sn=an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，
6、记bn=log2（），求b1+b2+b3+20已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点F是椭圆C1的顶点（）求C1与C2的标准方程；（）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求FPQ的面积21已知函数（aR）在其定义域内有两个不同的极值点（）求a的取值范围；（）记两个极值点分别为x1，x2，且x1x2已知0，若不等式恒成立，求的范围xx年山东省济宁市邹城一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=1，2，3，4，5，集
7、合B=x|x（4x）0，则图中阴影部分表示（）A1，2，3，4B1，2，3C4，5D1，4【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】化简B=x|x（4x）0=x0或x4，而图中阴影部分表示的集合是ARB，从而解得【解答】解：由图中阴影部分表示的集合是ARBB=x|x（4x）0=x0或x4，RB=x|0x4，集合A=1，2，3，4，5，ARB=1，2，3，4故选：A2设i为虚数单位且z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则z的虚部为（）A2B2iC2D2【考点】复数代数形式的混合运算【分析】设z=a+bi，a、bR；利用z的共轭复数是=abi，列出方程组求出a、b的值即可【解答】解：设z=a+
8、bi，a、bR；z的共轭复数是=abi，又z+=2a=4，a=2；z=a2+b2=4+b2=8，b=2；z的虚部为2故选：A3已知服从正态分布N（1，2），aR，则“P（a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分又不必要条件D充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正态分布已经二项式定理的内容进行判断即可【解答】解：若P（a）=0.5，则a=1，若关于x的二项式的展开式的常数项为3，则通项公式Tk+1=a3kx33k，由33k=0，得k=1，即常数项为=3a2=3，解得a=1或a=1，
9、即“P（a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选：A4已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）A1B1C5D5【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（2）+（2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（2）的值【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，f（2）=1，g（2）=f（2）+2=1+2=3，函数g（x）=f（x）+x是偶函数，g（2）=3=f（2）+（2），解得f（2）=5故选D5若正数a，b满足+=1，则+的最小值为（）A3B4C5D6【考点】基本不等式在最值问题
10、中的应用【分析】首先判断0，0；再由基本不等式确定最小值即可【解答】解：a0，b0， +=1；a1，b1，a+b=ab；0，0，+2=2=4；（当且仅当=，即a=，b=3时，等号成立）故选：B6执行如图所示的程序框图，如果输入的x1，3，则输出的y属于（）A0，2B1，2C0，1D1，5【考点】程序框图【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值若1x0，则不满足条件输出y=2x1（0，1，若0x3，则满足条件，此时y=log2（x+1）0，2，输出y0，2，故选：A7若实数x，y
11、满足，则z=的最小值为（）A2B3C4D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=14=3，即z=的最小值为3，故选：B8将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A24种B28种C32种D16种【考点】计数原理的应用【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理
12、可得【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，根据分类计数原理，共有4+12=16种，故选：D9如图，将绘有函数f（x）=2sin（x+）（0，）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（1）=（）A2B2C D【考点】点、线、面间的距离计算【分析】根据图象过点（0，1），结合的范围求得的值，再根据A、B两点之间的距离为=，求得T的值，可得的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（1）的值【解答】解：由函数的图象可得2sin=1
13、可得sin=，再根据，可得=再根据A、B两点之间的距离为=，求得T=6，再根据T=6，求得=f（x）=2sin（x+），f（1）=2sin（+）=2，故选：B10如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的定义，可得F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求【解答】解：因为ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF
14、2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a222a4acos120，得c2=7a2，则故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上.11（x2+）6的展开式中x3的系数是20（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 Tr+1=x123r，令123r=3，解得
15、r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：2012已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3+4（单位：cm2）【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，几何体的表面积S=12+12+22=3+4（cm2），故答案为：3+413在RtABC中，A=90，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知画出图形
16、结合向量的加法与减法法则把用表示，展开后代值得答案【解答】解：如图，=，又D为AC中点，则=故答案为：214已知P、A、B、C是球O球面上的四点，ABC是正三角形，三棱锥PABC的体积为，且APO=BPO=CPO=30，则球O的表面积为16【考点】球的体积和表面积【分析】设ABC的中心为S，球O的半径为R，ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥PABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，ABC是正三角形，设ABC的中心为S，球O的半径为R，ABC的边长为2a，APO=BPO=CPO=30，OB=OP=R，OS=，BS=
17、解得a=R，2a=R，三棱锥PABC的体积为，=，解得R=2，球O的表面积S=4R2=16故答案为：1615已知函数f（x）=，存在x1x2x3，f（x1）=f（x2）=f（x3），则的最大值为【考点】分段函数的应用【分析】先确定1x2e3，再令y=，求出函数的最大值，即可得出结论【解答】解：由题意，0lnx23，1x2e3，又=，故令y=，则y=，x（1，e），y0，x（e，e3），y0，函数在（1，e）上单调递增，在（e，e3）上单调递减，x=e时，函数取得最大值，的最大值为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=
18、2cosx（sinxcosx）+m（mR），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间0，内的最大值为（）求实数m的值；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（B）=l，且a+c=2，求ABC的周长l的取值范围【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【分析】（）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求实数m的值；（）根据余弦定理结合基本不等式的关系进行求解【解答】解：（）f（x）=2cosx（sinxcosx）+m=sin2xcos2x1+m=sin（2x）1+m，g（x）
19、sin2（x+）1+m=sin（2x+）1+m，x0，2x+，当2x+=时，即x=时，函数g（x）取得最大值+m1=，则m=1 （）g（x）=sin（2x+），且g（B）=sin（B+）=l，即sin（B+）=，0B，B+，当B+=，即B=，a+c=2，由余弦定理得b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=（a+c）23ac（a+c）2，当且仅当a=c=1时等号成立，又ba+c=2，1b2，ABC的周长l=a+b+c3，4），故ABC的周长l的取值范围是3，4）17如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC=30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC=4，EA=3，F
20、C=1（1）证明：EMBF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法【分析】（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连接FH，做出FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角【解答】解：（1）证明：EA平面ABC，BM平面ABC，EABM又BMAC，EAAC=A，BM平面ACFE，而EM平面ACFE，BMEMAC是圆O的直径，ABC=90又BAC=30，AC
21、4，AM=3，CM=1EA平面ABC，FCEA，FC平面ABCEAM与FCM都是等腰直角三角形EMA=FMC=45EMF=90，即EMMF（也可由勾股定理证得）MFBM=M，EM平面MBF而BF平面MBF，EMBF（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连接FH由（1）知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG而FCCH=C，BG平面FCHFH平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角在RtABC中，BAC=30，AC=4，由，得GC=2，又GCHGBM，则FCH是等腰直角三角形，FHC=45，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为18某学校为
22、了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间2，4的有8人（1）图中a的值为0.0375；（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由频率分布直方图的性质得能求出a（2）由频率分布直方图能估算乙
23、班学生每天学习的平均时长（3）由甲班学习时间在区间2，4的有8人，甲、乙两班学生人数相同，求出甲、乙两班学生人数都为40人，从而得在两班中学习埋单大于10小时的同学共有7人，的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（a+0.0875+0.1+0.125+0.15）2=1，解得a=0.0375（2）由频率分布直方图估算乙班学生每天学习的平均时长为：=30.05+50.15+70.35+90.35+110.1=7.6（3）甲班学习时间在区间2，4的有8人，甲班的学生人数为=40，甲、乙两班学生人数相同，甲、乙两班学生人数
24、都为40人，甲班学习时间在区间（10，12的有400.03752=3人，乙班学习时间在区间（10，12的有400.052=4人，在两班中学习埋单大于10小时的同学共有7人，的所有可能取值为0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，的分布列为： 0 1 2 3 PE=19已知正项数列an，若前n项和Sn满足8Sn=an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记bn=log2（），求b1+b2+b3+【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由8Sn=an+4an+3，得，从而得到anan1=4
25、n2，nN），由此利用a2是a1和a3的等比中项，能求出数列an的通项公式（2）由bn=log2（）=log2n，令S=b1+b2+b3+，得到S=12+222+323+（n1）2n1+n，由此利用错位相减法能求出b1+b2+b3+【解答】解：（1）正项数列an，前n项和Sn满足8Sn=an+4an+3，（n2，nN），由，得8an=（anan1）（an+an1）+4an4an1，整理，得（anan14）2an=0，（n2，nN），an是正数数列，an+an10，anan1=4，（n2，nN），an是公差为4的等差数列，由8a1=，得a1=3或a1=1，当a1=3时，a2=7，a7=27，
26、不满足a2是a1和a3的等比中项，当a1=1时，a2=5，a7=25，满足a2是a1和a3的等比中项，an=1+（n1）4=4n3（2）an=4n3，bn=log2（）=log2n，由符号表示不超过实数x的最大整数，知当2mn2m+1时，loh2n=m，令S=b1+b2+b3+=log21+log22+log23+=0+1+1+2+3+4+n1+nS=12+222+323+（n1）2n1+n，2S=122+222+323+（n1）2n+2n，得S=2+22+23+24+2n1（n1）2n1=（n1）2nn=（2n）2nn2，S=（n2）2n+n+220已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C
27、2：x2=2py（p0）的焦点F是椭圆C1的顶点（）求C1与C2的标准方程；（）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求FPQ的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，由此能求出椭圆C1的标准方程；又抛物线C2：x2=2py（p0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，由此能求出抛物线C2的标准方程（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出FPQ的面积【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意
28、有，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为又抛物线C2：x2=2py（p0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，F（0，2），p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y（II）由题意得直线PQ的斜率存在设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m212=0（*）依题意，x1，x2是方程（*）的两根，=144k212m2+480，将x1+x2和x1x2代入（*）得m2m2=0，解得m=1，（m=2不合题意，应舍去）联立，消去y整理得，x28kx+8=0，令=64k232=0，解得经检验，m=1符合要求此时，2
29、1已知函数（aR）在其定义域内有两个不同的极值点（）求a的取值范围；（）记两个极值点分别为x1，x2，且x1x2已知0，若不等式恒成立，求的范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）由导数与极值的关系知可转化为方程f（x）=lnxax=0在（0，+）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnxax有两个不同零点，从而讨论求解；（）可化为1+lnx1+lnx2，结合方程的根知1+ax1+ax2=a（x1+x2），从而可得；而，从而化简可得，从
30、而可得恒成立；再令，t（0，1），从而可得不等式在t（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可【解答】解：（）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+），方程f（x）=0在（0，+）有两个不同根；即方程lnxax=0在（0，+）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点，如右图可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0ak令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+）上有两个不同交点又，即0xe时，g（x）0，xe时，g（x）0，故g（x
31、在（0，e）上单调增，在（e，+）上单调减故g（x）极大=g（e）=；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x0时，g（x），在在x+时，g（x）0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+）上有两个不同交点，只须（解法三）令g（x）=lnxax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x0），若a0，可见g（x）0在（0，+）上恒成立，所以g（x）在（0，+）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点若a0，在时，g（x）0，在时，g（x）0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x0时，g（x），在在x+时，g（x），于是只须：g（x）极大0，即，所
32、以综上所述，（）因为等价于1+lnx1+lnx2由（）可知x1，x2分别是方程lnxax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+ax1+ax2=a（x1+x2），因为0，0x1x2，所以原式等价于又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，即所以原式等价于，因为0x1x2，原式恒成立，即恒成立令，t（0，1），则不等式在t（0，1）上恒成立令，又=，当21时，可见t（0，1）时，h（t）0，所以h（t）在t（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）0在t（0，1）恒成立，符合题意当21时，可见t（0，2）时，h（t）0，t（2，1）时h（t）0，所以h（t）在t（0，2）时单调增，在t（2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式恒成立，只须21，又0，所以1xx年7月19日
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