《高中三角函数最值问题难题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中三角函数最值问题难题.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页 共 11 页 高中三角函数最值问题难题 一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例 1：求函数 y x x x x x x x x cot |cot| |tan| tan cos |cos| |sin| sin 的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 解： （1）当x在第一象限时，有 sincostancot 4 sincostancot xxxx y xxxx （2）当x在第二象限时，有 sincostancot 2 sincostancot xxxx y xxxx （3）当x在第三象限时，有 sincostancot 0 sincos
2、tancot xxxx y xxxx （4）当x在第四象限时， sincostancot 2 sincostancot xxxx y xxxx 综上可得此函数的最大值为4，最小值为 -2. 二、直接应用三角函数的有界性（sin1, cos1xx）解题 例 1： （2003 北京春季高考试题）设M 和m分别表示函数cos1 3 x 1 y=的最 大值和最小值，则 Mm等于（ ） （A） 3 2 （B） 3 2 （C） 3 4 （D）-2 解析：由于cosyx的最大值与最小值分别为1,-1, 所以, 函数cos1 3 x 1 y= 的最大值与最小值分别为 3 2 , 3 4 , 即 Mm 3 2
3、+（ 3 4 ）=-2, 选 D. 例 2：求 3sin1 sin2 x y x 的最值（值域） 分析：此式是关于 sin x 的函数式，通过对式子变形使出现 12 sin 3 y x y 的形 式，再根据 sin1x来求解。 解： 3sin1 sin2 x y x ，即有sin23sin1sin3sin12yxyxyxxy 12 (3)sin12sin 3 y yxyx y 。因为 sin1x， 所以 22 2 12 1212 111 33 3 y yy yy y 即 22 2 12332802340yyyyyy 第 2 页 共 11 页 即 4 2 3 y，所以原函数的最大值是 4 3 ，
4、最小值是2。 三、利用数形结合 例：求 cos2 sin2 x y x 的最大值与最小值 解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点， 联 想到斜率公式 21 21 yy k xx 将原式中的 y 看作是定点( , )P x y与动点(sin,cos)Mxx 连线的斜率，而动点(sin,cos)Mxx满足单位圆 22 sincos1xx，如上图所示。 所以问题可转化为求定点(2,2)P到单位圆相切时取得的最值， 由点到直线的距离 得： min 43 3 y， max 43 3 y 四、利用三角函数的单调性法 例 1：(1996 全国高考试题 ) 当x 22 ，函数( )si
5、n3cosfxxx的最 值 (A) 最大值是 1，最小值是 1 (B) 最大值是 1，最小值是 1 2 (C) 最大值是 2，最小值是 2 (D) 最大值是 2，最小值是 1 ( )sin3cos2sin() 3 f xxxx， 因为x 22 ， 所以 5 3 x 66 ， 当 x 6 时，函数( )f x有最小值1, 最大值 2，选择 D 例 2：求 sinsin sin xx y x （1+)(3+) = 2+ 的最值及对应x的集合 分 析 ： 观 察 式 子 可 知 它 并 不 能 直 接 求 出 ， 须 通 过 变 形 为 1 sin2) sin2 x x y （，但也不符合用平均不等
6、式求，考虑用单调性。 解 答 ： s i ns i n1 s i n2 ) s i ns i n2 xx yx xx （1+)(3+) =（ 2+ 令 sin2xt ， 则 x y M2 O M 1 P ( 2 , 2 ) 第 3 页 共 11 页 1 ( )yf tt t ，且 13t， 设 1212 10, tan 0, tan 0 222222 A BCABC 所以、 均为锐角 . 则 ) 222 CAB 且 = -( 2 第 9 页 共 11 页 所以 tantan 1 22 tancot) 222 tan)tantan 2222 AB CAB ABAB 1- =( ( tantant
7、antantantan1 222222 ABBCAC 可得 + tantantan 222 ABC2 所以 () =tantan)(tantan)(tantan) 222222 ABBCAC ( 3 tantantantantantan 1 222222 327 ABBCAC + ， 当且仅当 3 ABC时等号成 立， 故tantantan 222 ABC 3 的最大值是 9 说十一、利用导数求函数的最值 例：已知(0,) 2 x，求 6 32 ( ) sincos f x xx 的最小值。 解： 22 6 3 cos2sin ( ) sincos xx fx xx ，令 ( ) 0fx得：
8、3 tan3 3tan3xx， 而(0,) 2 x，则 3 x，而当 0 3 x时， ( )0fx；当 32 x时， ( ) 0fx 所以当 3 x时， min ( )16f x。 例：求函数 sin 2sin x y x 的最大值和最小值。 1 运 用 三 角 函 数 的 有 界 性 ， 即 sin1x来 求 解 ， 即 将 原 式 变 形 为 sin2 sin 2sin1 xy yx xy ， 所 以 变 为 2 1 1 y y 来 进 行 求 解 即 可 。 即 有 2 2 41 1(1)(31)11 (1)3 y yyy y ，即 max 1 ,1 3 min yy。 2将函数式化为部
9、分分式，使分子出现常数也容易考虑出它的最值， 即将原式变形为 2 1 2sin y x 。 当 sin1x时，即2() 2 k xkkz 时，有 max 21 1 213 y。当 sin1x时， 第 10 页 共 11 页 即2() 2 k xkkz 时，有 min 2 11 21 y。 3将函数式直接变形为 1 2 1 sin y x ，其实求法就跟上一题一样。4考虑 万能代换，使转化为代数函数的求最值问题。令tan 2 x t，则有 2 2 sin 1 t x t ，所 以 2 2 2 2 1 2 1 2 1 t t t y t tt t ，即 2 (1)0ytyty此关于 t 的二次方程
10、应有实根， 故 22 (1)40yy，解之得 1 1 3 y，故有 max 1 ,1 3 min yy 5将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子 2 1 t y tt 化为 1 (0) 1 1 yt t t ，当 t 为正值时，有 111 1 123 1 y t t 。所以 max 1 3 y， 当 t为负值时，有 11 1 1 1 ( 2) 1 y t t 。所以1 min y 综上所述：三角函数最问题可归结以为几大类型： 1可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两 种类型： 可 将 函 数 式 化 为s i n ()yAx的 形 式 求 解 的 问 题 ， 形
11、 如 sin sin axb y cxd 或者 22 sinsincoscosyaxbxxcx的函数适用； 可 将 函 数 式 化 为sin()( )xfx的 形 式 求 解 的 问 题 ， 形 如 cos sin axb y cxd 或者形如 sin cos axb y cxd 的函数适用； 2 可转化为求二次函数 2 yatbtc在闭区间1,1上的最值问题， 典 型 的 是 ： 形 如 2 sinsin(0)yaxbxc a的 最 值 ； 形 如 (sincos)sincosyAxxBxx的最值； 3 转 化 为 可 利 用 均 值 不 等 式 求 解 的 最 值 问 题 ， 例 如 函 数 sin() sin a yxaR x 的最值。 4某些带约束（隐含）条件的最值。 5利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等） 6含参数的逆向思考问题。 第 11 页 共 11 页