《高中数学“总体分布估计”教案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学“总体分布估计”教案.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页 共 17 页 课题： 总体分布估计 教学目的： 1了解当总体中的个体取不同数值很少时，可用频率分 布表或频率分布条形图估计总体分布，并会用这两种方式估 计总体分布； 了解当总体中的个体取不同数值较多，甚至无限时， 可用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布，并会用这 两种方式估计总体分布 教学重点： 用样本的频率分布估计总体分布 教学难点： 频率分布表和频率分布直方图的绘制 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析 ： 统计学中有两个核心问题，一是如何从整体中抽取样 本？二是如何用样本估计总体？经过前面的学习，我们已经 了解了一些常用的抽样方法本
2、节课，我们在初中学过样本 的频率分布的基础上，研究总体的分布及其估计 教学过程 ： 第 2 页 共 17 页 一、复习引入： 1. 简单随机抽样： 设一个总体的个体数为N如果通 过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个 体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 N 1 ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 N n ； 简 单随机抽样的特点是， 逐个抽取，且各个个体被抽到的概率 相等；简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平 性，是其他更复杂抽样方法的基础 （4）.
3、 简单随机抽样的 特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等 概率抽样 2. 抽签法：先将总体中的所有个体 （共有 N个）编号 （号 码可从 1 到 N） ，并把号码写在形状、 大小相同的号签上 （号 签可用小球、卡片、纸条等制作） ，然后将这些号签放在同 一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签， 连续抽取 n 次，就得到一个容量为n 的样本 适用范围：总体的个体数不多时 优点：抽签法简便易行， 当总体的个体数不太多时适宜 第 3 页 共 17 页 采用抽签法 3. 随机数表法 ： 随机数表抽样“三步曲” ：第一步，将 总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获
4、 取样本号码 4.系统抽样 : 当总体中的个体数较多时，可将总体分成均 衡的几个部分， 然后按预先定出的规则， 从每一部分抽取一 个个体，得到需要的样本， 这种抽样叫做系统抽样 系统抽 样的步骤： 采用随机的方式将总体中的个体编号为简便 起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证 号、街道上各户的门牌号， 等等为将整个的编号分段 （即 分成几个部分），要确定分段的间隔k 当 N n （N 为总体中的 个体的个数， n 为样本容量）是整数时，k= N n ; 当 N n 不是整 数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个 数N能被 n 整除，这时 k= N n . 在第一段用
5、简单随机抽样 确定起始的个体编号 l按照事先确定的规则抽取样本 （通常是将l加上间隔 k，得到第 2 个编号l+k, 第 3 个编号 l+2k，这样继续下去，直到获取整个样本） 系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与 简单随机抽样的联系在于： 将总体均分后的每一部分进行抽 第 4 页 共 17 页 样时，采用的是简单随机抽样； 与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它 是客观的、公平的 总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它 们的比值作为系统抽样的间隔； 当总体中的个体数不能被样 本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个 体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽
6、样 5.分层抽样 :当已知总体由差异明显的几部分组成时， 为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部 分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分 层抽样，所分成的部分叫做层 6. 不放回抽样和放回抽样: 在抽样中，如果每次抽出个 体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样 ； 如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为 放回抽样 随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样 7. 分布列: x1x2xi P P1P2Pi 第 5 页 共 17 页 分布列的两个性质：Pi0，i1， 2， ； P1+P2+ =1 二、讲解新课： 频率分布表或频率分布条形图 历史上有人通过
7、作抛掷硬币的大量重复试验，得到了 如下试验结果： 试验结果频数频率 正 面 向 上 (0) 3612 4 0.501 1 反 面 向 上 (1) 3596 4 0.498 9 抛 掷 硬 币试 验 的 结 果 的 全 体 构成 一 个 总 体，则上表就是从总体中抽取容量为72088 的相当大的样本的频率分布表尽管这里 的样本容量很大，但由于不同取值仅有2 个（用0 和 1 表示），所以其频率分布可 以用上表和右面的条形图表示其中条形图是用高来表 示取各值的频率 试验结果概率 第 6 页 共 17 页 说明： 频率分布表在数量表 示上比较确切，而频率分布条形图 比较直观，两者相互补充，使我们 对
8、 数 据的 频 率 分布 情 况 了解 得 更 加清楚各长条的宽度要相同； 相邻长条之间的间隔要适当 当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率值就成 为相应的概率，得到右表，除了抽样造成的误差，精确地 反映了总体取值的概率分布规律 这种整体取值的概率分布 规律通常称为 总体分布 . 说明：频率分布与总体分布的关系： 通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概 率分布 . 研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分 布、频率分布 . 2.总体分布： 总体取值的概率分布规律 在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频 率分布去估计总体分布一般地，样本容量越大，这种估计 正面向上 (记为 0
9、) 05 反面向上 (记为 1) 05 第 7 页 共 17 页 就越精确 3. 总体密度曲线 : 样本容量越大， 所分组数越多， 各组的 频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量 无限增大， 分组的组距无限缩小， 那么频率分布直方图就会 无限接近于一条光滑曲线, 这条曲线叫做 总体密度曲线 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲 线，可求出总体在区间 (a，b) 内取值的概率等于总体密度曲 线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积 三、讲解范例： 例 1为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查 了地区内 100名年龄为 17.5
10、 岁18岁的男生的体重情况 , 结 果如下 ( 单位:kg) 56. 5 69. 5 65 61. 5 64. 5 66. 5 64 64. 5 76 58. 5 第 8 页 共 17 页 72 73. 5 56 67 70 57. 5 65. 5 68 71 75 62 68. 5 62. 5 66 59. 5 63. 5 64. 5 67. 5 73 68 55 72 66. 5 74 63 60 55. 5 70 64. 5 58 64 70. 5 57 62. 5 65 69 71. 5 73 62 58 76 71 66 63. 5 56 59. 5 63. 5 65 70 74.
11、5 68. 5 64 55. 5 72. 5 66. 5 68 76 57. 5 60 71. 5 57 69. 5 74 64. 5 59 61. 5 67 68 63. 5 58 59 65. 5 62. 5 69. 5 72 64. 5 75. 5 68. 5 64 62 65. 5 58. 5 67. 5 70. 5 65 66 66. 5 70 63 59. 5 试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总 第 9 页 共 17 页 体分布作出估计 解: 按照下列步骤获得样本的频率分布. (1) 求最大值与最小值的差 . 在上述数据中，最大值是 76， 最小值是 55，它们的
12、差 ( 又称为极差)是 7655=21)所得的 差告诉我们，这组数据的变动范围有多大. (2) 确定组距与组数 . 如果将组距定为2，那么由21 2=10.5，组数为 11，这个组数适合的 . 于是组距为 2，组数 为 11. （3）决定分点 . 根据本例中数据的特点， 第 1 小组的起点 可取为 54.5，第 1 小组的终点可取为56.5，为了避免一个 数据既是起点， 又是终点从而造成重复计算， 我们规定分组 的区间是“ 左闭右开 ”的. 这样，所得到的分组是 54.5，56.5） ， 56.5，58.5） ， 74.5，76.5）. （4）列频率分布表 , 如表频率分布表 分组频数累计频数
13、频率 54.5， 56.5） 2 0.02 56.5， 58.5） 6 0.06 第 10 页 共 17 页 58.5， 60.5） 10 0.10 60.5， 62.5） 10 0.10 62.5， 64.5） 14 0.14 64.5， 66.5） 16 0.16 66.5， 68.5） 13 0.13 68.5， 70.5） 11 0.11 70.5， 72.5） 8 0.08 72.5， 74.5） 7 0.07 74.5， 76.5） 3 0.03 合计100 1.00 第 11 页 共 17 页 （5）绘制频率分布直方图 . 频率分布直方图如图所示 体重 频率 /组距 54.5 6
14、4.566.562.560.5 58.556.5 68.5 70.572.574.5 76.5 由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这 个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大 小. 在反映样本的频率分布方面，频率分布表比较确切，频 率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用. 在得到了样本的频率后， 就可以对相应的总体情况作出 估计. 例如可以估计， 体重在（64.5 ，66.5 ）kg 的学生最多， 约占学生总数的16% ；体重小于 58.5kg 的学生较少，约占 8% ；等等 例 2对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： 寿命 （） 100 200 300 300
15、400 400 500 第 12 页 共 17 页 200 500 600 个数20 30 80 40 30 出频率分布表； （）画出频率分布直方图和累计频率分布图； （）估计电子元件寿命在100400以内的概率； （）估计电子元件寿命在400以上的概率； （）估计总体的数学期望值 解： （） 寿命频数频率累计频 率 100 200 20 0.1 0.10 200 300 30 0.15 0.25 300 400 80 0.40 0.65 400 500 40 0.20 0.85 500 30 0.15 1 组距 频率 寿命300 200 100 500 400 600 频率分布直方图 第 1
16、3 页 共 17 页 600 合计200 1 （）频率分布直方图如右和累计频率分布图如下 （）频率分布图可以看出，寿命在100400的电子 元件出现的频率为0.65， 所以我们估计电子元件寿命在100 400的概率为 0.65 （）由频率分布表可知，寿命在400以上的电子元件出 累 计 频率 寿命300 200 100 500 400 600 1 0.20 0.40 0.10 0.80 0.60 0 第 14 页 共 现的频率为 0.20+0.15 0.35，故我们估计电子元件寿命在400以上 的概率为 0.35 （）样本的期望值为 3655.82901405.371515.0 2 60050
17、0 20.0 2 500400 40.0 2 400300 15.0 2 300200 10.0 2 200100 所以，我们估计总体生产的电子元件寿命的期望值（总体均 值）为 365 四、课堂练习 ： 1 .为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30 的样 本，检测结果为一级品5 件，二级品 8 件，三级品 13 件， 次品 14 件 列出样本频率分布表； 画出表示样本频率分布的条形图； 根据上述结果， 估计此种商品为二级品或三级品的概率约 是多少？ 解：样本的频率分布表为 产品频数频率 第 15 页 共 17 页 一级 品 5 0.17 二级 品 8 0.27 三级 品 13 0.43 次
18、品4 0.13 样本频率分布的条形图如右： 此种产品为二极品或三极品的概率为0.27+0.43=0.7 2.如下表： 分组频数 频 率 分组频数 频 率 10.75， 10.85) 3 11.25， 11.35) 20 10.85， 10.95) 9 11.35， 11.45) 7 10.95， 11.05) 13 11.45， 11.55) 4 11.05，16 11.55，2 第 16 页 共 17 页 11.15) 11.65) 11.15， 11.25) 26 合计100 完成上面的频率分布表 根据上表，画出频率分布直方图 根据上表， 估计数据落在 10.95 ，11.35) 范围内的
19、概率约 为多少 ? 答案： 略 数 据 落 在 10.95， 11.35)范 围 的 频 率 为 0.13+0.16+0.26+0.20=0.75 落在10.95 ，11.35) 内的概率约为 075 五、小结：用样本的频率分布估计总体分布，可以分成两 种情况讨论： 当总体中的个体取不同数值很少 （并不是总体中的个 数很少）时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应 的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图； 当总体中的个体取不同值较多、甚至无限时，对其频 率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识 它们的不同之处在于： 前者的频率分布表中列出的是几 第 17 页 共 17 页 个不同数值的频率， 相应的条形图是用其高度来表示取各个 值的频率；后者的频率分布表列出的是在各个不同区间内 取 值的频率，相应的直方图是用图形面积的大小来表示在各个 区间内取值的频率 六、课后作业 ： 七、板书设计 （略） 八、课后记：