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1、1 高中数学三次函数的所有题型及解答总计 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以 三次函数为例来研究根的情况，设三次函数)0()( 23 adcxbxaxxf 其导函数为二次函数:)0(23)( 2/ acbxaxxf， 判别式为：= )3(4124 22 acbacb，设0)( / xf的两根为 1 x、 2 x，结合函数草图易得： (1) 若03 2 acb，则0)(xf恰有一个实根； (2) 若03 2 acb, 且0)()( 21 xfxf，则0)(xf恰有一个实根； (3) 若03 2 acb, 且0)()( 21 xfxf，则0)(x
2、f有两个不相等的实根； (4) 若03 2 acb, 且0)()( 21 xfxf，则0)(xf有三个不相等的实根. 说明 :(1)(2)0)(xf含有一个实根的充要条件是曲线)(xfy与x轴只相交一次， 即)(xf在 R上为单 调函数（或两极值同号），所以03 2 acb（或03 2 acb，且0)()( 21 xfxf）; (3)0)(xf有两个相异实根的充要条件是曲线)(xfy与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以 03 2 acb，且0)()( 21 xfxf; (4)0)(xf有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(xfy与x轴有三个公共点，即)(xf有一个极大 值，一个极小值，且两
3、极值异号. 所以03 2 acb且0)()( 21 xfxf. 【例题 1】：设函数13- 3 1 )( 23 +=xxxxf，求函数)(xf的单调区间。 解析：)(xf的定义域为 R，3-2)( 2 xxxf+= 03-2)( 2 +=xxxf?），或（1,-3)- (+x,此时为)(xf的单调递增区间； 03-2)( 2 +=xxxf?），或（1,-3)- (+x,此时为)(xf的单调递增区间； 2 03-2)( 2 1, 12 xx ,即 (,)-1+m 或（ ， ） 为单调递增， -m,-1（） 为单调递减； （2）m=1, 12 xx =,即0)( x f，所以函数( )f x在R上
4、单调递增 ; （3）m1,m, 1 (, 1)-,) m 或（ 单调递减， 1 ( 1,) m 单调递增； 10m, 12 xx , 1 (,1)-,) m 或（ 单调递增， 1 ( 1,) m 单调递减； 综上可知，m0m, 1 (, 1)-,) m 或（ 单调递增， 1 ( 1,) m 单调递减； 【老吴帮你解后反思】：这道题目与 【变式 4】区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨 论的第一个分界点为m=0， 然后在讨论两个根的大小， 但是一定注意导函数图像的开口方向， 这是易错点。 【变式 6】 ：设函数cxxmxxf+= 23 2 1 3 1 )(，求函数)(xf的单调区间。 提示
5、：求导后，分析二次函数的最高幂系数不确定，所以要讨论 m 与 0 的关系， 在m0 的情况下，讨论的正负。 【例题 2】：设函数 32 1 ( )31 3 f xxxx ，求 ( )f x 的极值。 解析：定义域为 xR， 依据题意可知 2 ( )23fxxx ， 令 2 ( )230fxxx ， 12 1,3xx x (, 1) -1 ( 1,3) 3 (3,) ( )fx ( )fx 0 0 ( )fx 0 ( )f x 单调递增极大值 8 ( 1) 3 f 单调递减极小值 (3)8f 单调递增 5 附图： 【例题 3】：设函数 32 1 ( )31 3 f xxxx ，求 ( )f x
6、在0,4的最值。 解析：定义域为 xR，依据题意可知 2 ( )23fxxx ，令 2 ( )230fxxx ， 1 1x （舍） 2 3x x 0 (0,3) 3 (3,4) 4 ( )fx( )fx 0 ( )f x(0)1f 单调递减极小值 (3)8f 单调递增7 (4) 3 f 通过表格可以发现，最大值为 (0)1f ，最小值 (3)8f 【老吴帮你解后反思】：本题主要注意求出导数值为零点时， 1 1x 不在给定范围。 附图： 【变式 1】 ：【2005高考北京 文第 19题改编】 已知函数 f ( x)=x 33x29xa, 若 f (x) 在 区间 2，2 上的最大值为 20，求它
7、在该区间上的最小值 解析：依据题意， 2 ( )369fxxx ， ( )0fx ， 12 1,3xx （舍） 6 x -2 ( 2, 1) -1 ( 1,2) 2 ( )fx( )fx 0 ( )f x ( 2)2fa 单调递减 ( 1)5fa 单调递增 (2)22fa 由表可知 f ( x) 的最大值为 (2)22fa =20，所以 a =-2.f ( x)的最小值为 ( 1)5fa =-7. 附图： 【变式 2】 ： 【2012 高考北京 文第 19 题改编】已知函数 2 ( )1(0)f xaxa， 3 ( )g xxbx。 当3,9ab时，若函数( )( )f xg x在区间 ,2k
8、上的最大值为28，求k的取值范围。 解析： 依据题意， 32 ( )( )( )391h xf xg xxxx ， 2 ( )369h xxx ， 12 ( )0,1,3h xxx x (, 3) -3 ( 3,1) -1 ( 1,2) 2 ( )fx( )fx 0 0 ( )fx 0 ( )f x 单调递增极大值 ( 3)28f 单调递减极小值 ( 1)12f 单调递增 (2)3f 结合函数单调性可知，要使 ( )h x 最大值为28，必须使 3k 。 【老吴帮你解后反思 】 ： 在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极 值大致绘出函数图像（如下图), 通过图像一目了然就可以观察出 3
9、k 。 7 【例题 4】：设函数 32 1 ( )31 3 f xxxx ， ( )f x 在0,4的满足 ( )f x c恒成立，求 c 的取值范 围。 解析：定义域为 xR，依据题意可知 2 ( )23fxxx ，令 2 ( )230fxxx ， 1 1x （舍） 2 3x x 0 (0,3) 3 (3,4) 4 ( )fx ( )fx 0 ( )f x(0)1f 单调递减极小值 (3)8f 单调递增7 (4) 3 f 通过表格可以发现，最大值为 (0)1f ，最小值 (3)8f 在0,4 的满足 ( )f x c恒成立，必须使 c 1. 【变式】 ：设函数 321 ( )31 3 f x
10、xxx ， ( )f x 在0,4的满足 ( )f x c恒成立，求 c 的取值范围。 8 解析：定义域为 xR，依据题意可知 2 ( )23fxxx ，令 2 ( )230fxxx ， 1 1x （舍） 2 3x x 0 (0,3) 3 (3,4) 4 ( )fx ( )fx 0 ( )f x(0)1f 单调递减极小值 (3)8f 单调递增7 (4) 3 f 通过表格可以发现，最大值为 (0)1f ，最小值 (3)8f 在0,4 的满足 ( )f x c恒成立，必须使 c 8. 【老吴帮你解后反思 】 ： 此类题目为恒成立问题，可以总结为 ( )f x c恒成立， 满足 min( ) fxc
11、 ； ( )f x c恒成立，满足 max( ) fxc 。 【例题 5】：【2014 高考北京文第20 题改编】已知函数 3 ( )23f xxx . 若过点(1, )Pt存在 3 条直线与曲线( )yf x相切，求 t 的取值范围； 方法一： 9 方法二： 32 00 463xxt ，设 32 ( )463g xxx ， ( )h xt ，则“过点(1, )Pt存在 3 条直线与曲 线( )yf x相切”等价于“ ( )( )yg xyh x与 图像有三个交点” 。g(x)12x 212x12x(x 10 1)当 x 变化时， g(x)与 g(x)的变化情况如下： x (， 0)0(0，1
12、)1(1， ) g(x)00 g(x)单调递增3 单调递减 1单调递增 所以， g(0)3 是 g(x)的极大值， g(1)1 是 g(x)的极小值 结合图像知，当y=g(x)与 ( )yh x 有 3 个不同交点时，有1-1 或 t0, 令( )0fx，得 -2x0, f(x) 的单调递增区间是（-，-2）和（ 0，+） ，单调递减区间是（-2，0） 。 （）解法一：由（）知，f(x)= 32 1 3 xxb， f(-2)= 4 3 b为函数 f(x)极大值， f(0)=b 为极小值。 函数 f(x) 在区间 -3,3 上有且仅有一个零点， ( 3)0 (0)0 f f 或 (3)0 ( 2
13、)0 f f 或 ( 3)0 (3)0 f f 或 ( 2)0 (3)0 f f 或 ( 3)0 (0)0 f f ， 即 180 4 0 3 b b ， 4 18 3 b，即 b 的取值范围是 4 18,) 3 。 解法二：由（）知，f(x)= 321 3 xxb，令 321 3 xxb=0， 321 ( ) 3 h xxx， ( )g xb ， （以下略 解）求出 321 ( ) 3 h xxx在-3,3的最值与单调区间，结合函数图像即可求解。 附图： 12 【例题 6】：设 323 ( )131 2 f xxaxax若函数( )f x在区间1 , 4内单调递减，求a的取值 范围； 【解析
14、】 2 331331fxxaxaxxa函数fx在区间1 , 4内单调递减， (4)0f，4 ,a 【变式】已知函数13 3 1 ( 223 xmmxxxf）(0)m. 若函数)(xf在区间(21,1)mm上单调递 增，求实数m的取值范围 解析 由于0m，)(xf，)(xf的变化情况如下表： x )3,(m m3 ),3(mm m ),(m )( xf + 0 0 + )(xf 单调增极大值单调减极小 值 单调增 所以函数)(xf的单调递增区间是(, 3 )m和(,)m. 【例题 7】已知函数 3221 ( )(1)( ,) 3 f xxaxaxb a bR当0a时，若( )f x在区间( 1,
15、1)上不单 调，求a的取值范围 解析： 因为函数( )f x在区间( 1,1)不单调，所以函数( )fx在( 1,1)上存在零点而( )0fx的 两根为1a，1a，区间长为2，在区间( 1,1)上不可能有 2 个零点所以( 1)(1)0ff， 即 2( 2)(2)0aaa 2 0a，(2)(2)0,22aaa又0a，( 2,0)(0, 2)a 【例题 8】axxxxf2 2 1 3 1 )( 23 ， 若)(xf在), 3 2 (上存在单调递增区间，求a的取值范围； 13 解析： )(xf在),( 3 2 上存在单调递增区间 【例题 9】已知函数 322 ( )2(2)1 3 f xxxa x
16、，其中0a求( )fx在区间2,3上的最小值 解：方程( )0fx的判别式80a， 令( )0fx，得 1 2 1 2 a x，或 2 2 1 2 a x ( )f x和( )fx的情况如下： x 1 (,)x 1 x 12 (,)xx 2 x 2 (,)x ( )fx 00 ( )f x 故( )f x的单调增区间为 2 (,1) 2 a ， 2 (1,) 2 a ；单调减区间为 22 (1,1) 22 aa 当02a时， 2 2x，此时( )f x在区间(2,3)上单调递增， 所以( )f x在区间2,3上的最小值是 7 (2)2 3 fa 当28a时， 12 23xx，此时( )f x在区间 2 (2,)x上单调递减，在区间 2 (,3)x上单调 递增， 所以( )f x在区间2,3上的最小值是 2 52 () 33 aa f xa 当8a时， 12 23xx，此时( )f x在区间(2,3)上单调递减， 所以( )f x在区间2,3上的最小值是(3)73fa 14 综上，当02a时，( )f x在区间2,3上的最小值是 7 2 3 a；当28a时，( )f x在区间2,3上的 最小值是 52 33 aa a；当8a时，( )f x在区间2,3上的最小值是73a