高中数学不等式部分习题类型及解法.pdf

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1、高中数学不等式部分习题类型及解法 一复习目标： 1在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌 握其它的一些简单不等式的解法通过不等式解法的复习，提高学生分析问 题、解决问题的能力以及计算能力； 2掌握解不等式的基本思路， 即将分式不等式、 绝对值不等式等不等式， 化归为整式不等式 (组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、 数学归纳法等 )，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法 )证明不等式的有 关问题； 4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思 想方法证明不等式的能力； 5能较

2、灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问 题 6通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、 立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通， 从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想 解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识 二考试要求： 1理解不等式的性质及其证明。 2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数的定理，并会简单的应用。 3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4掌握简单不等式的解法。 5理解不等式 |a|-|b| |a+b|a|+|b| 。 。 三教学过程： （）基础

3、知识详析 1解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等 式变形的理论依据，方 程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机 地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之 一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构 造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含 有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰 2整式不等式 (主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础， 利用不等式的性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不 等式的基本思想， 分类、换元、数形

4、结合是解不等式的常用方法方程的根、 函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起 来，相互转化和相互变用 3在不等式的求解中， 换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元， 可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、 形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加 明晰通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确 的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用 4比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法， 比较法的一般步 骤是：作差 (商)变形 判断符号 (值) 5证明不等式的方法灵活

5、多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析 综合能力、正逆思维 等，将会起到很好的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式 的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算， 将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反 之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等 式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时 往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的 6证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳 法仍是证明不等式的 基本方法要依据题设、 题断的结构特点、 内在联系，选择适

6、当的证明方法， 要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点 7不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的 应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们 将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时， 要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结 为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中 学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函 数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最 小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可

7、归结为不 等式的求解或证明。 8不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类： 一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利 用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条 件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用 题的基本步骤： 10审题，20建立不等式模型， 30解数学问题， 4 0 作答。 9注意事项： 解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次 不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。 解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分 类讨论思想的录活运用。 不等式证明方法有多

8、种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意 在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时 要注意调整放缩的度。 根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 （）高考数学不等式综合题选 1函数) 1(log 2 2 1 xy的定义域为（） A2, 11,2B)2, 1() 1,2( C2, 11, 2D)2, 1()1,2( 答案：A 2不等式311x的解集为（） A2, 0B)4 ,2(0, 2C0 ,4D)2, 0(2,4 答案：D 3设函数 1,14 1,)1( )( 2 xx xx xf，则使得1)(xf的自变量x的取值范围为 （） A10, 02,B1 ,

9、02, C10, 12,D10, 10,2 答案：A 4 某村计划建造一个室内面积为800 2 m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左 右 两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。 当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是 多少？ 分析：本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识 和方法解决问题的能力 . 解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为 b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积).2(2808824)2)(4(baababbaS 所以).(64824808 2 mabS 当).(648,)(20),(40,2 2 mSmb

10、maba 最大值 时即 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜的种植面积 最大，最大种植面积为648m2. 5设集合 P=1，2，3，4 ，Q=Rxxx, 2，则 PQ 等于 （） A1 ，2 B 3 ，4 C1 D -2，-1，0，1，2 答案：A 6 函 数13)( 3 xxxf在 闭 区 间 -3 ， 0 上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 是 （） A1，-1 B1，- 17 C 3 ， -17 D9，-19 答案：C 7设函数 )( 1 )(Rx x x xf，区间 M=a，b(a0 的解集是 _. 答案： ),3()2,( 9已知函数)(Rxxf满足

11、下列条件：对任意的实数x1，x2都有 )()()()( 2121 2 21 xfxfxxxx 和 2121 )()(xxxfxf，其中是大于 0 的常数 . 设实数 a0，a，b 满足 0)( 0 af和)( afab ()证明1，并且不存在 00 ab，使得0)( 0 bf； ()证明 2 0 22 0)(1()(aaab； ()证明 222 )()1()(afbf. 分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决 问题的能力。 x - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 - 6 - 4 0 6 证法一： （I）任取则由, 2121 xxRxx)(

12、)()()( 2121 2 21 xfxfxxxx 和|)()(| 2121 xxxfxf 可知 2 2121212121 2 21 |)()(|)()()()(xxxfxfxxxfxfxxxx， 从而1. 假设有则由使得,0)(, 000 bfab式知 .0)()()()(0 0000 2 00 矛盾bfafbaba 不存在.0)(, 000 bfab使得 （II）由)(afab 可知 22 0 2 0 2 0 2 0 )()()(2)()()(afafaaaaafaaab 由和0)( 0 af式，得 2 0000 )()()()()()(aaafafaaafaa 由0)( 0 af和式知，

13、 2 0 2 0 2 )()()()(aaafafaf 由、代入式，得 2 0 22 0 22 0 2 0 )()(2)()(aaaaaaab 2 0 2 )(1(aa （III ）由式可知 22 )()()()(afafbfbf 22 )()()()(2)()(afafbfafafbf 22 )()()(2)(afafbf ab ab（用式） 222 )()()()( 2 )(afafbfabaf 2222 )()( 2 )(afabaf（用式） 22 22222 )()1 ( )()(2)( af afafaf 证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数, 2100 xxxbaba以及它们的

14、抽象函数值 (*)f。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解 决问题的关键就在于“消元”把题设条件及欲证关系中的多个参数量转 化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难 唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。 题 设 中 两 个 主 要条 件 是 关 于 21 xx与)()( 21 xfxf的 齐 次 式 。而 点 )(,( 11 xfx、)(,( 22 xfx是函数图象上的两个点， 2121 /)()(xxxfxf是连接这两 点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借 助斜率进行“整体消元” 。 设 21,x x为

15、不相等的两实数，则0| ,0)( 21 2 21 xxxx由题设条件可得： 21 21 )()( 0 xx xfxf 和1| )()( | 21 21 xx xfxf 。 令 21 21 )()( xx xfxf k， 则对任意相异实数 21,x x，有k0及1| k，即10k。 由此即得 1；又对任意 21 xx有0k，得函数)(xf在 R 上单调增， 所以 函数)(xf是 R 上的单调增函数。 如果 00 ab， 则)()( 00 afbf， 因为0)( 0 af， 所以0)( 0 bf。 即不存在 00 ab， 使得0)( 0 bf。于是， （）的结论成立。 考虑结论（）： 因为 )(a

16、fab，故原不等式为 2 0 22 0 )(1()(aaafaa； 当 0 aa时，左右两边相等； 当 0 aa时，0)( 2 0 aa，且0)( 0 af，则原不等式即为： 2 2 0 2 00 1 )( )()( aa afafaa ， 令 0 0) ()( aa afaf k，则原不等式化为 22 1)1(k，即为kk2)1( 2 。 因为10k，则kk 2 ，所以kk2 2 成立，即（）中结论 成立。 再看结论（）： 原不等式即0)()()( 2222 afafbf， 即0)()(2)()()()( 22 afafafbfafbf，注意到)(afab，则 )(afab，则原不等式即为0

17、)(/ )(2)()()()( 2 ababafbfafbf 即 01 2)()( )()( ab afbf ab afbf ，令 ab afbf k )()( ，则原不等式即化为 01)/2(kk，即kk2 2 ，因为10k，则kk 2 ，所以 kk2 2 成立，即（）的结论成立。 在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较 大。尤其是（）与（） ，许多尖子学生证明了（）的结论而不能解决 （） 。 借助斜率 k“整体消元”的想法把（） 、 （）中的不等关系都转化为相同 的不等关系kk2 2 ，然后由条件10k推证，有独到之处。 （）范例分析 b)M，且对 M 中的其它元素

18、 (c，d)，总有 ca，则 a=_ 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理 解 “对 M 中的其它元素 (c， d)， 总有 ca” ？M 中的元素又有什么特点？ 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3) |y-1|+(y+3) (2)当 1y3 时， 所以当 y=1 时，xmin=4 说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后 结合条件，揭示其数学实质即求集合M 中的元素满足关系式 例 2解关于x的不等式： 0 9 2 2 a a axx 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键 不是对参数a进行讨论

19、，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两 个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当 029929 222 aaxx ax aaxx ax ax即时，不等式可转化为 a b xa 173 02992)( 222 aaxx ax axaax ax ax即时不等式可化为当 a aa ax aa x 6 173 , 3 2 3 ,( 3 2 3 故不等式的解集为 或 。 例 3 己知三个不等式：xx542 1 23 2 2 xx x 012 2 mxx (1)若同时满足、的x值也满足，求 m 的取值范围； (2)若满足的 x值至少满足和中的一个，求m 的取值范围。

20、分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数 形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的x值的满足的充要条件 是：对应的方程的两根分别在0,和), 3内。不等式和与之对应的方程 及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系 它们之间的内在关系。 解：记的解集为 A，的解集为 B，的解集为 C。 解得 A=（-1，3） ；解得 B=) 3, 2() 1 ,0BA,4 ,2() 1 ,0 （1）因同时满足、的x值也满足， ABC 设12)( 2 mxxxf，由)(xf的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或 等于 3 时，即可满足 3 17 0173 01

21、 0)3( 0)0( m mf f BA即 （2）因 满 足 的x值 至 少 满 足 和 中 的 一 个 ， 4, 1(,BABAC而因 此0124, 1( 2 mxxC方程小根大于或等于 -1，大根小于或等于 4，因而 4 4 1 1 4 31 , 0314)4( 01) 1( m mmf mf 解之得 说明：同时满足的x 值满足的充要条件是： 对应的方程 2x 2 +mx-1=0 的两根分别在 (-，0)和3，+)内，因此有 f(0)0 且 f(3)0，否则不能对 AB 中的所有 x 值满足条件不等式和与之对应的方程及图象是有着密不 可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之

22、间的内在关 系 例 4.设等差数列 a n的首项 a10 且 Sm=Sn(mn)问：它的前多少项的和 最大？ 分析:要求前 n 项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列 解:设等差数列 a n的公差为 d，由 Sm=Sn得 ak0，且 ak+10 (kN) 说明： 诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)正确列出不等式 (组)，并 分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键 例 5 若二次函数 y=f(x) 的图象经过原点，且 1f(-1)2， 3f(1)4， 求 f(-2) 的范围 分析：要求 f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式 (组)由于 y=f(x) 是二

23、次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式， 然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式 (组)，即可求解 解：因为 y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是 解法一(利用基本不等式的性质 ) 不等式组 ()变形得 ()所以 f(-2)的取值范围是 6，10 解法二(数形结合 ) 建立直角坐标系 aob，作出不等式组 ()所表示的区域， 如图 6 中的阴影 部分因为 f(-2)=4a-2b，所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系 如图 6， 当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2，1)，B(3，1)时，分别取得 f

24、(-2)的最小值 6， 最大值 10即 f(-2)的取值范围是： 6f(-2)10 解法三(利用方程的思想 ) 又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1) ，而 1f(-1)2，3f(1)4， 所以33f(-1)6 +得 43f(-1)+f(1) 10，即 6f(-2)10 说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解： 2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11 (2)对这类问题的求解关键一步是，找到 f(-2)的数学结构， 然后依其数学 结构特征，揭示其代数的、 几何的本质， 利用不等式的基本性质、 数形结合、 方程等数学思想方法，从不同角度去解决同

25、一问题若长期这样思考问题， 数学的素养一定会迅速提高 例 6己知 2 )(,0bxaxxfa函数， （1）;2, 10baxfRxb证明：都有时，若对任意当 （2）时当1b，证明：对任意 1 ,0x，1|)(|xf的充要条件是bab21； （3）时，当10b讨论：对任意 1 ,0x，1|)(|xf的充要条件。 证明： （1）依题意，对任意 Rx，都有 b a b a xbxfxf 4 ) 2 ()(.1)( 2 2 .20,0,1 4 ) 2 ( 2 baba b a b a f （2）充分性：xxxbbxaxxbab)(:,1 ,0, 1, 1 22 可推出对任意 可知对任意又即,1 ,0,

26、2, 1; 1, 1 2 xbabbxaxx 1, 1) 1 ( 1 2)2(2 22 max 222 bxax b b b bbxxbbxxbbxax即 1)(1xf 必要性：对任意1) 1(, 1)(, 1)(,1 , 0fxfxfx babba b a 21,2, 11故即 babxfx211)(,1 ,0,的充要条件是对任意综上 1 1 1,1 1 01; 11 b fxf b bbaba知由又即 （3）1)(,1 ,0,10, 0 2 bbxaxxfxba对任意时 即1, 1, 1) 1(1)(; 1)(babafxfxf即即知又由 而当 b b b b xbbxxbbxaxxfba

27、 4 )1( ) 2 1 ()1()(,1 2 222 时 1 2 1 , 10 b b b 1)(11,) 1(,1 ,0 2 xfxbxxby时取得最大值故在是增函数上在 11)(,1 , 0,10 ,0baxfxba的充要条件是对任意时当 例 7若 a0，b0，a3+b3=2求证 a+b2，ab1 分析：由条件 a3+b3=2及待证的结论a+b2 的结构入手，联想它们之间的 内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通 二者的“桥梁” 证法一(作差比较法 ) 因为 a0，b0，a3+b3=2，所以 (ab) 3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3

28、ab2-6 =3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b) 20， 即(a+b) 323 证法二(平均值不等式综合法 ) 因为 a0，b0，a3+b3=2，所以 所以 a+b2，ab1 说明： 充分发挥“ 1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮 证法三(构造方程 ) 设 a，b 为方程 x2-mx+n=0 的两根则 因为 a0，b0，所以 m0，n0 且=m2-4n0 因此 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab=mm2-3n，所以 所以 a+b2 由 2m 得 4m2，又 m24n，所以 44n，即 n1所以 a

29、b1 说明： 认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能 较顺利地找到解决问题的切入点 证法四(恰当的配凑 ) 因为 a0，b0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)(2ab-ab)=ab(a+b) ， 于是有 63ab(a+b)，从而 83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3 ， 所以 a+b2(以下略) 即 a+b2(以下略) 证法六(反证法 ) 假设 a+b2，则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b) 2-3ab2(22-3ab) 因为 a3+b3=2，所以 22(4-3ab

30、)，因此 ab1 另一方面， 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)(2ab-ab)=(a+b) ab2ab， 所以 ab1 于是与矛盾，故a+b2(以下略) 说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方 法 例 8设函数 f(x)=ax 2+bx+c 的图象与两直线 y=x，y=-x，均不相 分析： 因为 xR，故 |f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设 f(x)=a(x-x 0) 2+f(x0) 证明：由题意知， a0设 f(x)=a(x-x 0) 2+f(x 0)，则 又二次方程 ax2+bx+c=x 无实根，故 1=(b+1) 2

31、-4ac0， 2=(b-1) 2-4ac0 所以(b+1) 2+(b-1)2-8ac0，即 2b2+2-8ac0，即 b2-4ac-1，所以|b 2-4ac|1 说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时， 如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种 有效的证明途径 例 9某城市 2001年末汽车保有量为30 万辆，预计此后每年报废上一年末 汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求 该城市汽车保有量不超过60万辆， 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解： 设 2001年末的汽车保有量为 1 a， 以后每年末的汽车保有量

32、依次为, 32 aa， 每年新增汽车x万辆。 由题意得) 06.0 (94.0 06.0 94.0 11 x a x axaa nnnn 即 万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数 上式趋于时且当的减函数上式右端是关于 解得令 6 .3,6.3,60 6.3, 06.0) 94.01 30 30(,60 06.0 94.0) 06.0 30( 1 1 xan nn xa xx a n n n n n 例 10已知奇函数）上是增函数，）上有定义，在（，（），在（000)(xf 又, 0) 1(f知函数集合, 2 ,0,2cossin)( 2 mmg NMgfmNgmM求恒有恒有,0)

33、(,0)( 分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问 题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 022cos , 12cossin 2 01)( 1)( 0)( )1(0)( 0)( 0)1 () 1(0)1( 0)0)( 2 2 mmcor mmg g g fgf g fff xfxf 也即 ），即，（即 的条件是满足得又由 ）上也是增函数。，在（）上是增函数，在（奇数函数解 令10 ,22),1 , 0,cos 2 tmmttttt（又设则 要使内的最大值小于零，在必须使 10)(, 0)(tt 1 0 当m m m mtm m 知解不等式组时，即 022 0 ,2

34、2)0()(00 2 max 22240 4 88 20 , 4 88 )(,201 2 02 2 2 max 0 m mm m mm tm m 得解不等式组 时即当 3 0 当 201 2 , 1)(21 2 max mm m mtm m 得 解不等式组时，即 综上：224mmNM 例 11如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 米，要求通行车辆限 高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 （1） 若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽l是 多少？ （2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱 高 h 和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工

35、程 最小？ （半个椭圆的面积公式为s= , 4 lh柱体体积为：底面积乘以高，414.12， 646. 27本题结果均精确到0.1 米） 分析：本题为 2003 年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的 能力及运算能力。 解：1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5 ） 椭圆方程为：1 2 2 2 2 b y a x 将 b=h=6与点 P坐标代入椭圆方程得 3.33 7 788 2, 7 744 ala此时故隧道拱宽约为 33.3 米 2)由椭圆方程1 5.411 1 2 2 2 2 2 2 2 2 bab y a x 得 4 .6, 1.312 2 29 ,211 2 15.

36、411 , 2 99 24 99, 5.41125.411 2 2 2 2 2 2 2 2 bhalba ba s ab lhs ab abba 此时 最小时有当 故当拱高约为 6.4 米, 拱宽约为 31.1 米时, 土方工程量最小 . 例 12已知 nN，n1求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观 其“形” ，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解 则 说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思 想解决 例 13已知函数 1 22 )( 2 x xx xf .2211)2( nnn xfxfx是正实数，求证：设 分析：本例

37、主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式 的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对 值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本 不等式的证明（ 2） 。 证明： （1） tx txtxf x x xf 1 ) 1( 1 1)1( )( 2 , 2 1 2 11 ) 1( tx tx tx tx tx txtxf当且仅当1tx时，上式取等号。 2) 1(, 110, 10txftxtx 222222222 2 2)(2)(2)(2(xtxtxtxtxtxtxtxts 44;44, 22 xsxttsxt时当时当 ) 1()1(2txfxtxt

38、txfxtxt即 （2）1n时，结论显然成立 当2n时，. 11 ) 1 () 1 ()1() 1( 2 2211 x xC x xC x x x xxfxf n n n n n nnnn 2 1 4 2 4 2 2 1 1 1 2 2 211 11 n n nn n n n n n nn n nn n n x C x CxCxC x xC x xC 1, 10, 10)1 (txfxtxttx求证：设 ) 1 () 1 () 1 ( 2 1 2 21 4 42 2 21 n nn n n n n n n n x xC x xC x xC 22.).(2 2 1 1 21121n n nnn

39、n nnn CCCCCC 四、强化训练 1 已知非负实数x，y满足2380xy且3270xy， 则xy的最大值是（） A 7 3 B 8 3 C2D3 2 已知命题 p： 函数)2(log 2 5. 0 axxy的值域为 R， 命题 q： 函数 x ay)25( 是减函数。若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，则实数a 的取值范围 是（） Aa1 Ba2 C1a2 Da1 或 a2 3 解关于x的不等式 32 2 xx xa 0 4求 a，b 的值，使得关于 x 的不等式 ax 2+bx+a2-10 的解集分别是： (1)-1，2；(2)(-，-12，+)；(3)2 ；(4)-1，

40、+) 5 解关于x的不等式)10(1 2 aaaaa xx 且 6数列 n x由下列条件确定：Nn x a xxax n nn , 2 1 , 0 11 （1）证明：对于axn n 总有,2, （2）证明：对于 1 , 2 nn xxn总有 7设 P=(log2x) 2 +(t-2)log2x-t+1，若 t 在区间 -2，2上变动时， P恒为正值， 试求 x 的变化范围 8已知数列 nnnnnn bsasnaa的等差中项，数列与是且项和为前的通项为2,中， b1=1，点 P（bn,bn+1）在直线 x-y+2=0 上。 ）求数列 nnnn baba,的通项公式、 ）设 n b的前 n 项和为

41、 Bn, 试比较 的大小与2 1 . 11 21n BBB 。 ）设 Tn=的最小值求恒成立若对一切正整数cZccTn a b a b a b n n n ,)(,. 2 2 1 1 五、参考答案 1解： 画出图象，由线性规划知识可得，选D 2解： 命题 p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函 数 2 2xxa的判别式440a， 从而1a； 命题 q 为真时，5212aa。 若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，故 p 和 q 中只有一个是真命题， 一个是假命题。 若 p 为真， q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1a2，故 选 C. 3分析： 本题

42、主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标 根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价 转化为013 xxax 和比较a与1及 3 的大小，定出分类方法。 解：原不等式化为：013 xxax （1）当1a时，由图 1 知不等式的解集为31xaxx或 （2）当31231xaxxa或知不等式的解集为时，由图 （3）当axxxa3133或知不等式的解集为时，由图 4分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善 于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通 解(1)由题意可知， a0 且-1，2 是方程 ax 2+bx+a 2-10 的根，所以 (3)由

43、题意知， 2 是方程 ax 2+bx+a2-1=0 的根，所以 4a+2b+a 2-1=0 又2 是不等式 ax2+bx+a2-10 的解集，所以 (4)由题意知， a=0b0，且-1 是方程 bx+a2-1=0 的根，即 -b+a2-1=0， 所以 a=0，b=-1 说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联 系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一 定条件下相互转换。 5分析 ：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元， 可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结 合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关

44、系，对含参数的不等式， 运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。 解：设 x at，原不等式化为tayttyttat 2 2 1 2 ),0(1)0(1设，在同 一坐标系中作出两函数图象 , 21 yy故（1）当),010, 10,10xata x 即时 （2） ) 2 2 log, 2 22 (log 2 2 2 2 2 2 1,21 2222 2 2,1 2 aaa x aa t aa aa ttata aa 得解方程如右图时当 （3）当2a时，原不等式的解集为 综上所述，当)1 ,0(a时，解集为, 0） ；当)2, 1(a时，解集为 ),2); 2 22 log, 2 22 (log

45、22 a aa aa 当时，解集为 。 6证明： （1） )()( 2 1 ,0)( 2 1 0 111 Nna x a x x a xxx x a xxax n n n nnn n nn 从而知及 成立时当axn n 2 （2）当2n时，)( 2 1 ),( 2 1 ,0 11n n nn n nnn x x a xx x a xxax =成立时 1 2 ,2.0 2 1 nn n n xxn x xa 7分析：要求 x 的变化范围，显然要依题设条件寻找含x 的不等式 (组)，这 就需要认真思考条件中 “t 在区间-2，2上变动时，P恒为正值”的含义你 是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换

46、一个角度去思考在所给数学结 构中，右式含两个字母x、t，t 是在给定区间内变化的，而求的是x 的取值 范围，能想到什么？ 解：设 P=f(t)=(log 2x-1)t+log22x-2log2x+1因为 P=f(t)在 top 直角坐标系内是 一直线，所以 t 在区间-2，2上变动时， P恒为正值的充要条件 解得 log2x3 或 log2x-1 说明：改变看问题的角度，构造关于t 的一次函数，灵活运用函数的思想， 使难解的问题转化为熟悉的问题 8分析： 本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。 略解：）12,2nba n n n )Bn=1+3+5+ +(2n -1)=n 2 2 1

47、. 11 2 1 2 ) 1 1 1 (.) 3 1 2 1 () 2 1 1 (1 ).1( 1 32 1 21 1 1 1 . 3 1 2 1 1 11 . 11 2 2222 2 1 1 n n BBBn nnnn nBBB )Tn= n n 2 2 . 2 5 2 3 2 1 1 22 1432 2 12 . 2 5 2 3 2 1 2 1 n n Tn -得 1332 2 12 2 2 . 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 nn n n T 3 2 12 2 1 3 2nn n n T 又2 16 37 2 7 2 4 2 3 2 1 432 4 T 3ccTn的最小值整数满足条件。