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1、第三讲基本不等式 题组 1利用基本不等式比较大小 1.2015 陕西 ,9,5分设 f(x)=ln x,0p D.p=rq 题组 2利用基本不等式求最值 2.2015 福建 ,5,5 分 文若直线+ = 1(a0,b0)过点 (1,1),则 a+b 的最小值等于() A.2 B.3 C.4 D.5 3.2014 重庆 ,9,5 分 文若 log4(3a+4b)= log2 ,则 a+b 的最小值是() A.6+ 2B.7+2C.6+4D.7+ 4 4.2013 山东 ,12,5 分设正实数 x,y,z 满足 x 2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - 的最大值 为() A.0
2、 B.1 C.D.3 5.2017 山东 ,12,5 分文若直线+ = 1(a0,b0)过点 (1,2),则 2a+b 的最小值为. 6.2017 天津 ,13,5 分文若 a,bR,ab0,则 的最小值为. 7.2015 山东 ,14,5 分文定义运算 “”:xy= - (x,yR,xy 0) .当 x0,y 0时,xy+(2y)x 的最小值为. 8.2015 重庆 ,14,5 分文设 a,b0,a+b= 5,则+的最大值为. 题组 3基本不等式的实际应用 9.2017 江苏 ,10,5 分文某公司一年购买某种货物600 吨 ,每次购买x 吨,运费为 6 万元 /次,一 年的总存储费用为4x
3、 万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是. 10.2014 湖北 ,16,5分 文某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间 内经过测量点的车辆数,单位 :辆/小时 )与车流速度v(假设车辆以相同速度v 行驶 ,单位 :米/秒)、 平均车长l(单位 :米 )的值有关 ,其公式为F= . ()如果不限定车型,l= 6.05,则最大车流量为辆/小时 ; ()如果限定车型 ,l= 5,则最大车流量比()中的最大车流量增加辆/小时 . A 组基础题 1.2018 长春市高三第一次质量监测,7已知 x0,y0,且 4x+y=xy ,则 x+y 的最小值为() A
4、.8 B.9 C.12 D.16 2.2018 合肥市高三调研,11已知 ab 0,则 a+ - 的最小值为() A.B.4 C.2D.3 3.2018 湖北省部分重点中学高三联考,9已知关于x 的不等式x 2-4ax+ 3a2 0,b0)经过点 (2,3),则 a+b 的 最小值为. B 组提升题 6.2018 豫西南部分示范性高中联考,9已知正项等比数列 an的公比为2,若 aman=4,则 + 的最小值等于() A.1 B. C.D. 7.2017 沈阳三模 ,10直线 ax+by+ 1= 0 与圆 x 2 +y 2=1 相切 ,则 a+b+ab 的最大值为 () A.1 B.-1 C.
5、+D.+1 8.2017 郑州市高三一测,10设正实数 x,y满足 x ,y1,不等式 - + - m恒成立 ,则 m的最大 值为() A.2B.4C.8 D.16 9.2017 广东五校一诊 ,16两圆 x 2+y2+ 2ax+a2-4= 0 和 x2+y2-4by-1+ 4b2=0 恰有三条公切线 ,若 a R,bR 且 ab0, 则 + 的最小值为. 10.2018 天津市滨海新区八校联考已知 ab 0,且 ab=1,那么 - 取最小值时 ,b=. 答案 1.B因为 0,又 f(x)=ln x 在(0,+)上单调递增 ,故 f()p , 因为 r= (f(a)+f (b)= (ln a+
6、 ln b)=ln =f ()=p,所以 p=r0,b0)过点 (1,1),所以 + = 1,所以 1= + 2=(当且 仅当 a=b= 2 时取等号 ),所以2 .又 a+b2(当且仅当a=b= 2 时取等号 ),所以 a+b 4( 当 且仅当 a=b= 2 时取等号 ),故选 C. 解法二因为直线 + = 1(a0,b 0)过点 (1,1),所以+ = 1,所以 a+b= (a+b)( + )= 2+ + 2 + 2=4(当且仅当 a=b= 2 时取等号 ),故选 C. 3.D因为 log4(3a+4b)= log2,所以 log4(3a+4b)=log4(ab),即 3a+ 4b=ab
7、,且 即 a0,b0,所以+ =1(a0,b0),所以 a+b= (a+b )( + )= 7+7 + 2=7+ 4,当且仅 当 = 时取等号 ,故选 D. 4.B= - = - =1,当且仅当x=2y 时等号成立 ,此时 z=2y 2, + - =- + =- ( -1) 2+1 1, 当且仅当 y=1 时等号成立 ,故选 B. 5.8直线+ =1(a0,b0)过点 (1,2), + =1,a0,b 0, 2a+b= (2a+b)( + ) =4+ +4 + 2= 8,当且仅当=,即 a=2,b=4 时等号成立 ,2a+b 的最小值为8. 6.4=+,因为 ab0,所以由基本不等式可得 +2
8、+= 4ab+ 4, 当且仅当=,4ab= 同时成立时等号成立. 7.因为 x0,y 0,所以 xy+(2y)x= - + - = ( +) ,当且仅当=,即 x=y 时取等号 .故 xy+(2y)x 的最小值为. 8.3(+) 2=a+b+ 4+2 9 +2=9+a+b+ 4= 18,所以 +3,当且仅当a+1=b+ 3 且 a+b= 5,即 a= ,b= 时等号成立 .所以 +的最大值为3. 9.30一年购买次,则总运费与总存储费用之和为 6+4x=4(+x) 8=240,当 且仅当 x=30 时取等号 ,故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是 30. 10.()1 900F=1 900
9、,当且仅当v=11 时等号成立 . ()100F= 2 000,当且仅当v=10 时等号成立 ,2 000-1 900=100. A 组基础题 1.B由 4x+y=xy 得 + = 1,则 x+y= (x+y )( + )=+ + 1+ 42 + 5= 9,当且仅当= ,即 x=3,y= 6 时取 “ = ”,故选 B. 2.D因为 ab 0,所以 a+ - = (a+b+a-b+ - ) () +( - ) - =2+=3,当且仅当 , - - , 即 a= ,b= 时等号成立 .故选 D. 3.D不等式x 2-4ax+ 3a20,所以a-10,所以 - + - = - + - - = -
10、+ - 2 - - =2,当且仅当 - = - ,即 a=b= 3 时等号成立 ,所以 - + - 的最小值为2,故选 A. 5.5+ 2因为直线l 经过点 (2,3),所以 2a+3b-ab= 0,所以 b= - 0,所以 a-3 0,所以 a+b=a+ - =a-3+ - +55 + 2( - ) - =5+ 2,当且仅当a-3= - ,即 a= 3+,b=2+时等号 成立 . B 组提升题 6.C由题意知 ,aman= 2 m+n-2= 4 = 4 2 2= 2 4,故得到 m+n= 6,所以 += (+)(m+ n)= ( +) ( +2)= ,当且仅当=,即 m=2n 时等号成立 .
11、故选 C. 7.C直线 ax+by+ 1= 0 与圆 x 2+y2= 1相切 ,圆心 O(0,0)到直线 ax+by+ 1=0 的距离等于半 径,即 =1? a 2+b2=1,易知 a+b+ab 的最大值一定在 a0,b0 时取得 , a+b+ab=() +ab= +ab. 令=t ,则 ab= - . ab = (当且仅当a=b= 时取 “ =”)且 ab 0, 10,y-1 0, - + - = (- ) - + (- ) - (- ) - + ( - ) - 4 2 - - - - = 8,即 - + - 8, 当且仅当 -, -, - - - - , 即 ,时取等号 ,即 - + - 的最小值是8,故 m8, 即 m 的 最大值是8,选 C. 9.1将方程 x 2 +y 2+ 2ax+a2-4=0 和 x2+y2-4by-1+ 4b2=0 分别配方 ,得(x+a )2+y2=4,x2+(y-2b)2= 1, 依题意得两圆相外切,故 = 1+2= 3,即 a 2+ 4b2= 9, += (+) (+)= + + 2= 1,当且仅当=,即 a 2=2b2 时等号成立 ,故 + 的最小值为1. 10. - 因为 ab 0,所以 - = ( - ) - = (a-b)+ - 2 ,当且仅当a-b=时取等号 ,又 ab=1,所以 -b=,解得 b= - (舍去 b= - ).