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1、第 1 页 共 11 页 1.复数的有关概念 (1)虚数单位i；(2)复数的代数形式zabi(a，bR)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚 数. 2.复数集 3.复数的四则运算 若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R) (1)加法： z1z2(a1 a2)(b1b2)i； (2)减法： z1z2(a1 a2)(b1b2)i； (3)乘法： z1 z2(a1a2b1b2)(a1b2 a2b1)i； 第 2 页 共 11 页 (4)除法： z1 z2 a1a2 b1b2 a2b1a1b2i a 2 2b 2 2 a 1a2b1b2 a 2 2b 2 2 a2b1a1b
2、2 a 2 2 b 2 2 i(z20)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n(n 为正整数 )的周期性运算； (1 i) 2 2i；若 1 2 3 2 i，则 31,1 20. 4.共轭复数与复数的模 (1)若 zabi，则 z abi，z z 为实数， z z 为纯虚数 (b0). (2)复数 za bi 的模 |z|a 2b2，且 z z |z|2a2b2. 5.复数的几何形式 (1)用点 Z(a，b)表示复数z abi(a，bR)，用向量 OZ 表示复数zabi(a，bR)，Z 称 为 z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一
3、一对应(坐标原点对应实数0). (2) 任何一个复数zabi 一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发 的向量 OZ . 6.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量 OZ1 、OZ2 不共线，则复数z1z2是以 OZ1 、 OZ2 为两邻边的平行四 边形的对角线 OZ 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z1z2是连接向量 OZ1 、 OZ2 的终点，并指向Z1的向量所对应的复数. 题型一复数的基本概念 例 1满足 z 5 z是实数，且 z3 的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出 虚数 z；若不存在，请说
4、明理由. 解存在，理由如下： 第 3 页 共 11 页 设虚数 z xyi(x，yR，且 y0)， 则 z 5 zxyi 5 xyi x 5x x 2y2 y 5y x 2y2i，z3(x3) yi. 由题意得 y 5y x 2y20， x3 y， y0， x 2y25， x y 3， 解得 x 1， y 2 或 x 2， y 1. 存在虚数z 12i 或 z 2i 满足条件 . 反思与感悟复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充 要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径，在两个复数相等的充要条件中，注 意当 a， b，c，dR 时，由 abicdi 才能
5、推出ac 且 bd，否则不成立. 跟踪训练1设 zC，满足 z 1 zR，z 1 4是纯虚数，求 z. 解设 z xyi(x，yR)， 则 z 1 z(xyi) 1 xyi x x x 2 y2 y y x 2y2 i. z 1 zR，y y x 2 y2 0， 解得 y 0 或 x2y21. 又 z 1 4 x1 4 yi 是纯虚数， x 1 40 且 y0. x 1 4，y 15 4 ， 因此复数z1 4 15 4 i. 题型二复数的四则运算 例 2计算 2 3i 12 3i 2 1i 2 00448i 2 48i2 117i . 解原式 i 123i 123i 2 1i 2 1 002
6、48i8i4 48i48i 117i i(i) 1 0020 1 i. 第 4 页 共 11 页 反思与感悟复数四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法 运算需把分母实数化.复数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注 意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用. 复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实， 充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化. 在运算的过程中常用的公式有： (1)i 的乘方： i 4n1，i4n1i，i4n2 1，i4n3 i(nN* ). (2)(1i) 2 2i. (3) 1 2 3 2
7、i 3 1. 在解答与复数的模有关的问题时，重视应用下列公式： (1)z z |z| 2| z |2. (2)|z1z2zn|z1|z2| |zn|，|z n|z|n. (3) z1 z2 |z1| |z2|. 跟踪训练2已知复数z(12i)( 2i)3 i 1 i. (1)计算复数z； (2)若 z 2(2a1)z(1i)b160，求实数 a，b 的值 . 解(1)z (1 2i)(2i) 3i1i 1i1i 4 3i 42i 2 43i(2i) 62i. (2)(62i) 2(2a 1)(62i)(1i)b160， 3224i6(2a 1)2(2a1)ibbi160， 2212a b(26
8、4ab)i0， 2212ab0， 264a b0. 解得 a 3，b 14. 题型三复数与其他知识的综合应用 例 3已知关于t 的一元二次方程t 2(2i)t2xy(xy)i 0(x，yR). (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹； (2)求方程实根的取值范围. 解(1)设实根为t， 则 t 2 (2i)t2xy (x y)i0(x， yR)， 即(t22t2xy)(txy)i0. 根据复数相等的充要条件， 第 5 页 共 11 页 得 t 22t2xy 0， txy0， 由 得 tyx， 代入 得(yx)22(yx)2xy0， 即(x1) 2(y1)2 2. 所以所求的点的轨迹方程是(
9、x1) 2 (y 1)22， 轨迹是以点 (1， 1)为圆心，2为半径的圆 . (2)由得圆心为 (1， 1)，半径 r2， 直线 tyx 与圆有公共点， 从而应有 |1 1 t| 2 2， 即|t2|2， 4t0， 故方程的实根的取值范围是4,0. 反思与感悟复数具有代数形式，且复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)之间建 立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何 等知识的交汇 . 跟踪训练3复数 z满足 |z33i|3，求 |z|的最大值和最小值. 解方法一|z33i|z|33i|， 又 |z33i|3， |33i|1223， |z|2
10、3|3， 即3|z|33， |z|的最大值为33，最小值为3. 方法二|z33i|3表示以 33i 对应的点P 为圆心，以3为半径的圆， 如图所示， 则|OP| |33i|1223， 显然 |z|max|OA|OP|333， |z|min |OB| |OP| 33. 第 6 页 共 11 页 共轭复数的妙用 巧用共轭复数的性质对复数问题进行等价变形、化简， 可将复杂的问题变得简单，从而达到 事半功倍的效果.共轭复数有以下常见性质： (1)若 zabi(a，bR)，则 z z 2a，z z 2bi； (2)zz； (3)若 zabi(a，bR)，则 | z |a 2 b2|z|，z z a2b2
11、|z|2| z |2； (4)zR? z z ；非零复数z 是纯虚数 ? z z 0； (5) z1 z2 z1z2 ， z1 z2 z1z2， 1 2 z z z1 z2 (z20)； (6) z n ( z )n(nZ，当 n0 时，要求 z0). 例 4已知 AOB 的三个顶点A，B，O(O 为原点 )对应的复数分别为z1，z2, 0，若|z1|3，|z2| 5，|z1z2|7，则 z1 z2等于 ( ) A. 3 10 33 10 i B. 3 10 33 10 i C. 3 10 3 3 10 i D. 3 10 33 10 i 解析|z1|3，|z2|5，|z1z2| 7， z1
12、z19，z2 z225， (z1z2)( z1 z2) 49， z1 z1z2 z2 z1z2 z1 z249， 即 z1 z1z2 z2z2 z2 z1 z2 z1 z2 z1z1z2 z2z2 z2z 1 z2 9 25 z2 z1 49， 92525 z1 z2 9 z2 z149， 即 25 z1 z2 215 z1 z2 90， z1 z2 3 10 3 3 10 i.故选 A. 答案A 例 5设 |z| 1，求 |z 2z1|的最大值和最小值 . 解z z |z|21， 第 7 页 共 11 页 |z 2z1|z2zz z | |z|z1 z | |z1 z |. 设 zabi(a
13、，bR)，则 |z1 z |2a1|. |z|1， z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1 为半径的圆上， 1a1， 0|2a 1|3. |z 2z1|的最大值为 3，最小值为0. 1.已知 A 1,2 ，a 23a1(a25a 6)i ， B 1,3 ，AB3 ，则 a 的值为 ( ) A.1 B.1 C.0 D.2 答案B 解析由题意知， a2 3a1 (a25a6)i 3(aR)， a 23a13， a 25a60， 即 a4或a 1， a6或a 1， a 1. 2.定义新运算 ab cd adbc，则满足 ziz 11 42i 的复数 z 是() A.13i B.1 3i C.3i
14、D.3i 答案D 解析 zi z 11 zi z42i， z 42i 1i 42i1i 1i 1i 3i. 3.计算 (2 i 15) 1i 2 22 . 答案2 解析(2i15) 1i 2 22(2 i) 1i 2 2 112ii112i(i) 2. 4.已知复数z134i，z2ti，且 z1 z2是实数，则实数 t. 答案 3 4 解析已知复数z134i，z2ti，则z1 z2 (3t4)(4t 3)i，z1z2是实数， 4t 第 8 页 共 11 页 30，即 t3 4. 5.已知 z 1i 2 3 1i 2i . (1)求|z|； (2)若 z 2azb1i，求实数 a， b 的值 .
15、 解(1)z 1 i 23 1 i 2i 2i33i 2i 3i 2i 3i2i 2 i 2i 55i 5 1 i，|z|1 1 2 2.(2)由 (1)可得z2 2i，z2azb 2ia(1i)b 2ia aib(a b)(a 2)i ， (ab) (a2)i1i， ab1， a2 1， 解得 a 3， b4. 如果设zabi(a，bR)，直接代入计算，过程将会很复杂，考虑到z z |z|2，将 |z2z 1|中的 1 换成 z z ，那么问题变得简单易求. 一、选择题 1.已知 f(x)x 3 1，设 i 是虚数单位，则复数f i i 的虚部是 () A. 1 B.1 C.i D.0 答案
16、B 解析f(i)i 31 i1，f i i i1 i i 2i 1 1i 1 1i，虚部是1. 2.若复数 a3i 12i(aR，i 为虚数单位 )是纯虚数，则实数 a 的值为 () A. 2 B.4 C.6 D.6 答案D 解析 a3i 12i a 3i12i 1 2i12i a 6 32a i 5 a6 5 32a 5 i.若复数是纯虚数， 则 a6 5 0， 所以 a 6.故选 D. 3.已知 z 是复数z 的共轭复数，z z zz 0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是 () 第 9 页 共 11 页 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 答案A 解析设 zxyi(x，yR)，则 z
17、z 2x，z z x2y2，所以由z z z z 0，得 x2 y22x0，即 (x1) 2y21，故选 A. 4.复数 2 017 1i 的虚部是 () A. 2 017 2 B.2 017 2 C.1 2i D.1 答案A 解析 2 017 1i 2 017 1i 1 i1i 2 017 2 2 017 2 i，其虚部是 2 017 2 .故选 A. 5.已知方程x 2(4i)x 4ai0(aR)有实根 b，且 z abi，则复数 z 等于 () A. 22i B.22i C. 22i D.22i 答案D 解析x 2(4i)x4ai0(aR)有实根 b，b2(4 i)b4ai0，即 b24
18、b4(a b)i0.根据复数相等的充要条件，得b24b40 且 ab0，解得 a2，b 2. 6.已知 z1，z2，z3C，给出下列三个命题：若 z1z20，则 z1z20；若 z1z2z3， 则 z1z2z30；若两个虚数互为共轭复数，则它们的和为实数.其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 答案C 解析若 z1z20，则 z1 z2，此时z1与 z2不一定均为0，所以 错误； z1z2z3， z1z2与 z3均为实数， z1z2z30，正确；两个虚数互为共轭复数，不妨设z1a bi，z2abi(a，bR)，z1z2(abi)(abi)2aR， 正确 .故选 C. 二、填空题
19、7.若 i 为虚数单位，则 12i 1i 2. 答案1 1 2i 解析 12i 1i 2 12i 12ii 212i 2i 1 2i i 2 i2 2 1 1 2i. 8.设复数 z 满足 i(z 4) 32i(i 是虚数单位 )，则 z 的虚部为. 答案63i 第 10 页 共 11 页 解析由 i(z4) 32i 得 z32i i 4 32i i i 24 3i 2 1 423i463i. 9. 2i 4 3i 1i 3i3i12i . 答案 5 2 解析 2i 43i1 i 3i3i12i | 2i| |4 3i| |1i| |3i| |3i| |12i| 2 52 225 5 2 .
20、10.下列说法中正确的序号是. 若 (2x1)iy(3 y)i，其中 xR，y?CR，则必有 2x1y 1 3y ； 2i1i； 虚轴上的点表示的数都是纯虚数； 若一个数是实数，则其虚部不存在； 若 z 1 i ，则 z 3 1对应的点在复平面内的第一象限 . 答案 解析由 y?CR，知 y 是虚数，则 2x 1y 1 3y 不成立，故 错误；两个不全为实数的复 数不能比较大小，故错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故 错误；实数的虚部为0， 故 错误； 中 z 3 11 i 31i1，对应点在第一象限，故 正确 . 三、解答题 11.已知复数z1满足 (z12)(1i)1i(i 为虚数单位 )
21、，复数 z2的虚部为 1，z1 z2是实数，求 z2. 解(z12)(1i)1i， z12 1i 1i 1i 2 2 i， z12i. 设 z2ai，z1 z2(2a1)(2a)i. z1 z2是实数， 2a0，即 a2. z22i. 12.已知 1i 是方程 x 2bxc0(b，c 为实数 )的一个根 . (1)求 b，c 的值； 第 11 页 共 11 页 (2)试判断 1i 是不是方程的根. 解(1)1i 是方程 x 2bxc0 的根， 且 b，c 为实数， (1i) 2b(1i)c0，即 bc (b2)i0， bc0， 2b0， 解得 b 2， c2. (2)由(1)知方程为x 22x
22、20，把 1i 代入方程左边得 (1i) 22(1i)20，1i 也 是方程的根 . 13.已知复数z和 w 满足 zw2iz2iw10，其中 i 为虚数单位 . (1)若 z 和 w 又满足w z2i，求 z和 w 的值； (2)求证：如果 |z|3，那么 |w4i|的值是一个常数，并求这个常数. (1)解设 wxyi(x，yR)，则由 w z2i，得 z w 2ix(y2)i，zw2iz2iw 1x(y 2)i(xyi)2ix (y 2)i2i( xyi)1x2 y2 6y5 2xi，x2y2 6y 52xi0. 根据复数相等的充要条件，得 x 2y26y50， 2x0， x 0， y 1 或 x0， y 5. z i， w i 或 z3i，w 5i. (2)证明zw2iz2iw10， z(w2i) 2iw 1， |z(w2i)|2iw1|，即 |z| |w2i|2iw1|. 又|z|3，3|w2i|2iw1|. 设 wxyi(x，yR)，代入上式整理，得3 x2y24y44x24y24y 1， 两边平方，得3x23y212y124x24y24y1， 化简，得x2y28y11. |w4i|xyi4i|x2 y4 2 x2y28y1611162733是一个常数 . 即|w4i|的值是一个常数，且这个常数为33.