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1、第 1 页 共 12 页 1.1.3导数的几何意义 学习目标 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方 程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数. 知识点一曲线的切线 如图所示，当点Pn沿着曲线yf(x)无限趋近于点P 时，割线PPn趋近于确定的位置，这个 确定位置的直线PT 称为点 P 处的切线 . (1)曲线 yf(x)在某点处的切线与该点的位置有关； (2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 思考有同学认为曲线yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线 l 与曲线 yf(x)只有一个交点， 你认为 正
2、确吗？ 答案不正确 .曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线 l 与曲线 yf(x)的交点个数不一定只有一 个，如图所示 . 知识点二导数的几何意义 函数 y f(x)在点 xx0处的导数f(x0)就是曲线 yf(x)在点 (x0，f(x0)处切线的斜率. 思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？ (2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？ 答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋 于的直线 .曲线的切线并不一定与曲线有一个交点. (2)函数 f(x)在 x0处有导数，则在该点处函数 f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就 是该切线
3、的斜率. 函数 f(x)表示的曲线在点(x0， f(x0)处有切线， 但函数 f(x)在该点处不一定可导， 如 f(x) 3 x在 x0 处有切线，但不可导. 知识点三导函数的概念 第 2 页 共 12 页 对于函数yf(x)，当 x x0时，f(x0)是一个确定的数，这样，当 x 变化时， f(x)便是关于 x 的一个函数， 称它为函数yf(x)的导函数， 简称导数， 也可记作y，即 f (x)y lim x0 y x lim x0 f x x f x x . 函数 yf(x)在 xx0处的导数 y| 0 xx 就是函数 yf(x)在开区间 (a， b)(x(a， b)上的导数 f(x) 在
4、 xx0处的函数值， 即 y| 0 xx f(x0)，所以函数 yf(x)在 xx0处的导数也记作 f(x0). 思考如何正确理解“函数f(x)在 xx0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与 联系？ 答案“函数yf(x)在 xx0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及 x0的位置有关，而与 x 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个 区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x， x 无关 . 题型一求曲线的切线方程 1.求曲线在某点处的切线方程 例 1求曲线 yf(x) x3x3 在点 (1,3)处的切线方程 . 解因 为 点 (1,3)
5、 在 曲 线 上 ， 过 点 (1,3) 的 切 线 的 斜 率 为f(1) lim x0 1 x 3 1 x 3 113 x lim x0 x 33 x22 x x lim x0( x) 23 x2 2， 故所求切线方程为y32(x1)， 即 2xy 10. 反思与感悟若求曲线yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点 P(x0，y0) 在曲线 yf(x)上，且是切点，其切线方程为yy0f (x0)(xx0). 跟踪训练1(1)曲线 f(x) 1 3x 3x25 在 x1 处切线的倾斜角为 . (2)曲线 yf(x) x 3 在点 P 处切线斜率为3，则点 P 的坐标为
6、. 答案(1)3 4 (2)(1， 1)或(1,1) 解析(1)设切线的倾斜角为 ，则 tan lim x0 f x0 x f x0 x 第 3 页 共 12 页 lim x0 f 1 x f 1 x lim x0 1 3 1 x 3 1 x251 315 x lim x0 1 3 x 3 x x lim x0 1 3( x) 21 1. 0，)， 3 4. 切线的倾斜角为 3 4. (2)设点 P 的坐标为 (x0，x 3 0)，则有 lim x0 f x0 x f x0 x lim x0 3x 2 0 x3x0 x 2 x3 x lim x03x 2 03x0 x( x) 2 3x2 0.
7、 3x2 03，解得 x0 1. 点 P 的坐标是 (1,1)或(1， 1). 2.求曲线过某点的切线方程 例 2求过点 (1， 2)且与曲线y2xx3相切的直线方程. 解y lim x0 y x lim x0 2 x x x x 32x x3 x lim x023x 23x x( x)223x2. 设切点的坐标为(x0,2x0x3 0)， 切线方程为y2x0x3 0(23x 2 0)(xx0). 又 切线过点 (1， 2)， 22x0x 3 0(23x 2 0)(1x0)， 即 2x3 03x 2 00， x00 或 x0 3 2. 第 4 页 共 12 页 切点的坐标为(0,0)或( 3
8、2， 3 8). 当切点为 (0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y2x； 当切点为 (3 2， 3 8)时，切线斜率为 19 4 ， 切线方程为y2 19 4 (x1)，即 19x4y 270. 综上可知，过点(1， 2)且与曲线相切的直线方程为y2x 或 19x4y270. 反思与感悟若题中所给点(x0， y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几 何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 跟踪训练2求过点 P(3,5)且与曲线 yx 2 相切的直线方程. 解由题意知 y lim x0 y x lim x0 x x 2 x2 x 2x. 设所求切线的切点为A(x0，y
9、0). 点 A 在曲线 yx2上， y0x2 0. 又 A 是切点， 过点 A 的切线的斜率y| 0 xx 2x0. 所求切线过P(3,5)和 A(x0，y0)两点， 其斜率为 y05 x03 x 2 05 x03. 2x0x 2 05 x03， 解得 x01 或 x05. 从而切点 A 的坐标为 (1,1)或(5,25). 当切点为 (1,1)时，切线的斜率为k1 2x02； 当切点为 (5,25)时，切线的斜率为k22x010. 所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和 y2510(x5)， 即 2xy 10 和 10xy250. 题型二求导函数 例 3求函数 f(x)x21的导函数
10、. 解 yf(x x)f(x) x x 21 x 21 2x x x 2 x x 2 1 x 21， y x 2x x x x 21 x 21， 第 5 页 共 12 页 f(x) lim x0 y x lim x0 2x x x x 21 x 2 1 x x 21. 反思与感悟求解 f(x)时， 结合导数的定义， 首先计算 yf(x x)f(x).然后，再求解 y x， 最后得到f (x) lim x0 y x. 跟踪训练3已知函数f(x) x2 1，求 f(x)及 f(1). 解因 yf(x x)f(x) (x x)2 1(x21) 2 x x( x) 2， 故 lim x0 y x li
11、m x0 2 x x x 2 x 2x， 得 f(x) 2x，f(1) 2. 题型三导数几何意义的综合应用 例 4设函数 f(x)x3ax2 9x1(a0)，若曲线 yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy 6 平行，求a 的值 . 解 yf(x x) f(x)(x x)3 a(x x)2 9(x x) 1 (x3ax 2 9x1) (3x2 2ax9) x(3xa)( x) 2 ( x)3， y x3x 22ax9(3x a) x( x)2， f(x) lim x0 y x3x 22ax 93(xa 3) 29a 2 3 9a 2 3 . 由题意知f (x)最小值是 12， 9 a 2 3
12、12，a 29， a0， a 3. 反思与感悟与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、 直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题. 跟踪训练4(1)已知函数f(x)在区间 0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3 f(2)f(1)，则 k1， k2， k3之间的大小关系为.(请用“”连接) 第 6 页 共 12 页 (2)曲线 y 1 x和 y x 2 在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是. 答案(1)k1k3k2(2) 3 4 解析(1)结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A 处切线的斜率，k2则为在点B 处切线 的斜率，
13、而k3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立 y 1 x ， yx 2， 解得 x1， y1， 故交点坐标为 (1,1). 曲线 y 1 x在点 (1,1)处切线方程为 l1：xy20， 曲线 y x2在点 (1,1)处切线方程为l2：2xy10. 从而得 S1 2 2 1 2 1 3 4. 因对“在某点处”“过某点”分不清致误 例 5已知曲线yf(x)x3上一点 Q(1,1)，求过点 Q 的切线方程 . 错解因 y3x2， f(1) 3. 故切线方程为3xy20. 错因分析上述求解过程中，忽略了当点Q 不是切点这一情形，导致漏解. 正解当 Q(1,1)为切点时， 可求得切
14、线方程为y3x 2. 当 Q(1,1)不是切点时，设切点为P(x0，x3 0)， 则由导数的定义，在x x0处， y 3x 2 0， 所以切线方程为yx3 03x 2 0(xx0)， 将点 (1,1)代入，得1x3 03x 2 0(1x0)， 即 2x3 03x 2 010， 所以 (x01) 2 (2x 01)0， 所以 x0 1 2，或 x01(舍)， 第 7 页 共 12 页 故切点为 1 2， 1 8 ， 故切线方程为y 3 4x 1 4. 综上，所求切线的方程为3xy20 或 3x4y 10. 防范措施解题前， 养成认真审题的习惯，其次， 弄清 “在某点处的切线”与“过某点的切 线”
15、 ，点 Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点. 1.下列说法中正确的是() A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线 B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线 C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点 D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点 答案D 解析ysin x，xR 在点 ( 2，1)处的切线与 ysin x 有无数个公共点. 2.已知曲线yf(x)2x 2 上一点 A(2,8) ，则点 A 处的切线斜率为() A.4 B.16 C.8 D.2 答案C 解析f(2) lim x0 f 2 x f 2 x lim x0 2 2 x 2 8 x lim x0
16、 (82 x)8，即 k8. 3.若曲线 yx 2axb 在点 (0，b)处的切线方程是 xy 10，则 () A.a1，b 1 B.a 1，b1 C.a1，b 1 D.a 1， b 1 答案A 解析由题意，知ky|x0 lim x0 0 x 2a 0 x bb x 1，a 1. 又(0，b)在切线上， b1，故选 A. 4.已知曲线y 1 2x 22 上一点 P 1，3 2 ，则过点P 的切线的倾斜角为() A.30 B.45 C.135 D.165 答案B 第 8 页 共 12 页 解析y 1 2x 22， y lim x0 1 2 x x 22 1 2x 22 x lim x0 1 2
17、x 2x x x lim x0 x 1 2 x x. y|x11.点 P 1， 3 2 处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45 . 5.已知曲线yf(x)2x 24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为. 答案(3,30) 解析设点 P(x0,2x2 04x0)， 则 f(x0) lim x0 f x0 x f x0 x lim x0 2 x 24x 0x4 x x 4x04， 令 4x0416 得 x03，P(3,30). 1.导数f(x0) 的几何意义是曲线y f(x)在点 (x0， f(x0) 处的切线的斜率，即k lim x0 f x0 x f x0 x f(x0)，物理
18、意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 . 2.“函数 f(x)在点 x0处的导数 ”是一个数值，不是变数， “导函数 ”是一个函数，二者有本 质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导函数 yf(x)在 xx0处的一个函数值 . 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点 为切点的切线方程为y f(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上， 则设出切点 (x0，f(x0)， 表示出切线方程，然后求出切点. 一、选择题 1.下列说法正确的是() A.若 f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处就没有切线 B.若曲线 yf(x)在点
19、 (x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在 C.若 f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线斜率不存在 D.若曲线 yf(x)在点 (x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在 答案C 第 9 页 共 12 页 解析kf(x0)，所以 f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存 在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0. 2.已知 yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与 f(xB)的大小关系是() A.f(xA)f(xB) B.f(xA)f (xB) C.f(xA)f(xB) D.不能确定 答案B 解析由导数的几何意义，f (x
20、A)，f(xB)分别是切线在点 A、B 处切线的斜率，由图象可 知 f(xA)f(xB). 3.在曲线 yx 2 上切线倾斜角为 4的点是 ( ) A.(0,0) B.(2,4) C.(1 4， 1 16) D.(1 2， 1 4) 答案D 解析y lim x0 x x 2x2 x lim x0 (2x x)2x， 令 2xtan 41，得 x 1 2. y 1 2 21 4，所求点的坐标为 1 2， 1 4 . 4.已知曲线y 1 3x 3 上一点 P(2，8 3)，则该曲线在 P 点处切线的斜率为() A.4 B.2 C.4 D.8 答案A 解析因 y1 3x 3，得 y lim x0 y
21、 x lim x0 1 3 x x 31 3x 3 x 1 3 lim x03x 23x x( x)2x2， 故 y x2， y|x22 24， 结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4. 5.设曲线 yax 2 在点 (1， a)处的切线与直线2xy60 平行，则a 等于 () A.1 B.1 2 C. 1 2 D.1 第 10 页 共 12 页 答案A 解析y|x1 lim x0 a 1 x 2a12 x lim x0 (2a a x)2a.可令 2a2，a1. 6.如图，函数yf(x)的图象在点P 处的切线方程是y x8，则 f(5)f(5)等于 () A.2 B.3 C.4
22、D.5 答案A 解析易得切点P(5,3)，f(5) 3，k 1，即 f(5) 1.f(5)f(5)31 2. 二、填空题 7.已知函数 y f(x)的图象在点M(1， f(1)处的切线方程是y 1 2x 2， 则 f(1)f(1) . 答案3 解析由在点 M 处的切线方程是y 1 2x2， 得 f(1) 1 212 5 2，f(1) 1 2. f(1)f(1) 5 2 1 23. 8.过点 P(1,2)且与曲线y3x 24x2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 . 答案2xy 40 解析曲线 y3x2 4x2 在点 M(1,1)处的切线斜率 ky |x1 lim x0 3 1 x 2
23、 4 1 x 2342 x lim x0 (3 x2)2. 过点 P(1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y22(x1)， 即 2xy 40. 所求直线方程为2xy 40. 9.若曲线 y2x 24xP 与直线 y1 相切，则 P . 答案3 解析设切点坐标为(x0,1)，则 f(x0)4x0 40， x01，即切点坐标为(1,1).24P1，即 P3. 第 11 页 共 12 页 10.设 P 为曲线 C： yx 22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为 0， 4 ， 则点 P 横坐标的取值范围为. 答案1， 1 2 解析f(x) lim x0 x x 22 x x
24、3 x22x3 x lim x0 2x2 x x 2 x lim x0 ( x2x2)2x2. 可设 P 点横坐标为x0，则曲线C 在 P 点处的切线斜率为2x02.由已知得02x02 1， 1x01 2，点 P 横坐标的取值范围为 1， 1 2 . 三、解答题 11.求曲线 yx 2 在点 (1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解由导数定义可得y |x12， 曲线 yx2在点 (1,1)处的切线方程为y12(x 1)， 即 y 2x1，设它与两坐标轴的交点 分别为 A(0， 1)，B(1 2，0)， SAOB 1 2|OA|OB| 1 4. 12.已知抛物线yx 2 和直线 xy20
25、，求抛物线上一点到该直线的最短距离. 解方法一设 P(x，x2)为抛物线上任意一点，则点 P 到直线xy20 的距离为d |xx 22| 2 2 2 x 1 2 27 4 2 2 x1 2 27 2 8 ，所以当x 1 2时， d 最小，最小值为 7 2 8 . 方法二由题意设直线xyb0 与抛物线yx2相切， 则 x2xb0，由 0 得 b 1 4，所以直线 xy 1 40 与 xy20 的距离为 d 1 42 2 7 4 2 7 2 8 ，所以抛物线y x2上的点到直线xy20 的最短距离为 72 8 . 方法三根据题意可知， 与直线 xy2 0平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线x
26、y20 的距离最短，设切点坐标为(x0，x2 0)，则 y|xx0 lim x0 x0 x 2x2 0 x 2x01， 所以 x0 1 2，所以切点坐标为 1 2， 1 4 ，切点到直线xy 20 的距离 d 1 2 1 42 2 72 8 ， 所以抛物线上的点到直线xy20 的最短距离为 7 2 8 . 13.已知直线l1为曲线 yx 2x 2 在点 (1,0)处的切线， l 2为该曲线的另一条切线，且 l1l2. (1)求直线 l2的方程； 第 12 页 共 12 页 (2)求由直线l1，l2和 x 轴所围成的三角形的面积 . 解(1)y lim x0 y x lim x0 x x 2 x x 2 x2x 2 x 2x1， y|x13， 直线 l1的方程为y3(x1)，即 y3x3，设直线l2过曲线yx2x2 上的点 P(x0，x2 0x02)，则直线 l2的方程为y(x2 0x02)(2x01)(xx0). l1l2，3(2x01) 1，x0 2 3， 直线 l2的方程为y 1 3x 22 9 . (2)解方程组 y 3x3， y 1 3x 22 9 ， 得 x1 6， y 5 2. 又直线 l1，l2与 x 轴交点坐标分别为(1,0)， ( 22 3 ，0)， 所求三角形面积S 1 2 5 2 1 22 3 125 12 .