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1、1 高中立体几何 第二节空间几何体的表面积和体积 A组基础题组 1.(2016广东 3 月适应性考试) 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为() A.12 B.6 C.4 D.2 2.(2015山东 ,9,5 分 ) 已知等腰直角三角形的直角边的长为2, 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体的体积为() A.B.C.2D.4 3.(2015课标 ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为() A. B. C. D. 4.(2015课标 ,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著
2、, 书中有如下问题: “今有委 米依垣内角 , 下周八尺 , 高五尺 . 问:积及为米几何?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米( 如图 , 米堆为一 个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧长为8 尺, 米堆的高为5 尺 ,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺 , 圆周率约为3, 估算出堆放的米约有() 2 A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛 5.(2017福建南平模拟) 如图 , 一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2 的正方形 ( 含一条对角线 ), 则该几何体的侧面积为() A.8(1+) B.4(1+) C.2(1+)
3、D.1+ 6.(2016 山西太原一模) 如图 , 平面四边形ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,BDCD,将其沿对角线BD折成四面 体 A-BCD, 使平面 ABD平面 BCD,若四面体A-BCD 的顶点在同一个球面上, 则该球的表面积为() A.3 B.C.4D. 7. 在棱长为3 的正方体ABCD-A1B1C1D1中 ,P 在线段 BD1上, 且= ,M 为线段 B1C1上的动点 , 则三棱锥M-PBC 的体积为. 8. 一个几何体的三视图如图所示( 单位 :m), 则该几何体的体积为m 3. 3 9. 已知 H是球 O的直径 AB上一点 ,AHHB=1 2,AB 平面 ,H
4、为垂足 , 截球 O所得截面的面积为, 则球 O的表面积为. 10.(2015课标 ,19,12分) 如图 , 长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8, 点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4. 过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形. (1) 在图中画出这个正方形( 不必说明画法和理由); (2) 求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值. 4 B组提升题组 11. 如图 , 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为() A.6 B.9 C.12 D.18 12.(201
5、7贵州遵义模拟) 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为() A.24+12B.24+5C.12+15D.12+12 13. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.16+8 B.8+8C.16+16D.8+16 14.(2015课标 ,10,5分) 已知 A,B 是球 O的球面上两点, AOB=90 ,C 为该球面上的动点. 若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36, 则球 O的表面积为 () A.36 B.64 C.144D.256 5 15.(2017安徽师大附中) 某个长方体被一个平面所截, 得到的几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的 体积为 () A.4 B
6、.2C.4D.8 16.(2016课标全国 ,19,12分)如图 , 菱形 ABCD 的对角线AC与 BD交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD于点 H.将 DEF沿 EF折到 DEF 的位置 . (1) 证明 :ACHD; (2) 若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2, 求五棱锥D-ABCFE的体积 . 6 答案全解全析 A组基础题组 1.D该几何体为四棱锥P-ABCD,其中 PA 平面 ABCD, 如图 , 则该几何体的体积为V= 2 (2+1) 2=2. 2.B依题意知 , 该几何体是以为底面半径 ,为高的两个同底圆锥组成的组合体, 则其体积为
7、() 2 2=, 故选 B. 3.D如图 , 由已知条件可知, 截去部分是以 ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方 体的棱长为a, 则截去部分的体积为a 3, 剩余部分的体积为 a 3- a3= a3, 它们的体积之比为 . 故选 D. 4.B设圆锥底面的半径为R尺, 由 2R=8得 R= , 从而米堆的体积V= R 25= ( 立方尺 ), 因 此堆放的米约有 22( 斛). 故选 B. 5.B由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示: 底面为正方形,AB=AD=2,棱锥的高为SA=2. SB=SD=2,CDSD,CB SB, 7 所以 S侧=SSAB+SSAD+S
8、SCB+SSCD =2SSAB+2SSCB =2 22+222 =4+4. 故选 B. 6.A由题意可得BD=AC=,BC=, BDC与ABC 都是以 BC为斜边的直角三角形, 由此可得BC中点 到 A,B,C,D四个点的距离相等,故可得该三棱锥的外接球的直径为, 所以该外接球的表面积 S=4=3. 7.答案 解析= , 点 P到平面 BC1C的距离是点D1到平面 BC1C距离的, 即为=1,M为线段 B1C1上的 点, SMBC= 33= , VM-PBC=VP-MBC= 1= . 8.答案 解析该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成,故体积 V=1 24+ 222= (m 3). 9.答案 解析
9、如图 , 设截面小圆的半径为r, 球的半径为R,因为 AH HB=1 2, 所以 OH=R. 由勾股定理 , 有 R 2=r2+OH2 , 又由题意得r 2=,则 r=1, 故 R2=1+ , 即 R 2= . 由球的表面积公式 ,得所求表面积 S=4R 2= . 10.解析(1) 交线围成的正方形EHGF 如图 : 8 (2) 作 EM AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为 EHGF 为正方形 , 所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH=-=6,AH=10,HB=6. 因为长方体被平面 分成两个高为10 的直棱柱 , 所以其体积的比值为也正确.
10、B组提升题组 11.B由三视图可得, 该几何体为如图所示的三棱锥, 其底面 ABC为等腰三角形且BA=BC,AC=6,AC边上 的高为 3,SB底面 ABC,且 SB=3,所以该几何体的体积V= 633=9. 故选 B. 12.A由已知可得该几何体为三棱柱, 底面是斜边长为4, 斜边上的高为的直角三角形, 棱柱的高为4, 故棱柱的表面积S=2 4+44+44sin30+44cos30=24+12, 故选 A. 13.A由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成. 其中长方体的长、宽、高分别为4、 2、2, 圆 柱的底面半径为2, 高为 4. 所以该几何体的体积为V=422+ 2 24=16+
11、8. 故选 A. 14.CAOB的面积为定值 , 当 OC垂直于平面AOB时, 三棱锥 O-ABC的体积取得最大值. 由 R 3=36 得 R=6. 从而球 O的表面积S=4R 2=144. 故选 C. 9 15.D根据题中三视图可得该几何体的直观图如图所示, 则这个几何体的体积为223=8. 故选 D. 16.解析(1) 证明 : 由已知得AC BD,AD=CD. 又由 AE=CF得=, 故 AC EF. 由此得 EFHD,EF HD, 所以 AC HD. (2) 由 EF AC得= . 由 AB=5,AC=6得 DO=BO=-=4. 所以 OH=1,DH=DH=3. 于是 OD 2+OH2=(2 ) 2+12=9=DH2, 故 ODOH. 由(1) 知 ACHD, 又 AC BD,BDHD=H,所以 AC 平面 BHD, 于是 AC OD. 又由 OD OH,AC OH=O, 所以 OD平面 ABC. 又由=得 EF= . 五边形 ABCFE 的面积 S= 68- 3=. 所以五棱锥D-ABCFE 的体积 V= 2=.