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1、- 1 - 2010 年安徽高考文科数学试题及答案 本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，第卷第1 至第 2 页，第卷第3 至第 4 页。全卷满分l50 分，考试时间l20 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地 方填写姓名和座位号后两位。 2.答第卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答第卷时，必须使用0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上
2、书写，要求字体工整、笔迹清 晰。作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出， 确认后再用0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清 楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效 ，在试题卷 、草稿纸 上答题无效 。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式： S表示底面积，h 表示底面上的高 如果事件A 与 B 互斥，那么棱柱体积V=Sh P(A+B)=P(A)+P(B ）棱锥体积V= 1 3 Sh 第卷 (选择题 共 50 分) 一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的 (1)若 A=|10xx，B=|30x
3、x，则 AB = (A)(-1， + ) (B)(-，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) 1.C 【解析】(1,),(,3)AB，(1,3)AB，故选 C. 【方法总结】先求集合A、B，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集. (2)已知 2 1i，则 i(13i)= (A)3i(B)3i(C)3i(D)3i 2.B 【解析】(13 )3iii ，选 B. 【方法总结】直接乘开，用 2 1i 代换即可 . (3)设向量(1,0)a, 11 (,) 22 b,则下列结论中正确的是 - 2 - (A) ab(B) 2 2 a b (C)/ /ab(D)ab与b垂直 3.D 【解析
4、】 11 (,) 22 ab =，( )0abb ，所以ab与b垂直 . 【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论. （4）过点（ 1，0）且与直线x-2y-2=0 平行的直线方程是 （A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0 4.A 【解析】设直线方程为20xyc，又经过(1, 0)，故1c，所求方程为210xy. 【方法技巧】 因为所求直线与与直线x-2y-2=0 平行， 所以设平行直线系方程为 20xyc ， 代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中 方程哪一个过点（1，0
5、）且与直线x-2y-2=0 平行 . (5)设数列 n a 的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a 的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D） 64 5.A 【解析】 887 644915aSS. 【方法技巧】直接根据 1( 2) nnn aSSn即可得出结论. （6）设0abc,二次函数 2 ()fxaxbxc的图像可能是 6.D 【解析】当0a时，b、 c 同号， （C） （D）两图中0c，故0,0 2 b b a ，选项（ D）符 合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 0a 或 0a 两种情况分类考虑.另外还 要注意 c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要
6、注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. - 3 - （7）设 232 555 322 555 abc（） ,（），（） ，则 a，b，c 的大小关系是 （A）acb （B）abc （C） cab （ D）bca 7.A 【解析】 2 5 yx在 0x时是增函数， 所以 ac ， 2 () 5 x y在0x时是减函数， 所以cb。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. （8）设 x,y 满足约束条件 260, 260, 0, xy xy y 则目标函数z=x+y的最大值是 （A）3 （ B） 4 （C） 6 （D）8 8.C 【解析】 不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点
7、是(3, 0), (6, 0), (2, 2)，目标函数zxy 在(6, 0)取最大值6。 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即 几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最 小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值. （9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 （A）372 （B）360 （C ） 292 （D）280 9.B 【解析】 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长 方体的全面积加上面长方体的4 个侧面积之和。 2(10810282)2(6882)360S. 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道
8、是两个长方体的 组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上 面长方体的4 个侧面积之和。 （10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选 择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （A） 3 18 （A） 4 18 （A） 5 1 8 （A） 6 18 10.C 【解析】正方形四个顶点可以确定6 条直线，甲乙各自任选一条共有36 个基本事件。两条直 线相互垂直的情况有5 种（ 4 组邻边和对角线）包括10 个基本事件，所以概率等于. 【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件
9、数，然 后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率. - 4 - 第卷 (非选择题共 100分) 二填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置 (11)命题 “ 存在xR，使得 2 250xx ” 的 否定是 11.对任意xR，都有 2 250xx . 【解析】特称命题的否定时全称命题，“ 存在 ” 对应 “ 任意 ” . 【误区警示】 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存 在量词，或者对于“”的否定用“”了 .这里就有注意量 词的否定形式 .如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都 不是” . (12)抛物线 2 8yx的焦点坐标是 12.(
10、2, 0) 【解析】抛物线 2 8yx，所以4p，所以焦点(2, 0). 【误区警示】 本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p，或求出p后， 误认为焦点(, 0)p， 还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论. (13)如图所示，程序框图(算法流程图 )的输出值x= 13.12 【解析】程序运行如下:1,2,4,5,6,8,9,10,12xxxxxxxxx,输出 12。 【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，根据判断条件，要么几步后就会输出结 果，要么就会出现规律，如周期性，等差或等比数列型. - 5 - (14)某地有居民100 000 户，其中普通家庭99 000 户 ,高收入家
11、庭1 000 户从普通家庭中以简 单随机抽样方式抽取990 户， 从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00 户进行调查， 发现 共有 120 户家庭拥有3 套或 3 套以上住房，其中普通家庭50 户，高收人家庭70 户依据这 些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合 理估计是. 14.5.7% 【解析】该地拥有3 套或 3 套以上住房的家庭可以估计有： 5070 9900010005700 990100 户， 所以所占比例的合理估计是57001000005.7%. 【方法总结】本题分层抽样问题，首先根据拥有3 套或 3 套以上住房的家庭所占的比例
12、，得 出 100 000 户，居民中拥有3 套或 3 套以上住房的户数，它除以100 000 得到的值，为该地拥 有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计. (15)若 0,0,2abab ， 则下列不等式对一切满足条件的 ,a b恒成立的是 (写出所 有正确命题的编号) 1ab；2ab； 22 2ab； 33 3ab； 11 2 ab 15.， 【解析】令1ab，排除；由221ababab，命题正确； 222 ()2422abababab，命题正确； 112 2 ab ababab ，命题正确。 【方法总结】 三、解答题：本大题共6 小题共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演
13、算步骤解答 写在答题卡上的指定区域内。 16、 （本小题满分12 分） ABC的面积是30，内角,A B C所对边长分别为,a b c， 12 cos 13 A。 ( )求 ABAC ； ( )若1cb，求 a 的值。 16.【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用 余弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 （1）根据同角三角函数关系，由 12 cos 13 A得sin A的值，再根据ABC面积 公式得156bc；直接求数量积ABAC .由余弦定理 222 2cosabcbcA，代入已知条 件1cb，及156bc求 a 的值 . 解：由 12 co
14、s 13 A，得 2125 sin1() 1313 A. - 6 - 又 1 sin30 2 bcA，156bc. （） 12 cos156144 13 ABACbcA. （） 222 2cosabcbcA 2 12 ()2(1cos)12 156(1)25 13 cbbcA， 5a. 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面 积是 30， 12 cos 13 A，所以先求sin A的值，然后根据三角形面积公式得bc的值 .第二问中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可. 17、 （本小题满分12 分） 椭圆E经过点2, 3A，对称
15、轴为坐标轴， 焦点 12 ,FF在 x 轴上，离心率 1 2 e。 ( )求椭圆E的方程； ( )求 12 F AF的角平分线所在直线的方程。 17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程 与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】（1）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，把点2, 3A代入椭圆方程，把离心率 1 2 e用 ,a c表示，再根据 222 abc，求出 22 ,ab，得椭圆方程；（2）可以设直线l 上任一点坐标为 (,)xy ，根据角平分线上的点到角两边距离相等得 | 346 |
16、|2 | 5 xy x. 解： （）设椭圆E的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1. 11 ,3,1. 2243 13 1,2, 1. 1612 3 ()(2, 0),(2, 0),(2), 4 3460.2. xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将 （ 2， 3） 代 入 ， 有解 得 ：椭 圆的 方 程 为 由 （） 知 F所 以 直 线的 方 程 为 y= 即直 线的 方 程 为由 椭 圆的 图 形 知 ，F的 角 平 分 线 所 在 直 线 的 斜 率 为 正 12 12 346 2 5 34
17、6510,280, xy AFx xyxxy AF 数 。 设 P（ x,y ） 为F的 角 平 分 线 所 在 直 线 上 任 一 点 ， 则 有 若得其 斜 率 为 负 ， 不 合 题 意 ， 舍 去 。 于 是 3x-4y+6=-5x+10,即 2x-y-1=0. 所 以 ，F的 角 平 分 线 所 在 直 线 的 方 程 为 2x-y-1=0. - 7 - 【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，根据题目满足的条件求 出 22 ,ab，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何 意义，即角平分线上的点到角两边距离相
18、等得方程. - 8 - 18、 （本小题满分13 分） 某市 2010 年 4 月 1 日 4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入 颗粒物） : 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, () 完成频率分布表； （）作出频率分布直方图； （）根据国家标准，污染指数在050 之间时，空气质量为优：在51100 之间时，为良；在 101150 之间时，为轻微污染；在151200 之间时，为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准，
19、对该市的空气质量给出一个简短评价. 18.【命题意图】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题 的能力，数据处理能力和运用意识. 【解题指导】 （1）首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指 数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。 ()答对下述两条中的一条即可： （1）该市一个月中空气污染指数有2 天处于优的水平，占当月天数的 1 15 ，有 26 天处于良 的水平，占当月天数的 13 15 ，处于优或良的天数共有28 天，占当月天数的 14 15 。说明该 市空气质量基本良好。 （2）轻微污染有2 天，占当月天数的 1 15
20、 。污染指数在80 以上的接近轻微污染的天数有15 天，加上处于轻微污染的天数，共有17 天，占当月天数的 17 30 ，超过50%，说明该市 空气质量有待进一步改善。 【规律总结】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等 于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距， 它们与 - 9 - 频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征 进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论. 19.(本小题满分13 分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是正方形， AB=2EF=2 ，E
21、F AB,EF FB,BFC=90 ， BF=FC,H为 BC的中点， ()求证： FH平面 EDB; （）求证： AC平面 EDB; （）求四面体BDEF的体积； 19.【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计 算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解题指导】（1） 设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG FH，得FH平面ED B； （2） 利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面 ABCD ，得 FHBC，FHAC，进而得EG AC，AC平面ED B； （ 3）证明 BF平面 CDEF ，得 BF为四面体 B-DEF的高
22、，进而求体积. (1), 1 / /, 2 1 / /, 2 / / / ACBDGGACEG GHHBC GHAB EFABEFG H EGFHEGED BFHED B 证 ： 设与交 于 点， 则为的 中 点 ， 连， 由 于为的 中 点 ， 故 又四 边 形为 平 行 四 边 形 ， 而平 面，平 面 A B C D EF H - 10 - 0 , ., . ./ /, ,90,. F BBF GF H F HBFF G HBCF HBC F HABC D F HACF HEGACEGACBDEGBDG ACED B F BBF CBFC D EF BFBD EFBCA （） 证 ： 由
23、 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， 有 ABBC。 又 EF/AB，EFBC。 而 EF，EF平 面EF AB又为的 中 点 ，。 平 面 又，又， 平 面 （ ） 解 ：EF平 面 为 四 面 体的 高 ， 又2,2 111 *1 *2 *2. 323 BDEF BBFF C V BF 【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面 平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线 面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 20.（本小题满分12 分） 设函数sincos1fxxxx，0 2 x
24、，求函数fx的单调区间与极值。 20.【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合 应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】 （1）对函数sincos1fxxxx求导，对导函数用辅助角公式变形，利 用导数等于0 得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性， 求极值 . , , , ()12(). 4 23 ()0() 422 () xx xxxx xx 解 ： 由 f(x)=sinx-cosx+x+1,0x2, 知 fsin 令 f， 从 面 sin， 得， 或， 当变 化 时 ， f， f(x)变 化 情 况 如 下 表 ： 3
25、2 2 333 2 222 因 此 ， 由 上 表 知 f(x)的 单 调 递 增 区 间 是 （ 0，） 与 （， ） ， 单 调 递 增 区 间 是 （，） ， 极 小 值 为 f()=， 极 大 值 为 f()= - 11 - 【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0 得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. - 12 - （21） （本小题满分13 分) 设 12 , n CCC是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线 3 3 yx相切，对每一个正整数n ,圆 n C都与圆 1n C
26、 相互外切，以 n r表示 n C的半径，已知 n r 为递增数列 . ()证明： n r为等比数列； （）设 1 1r ，求数列 n n r 的前 n 项和 . 21.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概 括能力以及推理论证能力. 【解题指导】（1） 求直线 倾斜 角的正 弦，设 n C的圆 心为(, 0) n ，得2 nn r，同理得 11 2 nn r，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 n r中 1n r 与 n r的关系，证明 n r为等比数列； （2）利用（ 1）的结论求 n r的通项公式，代入数列 n n r ，
27、 然后用错位相减法求和. - 13 - n nnnn n n+1n+1n+1nnn+1n+1nn n+1n n n11n nn n n 12 331 ,sin, 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n * 3 r 12 . rr x C 解 ： （ 1） 将 直 线 y=的 倾 斜 角 记 为 , 则 有 tan= 设的 圆 心 为 （， 0） ， 则 由 题 意 得 知， 得； 同 理 ， 从 而， 将代 入 ， 解 得 故为 公 比的 等 比 数 列 。 （） 由 于， 故， 从 而， 记 S 121 n 121 n 121 n 1 1 , r 12
28、* 33* 3* 3 1* 32* 3(1)* 3* 3 3 133.3* 3 3 1333 * 3() * 3, 2 22 3 9139(23) * 3 () * 3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n nn n Sn 则 有 S S , 得 2S 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关 于数列相邻项 n a与 1n a之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项 公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数 列时，通常是利用前n 项和 n S乘以公比，然后错位相减解决. - 14 -