电磁场理论复习题(题库答案)分析.pdf

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1、第 1 页 共 20 页 第 12 章 矢量分析宏观电磁现象的基本规律 1.设：直角坐标系中，标量场zxyzxyu的梯度为A，则 A=，A 0 。 2.已知矢量场xzexyezyeA zyx ?4?)(? 2 ，则在 M （1，1，1） 处A 9 。 3.亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A） ，则必 须同时给定该场矢量的旋度及散度。 4.写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程 （结构方程）：。 5.电 流 连 续 性 方 程 的 微 分 和 积 分 形 式 分 别 为 和。 6.设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则 （a）E、B皆与 A垂直。

2、（b）E与 A垂直，B与 A平行。 （c）E与 A平行，B与 A垂直。 （d）E、B皆与 A平行。答案： b 7.设自由真空区域电场强度(V/m)sin(? 0 ztEeE y ，其中 0 E、 为常数。则空间位移电流密度 d J（A/m 2）为： （a）)cos(? 0 ztEey（b）)cos(? 0 ztEey （c）)cos(? 00 ztEey（d）)cos(? 0 ztEey答案： c 8.已 知 无 限 大 空 间 的 相 对 介 电 常 数 为4 r ， 电 场 强 度 )(?)(?)(?yxezxezye zyx AA EJHBED, t q SdJ S t J 第 2 页

3、共 20 页 (V/m) 2 cos? 0 d x eE x ， 其中 0、 d为常数。则dx处电荷体密度为： （a） d 0 4 （b） d 00 4 （c） d 0 2 （d） d 00 2 答案： d 9.已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为 )R()sin?cos2?( )R()sin?cos?( 2 0 3 0 0 ree r B ree R E r r 求（1）常数B； （2）球面上的面电荷密度； （3）球面内外的体电 荷密度。 Sol. (1) 球面上 由边界条件 tt EE 21 得：sinsin 2 3 00 R B R 2 0 2RB （2）由边界条件 snn DD

4、 21 得： cos 6 )()( 0 0 210210 R EEEE rrnns （3）由D得： )R(0 )R(0 )sin( sin 1)(1 0 0 0 2 2 00 r r E rr Er r E r 即空间电荷只分布在球面上。 10.已知半径为R0、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为 )R()sin?cos2?( A )R()sin?cos?(2 03 0 ree r ree H r r 且球外为真空。 求（1）常数 A； （2）球面上的面电流密度JS 大小。 第 3 页 共 20 页 Sol. 球面上（r=R0） ： r H为法向分量；H为法向分量 （1）球面上由边界条件 nn

5、 BB 21 得： rr HH 201 3 0 0 RA （2）球面上由边界条件 stt JHH 21 得 sin)2(| )( 0 21 0 Rrs HHJ 第 4 页 共 20 页 第 3 章 静电场及其边值问题的解法 1. 静电场中电位与电场强度E的关系为；在两种 不同的电介质（介电常数分别为 1 和 2 ）的分界面上，电位满足 的边界条件为。 2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为，则静电场：E 0 ，E= 。 3. 电 位和 电 场 强 度E满 足 的 泊 松 方 程 分 别 为、。 4. 介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度 为。 5. 对于两种不同电介质的分界面，电

6、场强度的切向分量及电位 移的法向分量总是连续的。 6. 如图， 1 E、 2 E分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度， ，30，则60 ，| 21 EE。 7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度 s与电位沿其 法向的方向导数 n 的关系为。 8. 如图，两块位于x = 0 和x = d处无限大导体平板的电位分别为 0、U0，其内部充满体密度 1 2 1 E 2 E 1 2 E nn 2 2 1 121 ； 2 E 2 2 E 2 1 m w 3 s n 0 1 02 U o x d 第 5 页 共 20 页 e xd ) 的电荷（设内部介电常数为） 。 （1）利用直接积 分法

7、计算0 a各点 的电位分布。 第 6 页 共 20 页 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于： 无限大接地导体平面 + 接地导体 球 边界条件：0 球面平面 使0 平面 ，引入镜像电荷： 0 ,qqdz 使0 球面 ，引入镜像电荷： 02 22 2 01 2 1 | , | , q d a q z a q d a z a z q d a q d a z z 轴上z a各点的电位： dz q zz q zz q dz q 2 2 1 10 0 |4 1 dzadz a dz q12 | 1 4 422 3 0 0 11. 已知接地导体球半径为R0，在x轴上关于原点（球心）对称放

8、置 等量异号电荷 +q、-q ，位置如图所 示。利用镜像法求（ 1）镜像电荷的 位置及电量大小； （2）球外空间电 位； （3）x轴上x2R0各点的电场强 度。 Sol. (1) 引入两个镜像电荷： 22 0 0 1 q q R R q， 22 0 0 2 0 1 R R R x z d x 0 q l o a z q 2 z 1 z1 q 2 q o qq x 0 R 0 R 0 R 1 q 1 x 2 x 2 q 第 7 页 共 20 页 2 )( 2 0 0 2 q q R R q， 22 0 0 2 0 2 R R R x （2） R q R q R q R q zyx 2 2 1 1

9、 0 4 1 ),(（略） 222 0)2(zyRxR， 222 01)2/(zyRxR 222 02 )2/(zyRxR， 222 0) 2(zyRxR （3）x轴上x2R0各点的电场强度： 2 0 2 0 2 0 2 0 )2()2/( 2/ )2/( 2/ )2( ? Rx q Rx q Rx q Rx q eE x 12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线 上放置一点电荷q，求（1）各镜像电荷的位置及电量； （2）两块 导体间的电位分布。 Sol. （1） 01 qq，)0,0,( a 02 qq，)0,0(a 03 qq，)0,0,(a （2） 3 3 2 2

10、 1 1 0 0 0 4 1 ),( R q R q R q R q zyx （略） 其中： 222 0 )(zayxR， 222 1 )(zyaxR 222 2 )(zayxR， 222 3 )(zyaxR y x 0 q 45 0, ,0Pa 45 1 q 2 q 3 q )0,0(a )0,0,( a)0,0,(a 第 8 页 共 20 页 1 2 1 H 2 H 1 2 第 4 章 恒定电场与恒定磁场 1.线 性 和 各 项 同 性 的 均 匀 导 电 媒 质 内 部 电 荷 体 密 度 等 于 0 ，净 余 电 荷 只 能 分 布 在 该 导 电 媒 质的表 面 上。 2.线性和各项

11、同性的均匀导电媒质中，J 0 ； D 0 。 3.在电导率不同的导电媒质分界面上， 电场强度E和电流密度J的边 界条件为：、。 4.在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小 E的关系为。 5.恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度 B的关系为；A 所满足的泊松方程为。 6.如图， 1 H、 2 H分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度， 21 3， 1 30， 则 2 、12 BB分别为：答案：B （A）60、3。（B）60、33。 （C）45、3 。 （D）45、33。 7.对线性和各项同性磁介质（磁导率设为） ，恒定磁场（磁场强 度大小为H ）的磁能密度 m w，V空间磁能 Wm

12、 = 。 8.已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：CxyzexyeyxeA zyx ? 22 ，C tt EE 21nn JJ 21 2 Epc AB JA 2 2 2 1 H dVH V 2 2 1 第 9 页 共 20 页 为常数，且A满足库仑规范。求（ 1）常数C ； （2）电流密度J； （3）磁感应强度B。 （直角坐标系中：)(?)(?)(? y a x a e x a z a e z a y a ea x y z zx y y z x ） Sol. (1) 库仑规范： 0A4022CCxyxyxy z A y A x A z y x (2) 由JA 2 ，xyzexyeyxeA zyx

13、 4? 22 得： xeye z A y A x AA J yx 2?2? 11 2 2 2 2 2 22 (3) AB)(?4?4? 22 xyeyzexze zyx 9.(P.136. 习题 4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的 导电媒质（ 11 ,和 22 ,） ，其厚度分别为 1 d和 2 d。若在两极板上加 上恒定的电压 0 U。试求板间的电位、电场强度E、电流密度J以 及各分界面上的自由电荷密度。 Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（和）替代导电媒质，静 电场场强分别设为E1、E2 221121 02211 EEDD UdEdE )( ? )(0? 21 2112 0

14、1 2 1 2112 02 1 dxd dd U eE dx dd U eE x x 电位移： 2112 021 1121 ? dd U eEDD x )( )( )( )(0 )( 20 2112 1121 1211 1 2112 02 1 dxdU dd dx dxEdE dxx dd U xE x 1 第 10 页 共 20 页 静电比拟：，DJEE，则导电媒质中的恒定 电场： )( )( )(0 20 2112 1121 2 1 2112 02 1 dxdU dd dx dxx dd U 1 ， )(? )0(? )( 2 2112 01 1 2112 02 dxd dd U e dx

15、 dd U e xE 1x x 2112 021 ? dd U eJ x 2112 0211 1 1 1 0 dd U xn x s 2112 0122 2 2 2 )( 21 dd U xn ddx s 2112 012212 2 1 1 2 2 1 1 )( 11 1 dd U xxnn dxdx dx s 可知： 非理想电容器两极上的电荷密度为非等量 异号 210ddx s x s 。 只有理想电容器才有电容定义。 第 11 页 共 20 页 第 5 章电磁波的辐射 1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为（略）， （略）。 2. 坡印亭矢量S的瞬时表示式是（略），平均值是 （略）。

16、 3. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为0 2 2 2 t E E， 这个方程在正弦电磁场的情况下变为。 4. 在无损耗的均匀媒质,中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹 方程为0 22 HkH，其中 a 。 (a) 22 k(b) 2222 k (c) 2 2 k (d) 2 2 1 k 5.在时变电磁场中，磁感应强度B与位的关系为， 电场强度E与位的关系为。 6.电偶极子天线的功率分布与的关系为a。 (a) 2 sin(b) sin (c) 2 cos (d)cos 7.自由空间的原点处的场源在t时刻发生变化，此变化将在 b 时刻影响到 r处的位函数和A。 22 0Ek E BA A

17、 E t 第 12 页 共 20 页 （a） c r t（b） c r t(c)t(d)任意 8.在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标 的关系是 c （a） r 2 sin （b） 2 sin r (c) r sin (d) 2 2 sin r 9、已知真空中某时谐电场瞬时值为)cos()10sin(?),(zktxetzxE zy 。试 求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。 解：所给瞬时值表示式可以写成：)10sin( ?Re),( tjzjk y eexetzxE z 因此电场强度的复矢量表示为： ?( , )sin(10) z jk z y E x ze

18、x e 由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复 矢量为 00 00 00 ? 11 ( , )() ? 10 ?sin(10)cos(10) z xyz xyz yy xz jk zz xz eee H x zE jjxyz EEE EE ee jzjx k exexe j 功率流密度矢量的平均值 av S等于复坡印廷矢量的实部，即 第 13 页 共 20 页 * * * 2 00 ? 11 Re()Re()Re 22 1 ?Re() 2 51 ?Resin(20)sin (10) 2 ? xyz avxyz xyz xyzzyx zz xz eee SSEHEEE HHH

19、 e E He E H kk exex j 2 0 sin (10) 2 z z k ex 10、已知真空中时变场的矢量磁位为)cos( ?),( 0 kztAetzA x 求：(1) 电场强度E和磁场强度H； (2) 坡印廷矢量S及其平均值 av S。 解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为 ?Re),( 0 tjjkz x eeAetzA 则矢量磁位的复数形式为 0 ?( ) jkz x A ze A e 根据磁场强度复数形式H与矢量磁位复数形式A之间关系可以求出 0 00 ? 11 ?( )()() xyz jkz x yy xyz eee A H zAeejkAe xyzz AAA 磁场

20、强度的瞬时值为：) 2 cos()(?),( 0 kztkAetzH y 根据麦克斯韦方程组的第一个方程DjJH，此时0J，电场强 度与磁场强度之间关系为： 2 0 0000 ? ?11 ?( )() xyz yjkz x x xyz eee H ek A E zHee jjxyzjzj HHH 第 14 页 共 20 页 电场强度的瞬时值为：) 2 cos( ? ),( 0 2 kzt Ak etzE x (2) 坡印廷矢量为 ) 2 (cos?) 2 (cos? 2 2 0 3 2 2 0 3 kzt Ak ekzt Ak eeHES zyx 坡印廷矢量的平均值为 32 * 0 1 ?Re

21、()Re() 22 avz k A SSEHe 第 15 页 共 20 页 第 6 章、均匀平面波的传播 1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成 波为圆极化波， 则它们的振幅相同，相位相差。 2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电 场的振幅相等，相位相差。 3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质0, 1,25.2 rr 表 面上，则电场反射系数为。 4. 在 自 由 空 间 传 播 的 均 匀 平 面 波 的 电 场 强 度 为 mVztaE x /20cos100， 则波的传播方向为， 频率为 3 10 9Hz ，波长为 0.1m ，波的极

22、化方式为x，对应的磁场 为， 平 均 坡 印 亭 矢 量 av S 为。 5. 均匀平面波电场方向的单位矢量 E e、磁场方向的单位矢量 H e以及 传播方向的单位矢量 n e三者满足的关系是。 6. 设 海 水 的 衰 减 常数 为， 则 电 磁 波 在 海 水 中 的 穿 透 深 度 为， 在此 深 度 上电 场 的 振 幅 将 变 为 进 入 海水 前 的。 7. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为 a 。 （a） 2 （b） 2 (c) 2 (d) 4 8. 在无源的真空中， 已知均匀平面波的 zj eEE 0 和 zj eHH 0 ，其中 的 0 E和 0 H为常矢量，则必有 c 。

23、 / 2 1/ 5 z 100 cos20/ 377 y Hatz A m 2 5000 / 377 avz SaW m nEH eee 1 1 e 第 16 页 共 20 页 (a) 0 0 Eez; (b) 0 0 Hez; (c) 00 0EH; (d)0 00 HE 9. 以 下 关 于 导 电 媒 质 中 传 播 的 电 磁 波 的 叙 述 中 ， 正 确的 是 b 。 (a) 不再是平面波 (b) 电场和磁场不同相 (c) 振幅不变 (d) 以 TE波的形式传播 10. 已知空气中存在电磁波的电场强度为 8 0 ?cos(6102)V/m yE tzEe 试问：此波是否为均匀平面波

24、？传播方向是什么？求此波的频率、 波长、相速以及对应的场强：E、H、H。 解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强 幅度、 相位和方向均相同的电磁波。 电场强度瞬时式可以写成复矢量： 0 ? jkz yE e Ee 该式的电场幅度为 0 E，相位和方向均不变，且?0 z E e? z Ee，此波 为均匀平面波。传播方向为沿着z方向。 tt 8 106 8 106 波的频率 8 3 10 (Hz)f 波数 2k 波长 2 1 (m) k 相速 8 3 10 (m/s) p dz v dtk 第 17 页 共 20 页 真空波阻抗 0 0 120 () W Z 由于是均匀平面波

25、，因此磁场为 0 1 () 120 jkz zx W E e Z HeEe 80 ?Recos(6102) 120 jt x E HHetze 11. 在 无 界 理 想 介 质 中 ， 均 匀 平 面 波 的 电 场 强 度 为 )2102sin( 8 0 ztE x eE，已知介质的1 r，求r，并写出 H的表 达式。 解：根据电场的瞬时表达式可以得到 8 102，2k，而 c k r rr00 9 2 kc r 电场强度的瞬时式可以写成复矢量为 2 2 0 jzj x eEeE 波阻抗为 40 W Z，则磁场强度复矢量为 2 2 0 40 )( 1 jzj yz W e E Z eEeH

26、 因此磁场为 )2102sin( 40 8 0 zt E y eH 12. 铜的电导率S/m108.5 7 ，1 rr。求下列各频率电磁波在铜 内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。 (1) MHz1f；(2) MHz100f；(3) GHz10f 第 18 页 共 20 页 解：已知F/m10 36 1 9 0 和H/m104 7 0，那么 18 0 10044.1 1 2ff r (1) 当MHz1f时，110044.1 12 ，则铜看作良导体，衰减常数 和相位常数分别为 3 10132.15132.15 2 f 相速：m/s4152.010152.4 4 fv p 波长：m10152.

27、4 2 4 透入深度：m106.6 1 5 波阻抗：)1(1061.2)1(1061. 2)1( 2 47 jfjjZW (2) 当MHz100f时，110044. 1 10 ，则铜仍可以看作为良导体， 衰减常数和相位常数分别为 4 10132.15132.15 2 f 相速：m/s152.410152.4 4 fv p 波长：m10152.4 2 5 透入深度：m106.6 1 6 波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1( 2 37 jfjjZW (3) 当GHz10f时，110044. 1 8 ，则铜看作良导体，衰减常数 和相位常数分别为 5 10132.15132.15 2 f

28、 相速：m/s52.4110152.4 4 fv p 波长：m10152.4 2 6 透入深度：m106.6 1 7 第 19 页 共 20 页 波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1( 2 27 jfjjZW 13. 海水的电导率 S/m4，81 r， 1 r，求频率为 10 kHz、10 MHz 和 10 GHz时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。 解：已知F/m10 36 1 9 0 和H/m104 7 0 ，那么 9 10 9 81 f 。 (1) 当kHz10f时，110 9 8 10 9 81 59 f ，则海水可看作良导体， 衰减常数和相位常数分别为 397.01097.

29、 3 2 3 f 相速： 53 10582.110582.1fvp 波长：m83.15 2 透入深度：m52. 2 1 波阻抗： )1(099. 0)1(10316.0)1( 2 3 jfjjZW (2) 当MHz10f时，189.8810 9 8 2 ，则海水也可近似看作良导 体，衰减常数和相位常数分别为 55.121097. 3 2 3 f 相速： 63 1000.510582.1fv p 波长：m500.0 2 透入深度：m080. 0 1 波阻抗：)1(139. 3)1(10316.0)1( 2 3 jfjjZW (3) 当GHz10f时，1089.010 9 8 10 9 81 19 f ，则海水也可近似 看作弱导电媒质，衰减常数和相位常数分别为 第 20 页 共 20 页 3 80 2 600 18 c f 相速：m/s10 3 1 8 p v 波长：m 300 12 透入深度：m012. 0 1 波阻抗：)045. 01( 3 40 ) 2 1(jjZW