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1、2.3导数的运算与应用、几何意义高考命题规律1.高考常考考题.多数年份有考查,以“一小”的形式出现.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1导数的运算与几何意义1416161614613137命题角度2导数与函数的单调性12命题角度3导数与函数的极值和最值命题角度1导数的运算与几何意义高考真题体验对方向1.(2019全国7)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-
2、1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D解析y=aex+ln x+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.2.(2016山东10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f(x1),k2=f(x2),若函数具有T性质,则k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A项,f(x)
3、=cos x,显然k1k2=cos x1cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f(x)=1x(x0),显然k1k2=1x11x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C项,f(x)=ex0,显然k1k2=ex1ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f(x)=3x20,显然k1k2=3x123x22=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.3.(2019全国13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案y=3x解析由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,
4、0)处的切线方程为y=3x.4.(2018全国13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案y=2x-2解析y=(2ln x)=2x,当x=1时,y=2.切线方程为y=2(x-1),即y=2x-2.5.(2017天津10)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析f(x)=ax-ln x,f(x)=a-1x,f(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.6.(2016全国16)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲
5、线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x解析当x0时,-x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y=ex|x=0=1;由y=1x,可得y=-1x2,因为曲线y=1x(x0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,故-1xP2=-1,解得xP=1,由y=1x,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).典题演练提能刷高分1.(2019重庆模拟)若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=()A.e-12B.2e-12C.e12D.2e12答案B解析依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+
6、1的切点的横坐标为x0,则有yx=x0=2x0,于是有a=2x0,ax0=2ln x0+1,解得x0=e,a=2x0=2e-12,选B.2.过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+)B.1e,+C.(1,+)D.(2,+)答案C解析y=ex,y=ex,切线斜率为ex0,切线方程为y-y0=ex0(x-x0),当x=0时,y=-x0ex0+y0=-x0ex0+ex0=ex0(1-x0)1,则x0的取值范围是(1,+),故选C.3.(2019山西晋城二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0,则-x0).f(x)=
7、2x,则f(x0)=2x0=2,解得x=1.P(1,0).则点P到直线2x-y+6=0的距离d=|21-0+6|22+(-1)2=855.即为点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值.命题角度2导数与函数的单调性高考真题体验对方向1.(2017浙江7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.2.(2017山东10)若函数exf(x)(e=2.718 28
8、是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x答案A解析A项,令g(x)=ex2-x,则g(x)=e2x,因为e21,所以g(x)在R上单调递增,具有M性质;B项,令g(x)=exx2,则g(x)=ex(x2+2x)=x(x+2)ex,令g(x)=0,得x1=0,x2=-2,g(x)在(-,-2),(0,+)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,不具有M性质;C项,令g(x)=ex3-x,则g(x)=e3x,因为0e30恒成立;当00,所以h(t)在(0,
9、1上单调递增.所以h(t)max=h(1)=-13.所以a-13.当-1t0,所以g(t)在-1,0)上单调递增.所以g(t)min=g(-1)=13,所以a13.综上,-13a13.典题演练提能刷高分1.已知函数f(x)ex在其定义域上单调递减,则函数f(x)的图象可能是()答案A解析函数f(x)ex在其定义域上单调递减,f(x)ex=f(x)-f(x)ex0在定义域上恒成立,且不可恒为0,即f(x)f(x)恒成立.结合函数f(x)的图象及导数的几何意义可得选项A满足条件.选A.2.已知函数f(x)=-x3-7x+sin x,若f(a2)+f(a-2)0,则实数a的取值范围是()A.(-,1
10、)B.(-,3)C.(-1,2)D.(-2,1)答案D解析函数f(x)=-x3-7x+sin x,f(-x)=x3+7x-sin x=-f(x),即函数f(x)在R上为奇函数.f(x)=-3x2-7+cos x,f(x)=-3x2-7+cos x0,f(a2)-f(a-2)=f(2-a),a22-a,即a2+a-20.-2af(x),在下列不等关系中,一定成立的是()A.ef(1)f(2)B.ef(1)ef(2)D.f(1)ef(2)答案A解析由题意得f(x)-f(x)0,f(x)-f(x)ex0,f(x)ex-f(x)ex(ex)20,f(x)ex-f(x)(ex)(ex)20,f(x)ex
11、0,y=f(x)ex在R上是减函数.1f(2)e2,ef(1)f(2),故选A.4.(2019山东泰安二模)若函数f(x)=12(cos x+sin x)(cos x-sin x-4a)+(4a-3)x在区间0,2上单调递增,则实数a的取值范围为()A.a32B.32a3C.a1D.1a3答案A解析f(x)=12(cos 2x-sin 2x)-2a(cos x+sin x)+(4a-3)x=12cos 2x-2a(cos x+sin x)+(4a-3)x.f(x)=-sin 2x-2a(-sin x+cos x)+(4a-3).设t=sin x-cos x=2sinx-4,则x0,2时,x-4
12、-4,4,t-1,1,且sin 2x=1-t2,f(x)化为g(t)=-(1-t2)+2at+(4a-3)=t2+2at+4a-4;由题意知g(t)=t2+2at+4a-40恒成立,其中t-1,1;当-a-1,即a1时,g(t)在区间-1,1上单调递增,g(t)的最小值为g(-1)=1-2a+4a-40,解得a32;当-1-a1,即-1af(x)cos x(其中f(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.f42f6C.f62f4D.f6f(x)cos x,f(x)sin x-f(x)cos x0,F(x)0,y=F(x)在(0,)内为单调递增函数.F4F6,即f(4)sin
13、4f(6)sin 6,即f42f6,故选B.6.已知函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示,则满足f(x)0时,函数f(x)单调递增,当f(x)0时,函数f(x)单调递减.由图象可知,当0x1时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)4时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)f(x).所以满足f(x)f(x)的解集为x|0x4,故选D.7.已知函数f(x)=(ex-e-x)x2,若实数m满足f(log3m)-flog13m2f(1),则实数m的取值范围为()A.(0,3B.13,3C.(0,9D.0,13(3,+)答案A解析由题意得函数的定义
14、域为R,f(-x)=(e-x-ex)(-x)2=-f(x),函数f(x)为奇函数.又当x0时,f(x)=(ex+e-x)x2+(ex-e-x)2x0,函数f(x)在0,+)上单调递增,则在R上奇函数f(x)为增函数,f(log3m)-f(log13m)=f(log3m)-f(-log3m)=2f(log3m)2f(1),即f(log3m)f(1),log3m1,解得0m3,故选A.8.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且(x-1)f(x)ac解析f(x)=f(2-x),函数f(x)的图象关于直线x=1对称,c=f(3)=f(-1),(x-1)f(x)0,即f(x)在(-,
15、1)上为增函数;当x(1,+)时,f(x)f(0)f(-1),即bac.命题角度3导数与函数的极值和最值高考真题体验对方向1.(2016四川6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2答案D解析f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,易得f(x)在(-2,2)上单调递减,在(-,-2),(2,+)上单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.2.(2014全国12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(1,+)
16、C.(-,-2)D.(-,-1)答案C解析当a=0时,f(x)=-3x2+1存在两个零点,不合题意;当a0时,f(x)=3ax2-6x=3axx-2a,令f(x)=0,得x1=0,x2=2a,所以f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x=2a处取得极小值f2a=1-4a2,要使f(x)有唯一的零点,需f2a0,但这时零点x0一定小于0,不合题意;当a0,解得a2舍去),且这时零点x0一定大于0,满足题意,故a的取值范围是(-,-2).典题演练提能刷高分1.函数f(x)=13x3-32x2+2x+1在0,3的最小值是()A.53B.1C.0D.-176答案B解析f(x)=x2-3x+2=(
17、x-1)(x-2),令f(x)0得,x2,令f(x)0得,1x1,f(x)min=1.2.已知函数f(x)=2ef(e)ln x-xe(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-1eC.1D.2ln 2答案D解析f(x)=2ef(e)x-1e,f(e)=2ef(e)e-1e,f(e)=1e,f(x)=2x-1e.令f(x)=0,则x=2e.x(0,2e)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(2e,+)时,f(x)0时,0x0,xb时,f(x)0,f(x)在(0,b)上是增函数,在(b,+)上是减函数,当b1时,f(1)=-1+3b=1,b=231矛盾,当0b1时,f(b)
18、=1,即-(b)3+3(b)3=1,b=322.5.(2019河北衡水中学高三六模)已知函数f(x)=x+1ex-ax有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.-1e,+B.(-1,+)C.(-1,0)D.-1e,0答案D解析因为函数f(x)=x+1ex-ax有两个极值点,所以方程f(x)=-xex-a=0有两个不相等的实根.令g(x)=xex,则g(x)=xex与直线y=-a有两个不同的交点.又g(x)=1-xex,由g(x)=1-xex=0得x=1.所以当x0,g(x)=xex单调递增;当x1时,g(x)0时,g(x)=xex0.作出函数的简图如下:因为g(x)=xex与直线y=-a有两个
19、不同交点,所以0-a1e,即-1ea0.故选D.6.(2019河北武邑中学调研二)已知函数f(x)=aex-x2-(2a+1)x,若函数f(x)在区间(0,ln 2)上有极值,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(-,0)(0,1)答案A解析f(x)=aex-2x-(2a+1),令g(x)=aex-2x-(2a+1).由函数f(x)在区间(0,ln 2)上有极值g(x)在区间(0,ln 2)上单调且存在零点.所以g(0)g(ln 2)=(a-2a-1)(2a-2ln 2-2a-1)0,即a+10,解得a-1.故实数a的取值范围是(-,-1).故选A.7
20、.已知函数f(x)=xln x+12x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:0x01e;f(x0)+x00.其中正确的命题是.(填出所有正确命题的序号)答案解析由已知得f(x)=ln x+x+1(x0),不妨令g(x)=ln x+x+1(x0),由g(x)=1x+1,当x(0,+)时,有g(x)0总成立,所以g(x)在(0,+)上单调递增,且g1e=1e0,而x0是函数f(x)的极值点,所以f(x0)=g(x0)=0,即g1eg(x0),所以0x01e,即命题成立,则命题错误;因为ln x0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0ln x0+12x02+x0=x0(ln x0+x0+1)-12x02=-12x020,故正确,而错误.所以填.