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1、专题突破练19专题五立体几何过关检测一、选择题1.(2019河南开封一模,文5)已知直线m,n和平面,n,则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.153.(2019湘赣十四校联考二,文6)已知直线l平面,直线m平面,则下列四个结论:若,则lm;若l,则m;若lm,则;若m,则l.其中正确的结论的个数是()A.0B.1C.2D.34.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正
2、视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.85.(2019河北石家庄二模,文8)设l表示直线,表示不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l,且,则lB.若,且,则C.若l,且l,则D.若,且,则6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.287.(2019安徽淮南一模,文8)某圆锥的侧面展开图是面积为3,圆心角为23的扇形,则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为()A.12B.13C.14D.158.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积
3、为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.92C.6D.3239.(2019山东淄博一模,文7)一个底面是正三角形,侧棱和底面垂直的三棱柱,其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为124,则侧视图中的x的值为()A.932B.9C.33D.310.(2019湖南六校联考,文11)如图,在平面四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,AB=AD=CD=2,BD=22,BDC=90,将ABD沿对角线BD折起至ABD,使平面ABD平面BCD,则在四面体ABCD中,下列结论不正确的是()A.EF平面ABCB.异面直线CD与AB所成的角为90C.异面直
4、线EF与AC所成的角为60D.直线AC与平面BCD所成的角为3011.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.8312.(2019湘赣十四校联考二,文10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,底面是边长为3的正三角形,且该三棱柱外接球的表面积为7,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.512B.3C.4D.6二、填空题13.已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.14.(2019天津
5、卷,文12)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.15.在三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,ACBC,AB=BD=5,BC=4,则此三棱锥的外接球的表面积为.16.(2019河北石家庄二模,文16)在三棱锥P-ABC中,底面ABC是等边三角形,侧面PAB是直角三角形,且PA=PB=2,PABC,则该三棱锥外接球的表面积为.三、解答题17.(2019江苏卷,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1平面DEC1;(2
6、)BEC1E.18.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.19.(2019山东泰安二模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PDA=90,PDC=120,ADBC,BCD=90,ABD是等边三角形,E是PA的中点,PD=2,AB=23.(1)求证:ADBE;(2)求三棱锥P-ABD的体积.20.(2019湖南长郡中学适应考试一,文19)如图,在多边形ABPCD中(图1),ABCD为长方形,BPC为正三角形,AB=3,BC=32,现以BC为折痕将BP
7、C折起,使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上(图2).(1)证明:PD平面PAB;(2)若点E在线段PB上,且PE=13PB,当点Q在线段AD上运动时,求三棱锥Q-EBC的体积.21.(2019天津卷,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD;(2)求证:PA平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.22.如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1
8、C的中点.(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小 .参考答案专题突破练19专题五立体几何过关检测1.D解析 当“mn”时,推不出“m”,也有可能m,故充分性不成立;当“m”时,直线m,n的位置关系也可能异面,故必要性也不成立.故选D.2.D解析 由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V正方体=a3,V截去部分=16a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a356a3=15.3.D解析 已知直线l平面,直线m平面,若,则l平面,所以lm,正确;已知直线l平面,若l,则平面平面,又直线m
9、平面,故m,正确;已知直线l平面,直线m平面,若lm,则m平面,所以,正确;已知直线l平面,直线m平面,若m,则不一定成立,所以l也不一定成立,不正确.4.B解析 由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.5.B解析 在A中,若l且,则l与可能相交、平行或l;在B中,若且,则;在C中,若l且l,则与相交或平行;在D中,若且,则与相交或平行,故选B.6.A解
10、析 由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则7843R3=283,解得R=2,所以它的表面积为784R2+34R2=14+3=17.7.B解析 由圆锥的侧面展开图是面积为3,圆心角为23的扇形,可知圆锥的母线l满足12l223=13l2=3.故l=3.又由2r=l23,得r=1,所以该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为13.故选B.8.B解析 由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为R,易得ABC的内切球的半径为6+8-102=2,则R2.又因为2R3,所以R32,所以Vmax=43323=92,故选B.9.A解析 将三视图还原后,可得如图所示的正三棱柱AB
11、C-A1B1C1.O为外接球球心,O1为ABC外接圆圆心,由球的性质,可知OO1平面ABC,球的表面积S=4R2=124,则R2=31,即OB2=31.由题意,可知BO1=23BD=23x,OO1=124=2.又BO12+OO12=OB2,则49x2+4=31,解得x=932.10.C解析 因为E,F分别为AD,BD的中点,所以EFAB,所以EF平面ABC,故A正确;因为平面ABD平面BCD,交线为BD,且CDBD,所以CD平面ABD,所以CDAB,故B正确;取CD边中点M,连接EM,FM(图略),则EMAC,所以FEM为异面直线EF与AC所成角,又EF=1,EM=2,FM=3,所以EF2+E
12、M2=FM2,即FEM=90,故C错误;连接AF(图略),可得AF平面BCD,连接CF,则ACF为AC与平面BCD所成角,又sinACF=AFAC=12,所以直线AC与平面BCD所成的角为30,故D正确.11.C解析 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面BCC1B1,连接BC1,则AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,AC1B=30,所以在RtABC1中,BC1=ABtanAC1B=23,又BC=2,所以在RtBCC1中,CC1=(23)2-22=22,所以该长方体的体积V=BCCC1AB=82.12.B解析 如图所示,P为正三角形A1B1C1的中心,设O为ABC的中心,由题意
13、知,PO平面ABC,连接OA,则PAO即为PA与平面ABC所成的角.易知OP的中点为三棱柱外接球的球心,又7=4r2,r2=74,AO2+OP22=74.在正三角形ABC中,AB=BC=AC=3,AO=333=1,PO=3.tanPAO=POAO=3,PAO=3.13.92解析 如图,设球O的半径为R,则AH=2R3,OH=R3.EH2=,EH=1.在RtOEH中,R2=R32+12,R2=98.S球=4R2=92.14.4解析 如图,由底面边长为2,可得OC=1.设M为VC的中点,则O1M=12OC=12,O1O=12VO,VO=VC2-OC2=2,O1O=1.V圆柱=O1M2O1O=122
14、1=4.15.34解析 由题意,在三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,ACBC,AB=BD=5,BC=4,可得AC=CD=52-42=3,故三棱锥D-ABC的外接球的半径R=32+42+322=342,则其表面积为43422=34.16.12解析 PA=PB,PAB是直角三角形,PAPB.又PABC,PBBC=B,PA平面PBC,PAPC.在RtPAB中,AB=22+22=22.ABC是等边三角形,AC=BC=AB=22.在RtPAC中,PC=(22)2-22=2.在PBC中,PB2+PC2=BC2,PBPC.该三棱锥外接球的半径R=22+22+222=3,其表面积为4R2=12.17.证明
15、(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC,所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.18.(1)证明 因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22A
16、C,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)解 作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.19.(1)证明 取AD中点F,连接BF,EF.E,F分别为AP,AD的中点,ADPD,ADEF.又ABC是正三角形,ADBF.BFEF=F,AD平面BEF.又BE平面BEF,ADBE.
17、(2)解 ADBC,BCD=90,ADCD.ADPD,PDCD=D,AD平面PCD.又AD平面ABCD,平面ABCD平面PCD.过点P作PHCD,交CD的延长线于点H,则PH平面ABCD.在直角三角形PDH中,PDH=60,PD=2,PH=3,VP-ABD=13SABDPH=1312(23)2323=3.20.解 (1)过点P作POAD,垂足为O.由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上,PO平面ABCD.POAB.四边形ABCD为矩形,ABAD.又ADPO=O,AB平面PAD,ABPA,ABPD.又由AB=3,PB=32,可得PA=PB2-PA2=3,同理PD=3.又AD=32,PA2+P
18、D2=AD2,PAPD,且PAAB=A,PD平面PAB.(2)设点E到底面QBC的距离为h,则VQ-EBC=VE-QBC=13SQBCh.由PE=13PB,可知BEBP=23,hPO=23,得h=23322=2.又SQBC=12BCAB=12323=922,VQ-EBC=13SQBCh=139222=3.21.(1)证明 连接BD,易知ACBD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GHPD.又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)证明 取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PA
19、C,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)解 连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.22.(1)证明 连接A1B,在A1BC中,E和F分别是BC和A1C的中点,EFA1B.又A1B平面A1B1BA,EF平面A1B1BA,EF平面A1B1BA.(2)证明 AB=AC,E为BC中点,AEBC.AA1平面ABC,BB1AA1,BB1平面ABC.BB1AE.又BCB
20、B1=B,AE平面BCB1.又AE平面AEA1,平面AEA1平面BCB1.(3)解 取BB1中点M和B1C中点N,连接A1M,A1N,NE,N和E分别为B1C和BC的中点,NE12B1B,NEA1A,四边形A1AEN是平行四边形,A1NAE.又AE平面BCB1,A1N平面BCB1,A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角,在ABC中,可得AE=2,A1N=AE=2.BMAA1,BM=AA1,A1MAB且A1M=AB.又由ABBB1,A1MBB1,在RtA1MB1中,A1B1=B1M2+A1M2=4,在RtA1NB1中,sinA1B1N=A1NA1B1=12,A1B1N=30,即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30.