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1、专题五立体几何5.1三视图与几何体的体积、表面积命题角度1空间几何体三视图的识别与画法高考真题体验对方向1.(2018全国3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() 答案A解析根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.2.(2018全国7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A
2、.217B.25C.3D.2答案B解析如图所示,易知N为CD的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCCM,易知CN=14CC=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在RtMCN中,MN=MC2+NC2=25.3.(2017北京7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.32B.23C.22D.2答案B解析由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE=22+22+22=23.故选B.4.(2014全国12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.62
3、B.6C.42D.4答案B解析如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=(42)2+22=6.5.(2013全国7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()答案A解析如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.典题演练提能刷高分1.某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()答案
4、B解析由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.2.如图,O1,O2为棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有正视图中最大面积是()A.a2B.2a2C.3a2D.2a2答案B解析所有正视图中面积最大的是长为2a,宽为a的矩形,面积为2a2,故选B.3.已知一几何体的正视图、侧视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()答案D解析由图可知,选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线,故选D.4.(2019湖南六校联考)一
5、个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积为8,则俯视图中三角形的高x等于()A.2B.3C.4D.1答案C解析如图所示,该几何体为四棱锥,体积为V=1312(2+4)2x=8,解得x=4.5.(2019陕西第二次质检,理9)某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为()A.2B.22C.6D.2答案B解析几何体的直观图如图所示,由题意,可知PA底面ABC,ABC是等腰直角三角形,ABBC,则PC是最长的棱,PC=4+4=22.故选B.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,用过点A,C,E的平面截正方体,则位于截面以下
6、部分的几何体的侧(左)视图为()答案A解析如图所示,取B1C1的中点F,则EFAC,即平面ACFE亦即平面ACE截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示.7.已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图所示,A,B,C分别是GHI三边的中点)后得到的几何体如图,则该几何体的侧视图为()答案A解析因为平面DEHG平面EFD,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.命题角度2空间几何体的体积、表面积高考真题体验对方向1.(2019全国16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型
7、为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案118.8解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为46-41223=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3 cm,则此四棱锥的体积为V1=13123=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9132=
8、118.8(g).2.(2015全国6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.米堆底部弧长为8尺,142R=8,R=16.体积V=1413R2h=1121625.3,V3209(尺3).堆放的米约为32091.6222(斛).3.(
9、2018全国16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为515.则该圆锥的侧面积为.答案402解析设O为底面圆圆心,cosASB=78,sinASB=1-782=158.SASB=12|AS|BS|158=515.SA2=80.SA=45.SA与圆锥底面所成的角为45,SOA=90.SO=OA=22SA=210.S圆锥侧=rl=45210=402.典题演练提能刷高分1.我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是:有一个空心金球,它的直径12寸,球壁厚0.3寸,
10、1立方寸金重1斤,试问金球重是多少斤?(注3)()A.125.77B.864C.123.23D.369.69答案C解析由题意知,大球半径R=6,空心金球的半径r=6-0.3=5.7,则其体积V=43(63-5.73)123.23(立方寸).因为1立方寸金重1斤,所以金球重123.23斤,故选C.2.我国古代数学名著孙子算经中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5 550尺.如果一个秋天工期的单个人可
11、以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)()A.24 642B.26 011C.52 022D.78 033答案B解析根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为20+542385 550=7 803 300(立方尺),一个秋天工期所需人数为7 803 300300=26 011,故选B.3.三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,ABC为正三角形,若AECD,AB=CD=AE=2,则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的体积为()A.39B.33C.13D.3答案B解析根据题意画出如图所示的几何体:三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的
12、公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.ABC为正三角形,AB=2,SABC=122232=3.CD底面ABC,AECD,CD=AE=2,四边形AEDC为矩形,则F为EC与AD的中点,三棱锥F-ABC的高为12CD=1,三棱锥F-ABC的体积为V=1331=33.故选B.4.九章算术是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是()A.203B.83+23C.1023D.823答案C解析过点E作EG平面ABCD,垂足为点G,过点F作FH平面ABCD,垂足为点H,
13、过点G作PQAD,交AB于点Q,交CD于点P,过点H作MNBC,交AB于点N,交CD于点M,如图所示:四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,四边形PMNQ是边长为2的正方形,EG=(3)2-12=2,这个几何体的体积为V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=131222+12222=423+22=1023.故选C.5.已知M,N是三棱锥P-ABC的棱AB,PC的中点,记三棱锥P-ABC的体积为V1,三棱锥N-MBC的体积为V2,则V2V1等于.答案14解析如图,设三棱锥P-ABC的底面积为S,高为h.M是AB的中点,SBMC
14、=12S.N是PC的中点,三棱锥N-MBC的高为12h,则V1=13Sh,V2=1312S12h=112Sh,V2V1=112Sh13Sh=14.故填14.6.在四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,底面ABCD是正方形,SD=AD=2,三棱柱MNP-M1N1P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD的棱上,已知M,N,P分别是棱AB,AD,AS的中点,则三棱柱MNP-M1N1P1的体积为.答案1解析由题得M1是BC中点,N1是DC中点,P1是SC中点,PN=1,MN=2,且PNMN,所以三棱柱MNP-M1N1P1的底面积为1212=22.由题得正方形的对角线长22,三棱柱MNP-M1N1P1的高为
15、1222=2,所以三棱柱MNP-M1N1P1的体积为222=1,故填1.命题角度3三视图还原与几何体的体积、表面积高考真题体验对方向1.(2019浙江4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324答案B解析由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为
16、2+623+4+6236=162.2.(2017全国7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案B解析由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)22=6,所以这些梯形的面积之和为12.3.(2017全国4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体
17、积为()A.90B.63C.42D.36答案B解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=12326+324=63,故选B.4.(2016全国6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28答案A解析由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则7843R3=283,解得R=2,所以它的表面积为784R2+34R2=14+3=17.5.(2019北京11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得
18、,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.答案40解析在正方体中还原该几何体,如图所示.该几何体的体积V=43-12(2+4)24=40.典题演练提能刷高分1.(2019甘肃兰州一中高三冲刺模拟)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是()A.36B.45C.54D.63答案C解析由三视图还原该几何体如下.可得,该几何体可看作由两个相同的四棱柱拼接而成,且四棱柱底面为直角梯形,由题中数据可得,底面的上底为3,下底为6,高为3,四棱柱
19、的高为3.因此,该几何体的体积为V=12(3+6)33+12(3+6)31=54.故选C.2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16B.12C.23D.13答案D解析三视图还原是四棱锥,如图所示.ACAD,PD底面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积V=13(11)1=13,故选D.3.(2019山东日照三校一月联考)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的正三角形,则该几何体的体积为()A.1B.33C.3D.3答案B解析由三视图可得几何体的直观图如下图所示.由题意可知,三角形PAC是边长为2的正三角形,平面PAC平面ABC,DA=DB=DC=1,PD平
20、面ABC,PD=3,SABC=12ACBD=1,所以V=13SABCPD=33,故选B.4.(2019山东潍坊三模)某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积是()A.23+6B.116C.113D.23+6答案B解析由三视图知几何体是左边为圆锥的一半,右边为圆柱的一半的组合体,且圆锥与圆柱的底面圆的直径为2,圆柱的高为3,圆锥的高为2,故几何体的体积V=V半圆柱+V半圆锥=12123+1213122=116.5.(2019山东菏泽一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.B.2C.3D.6答案B解析由三视图可知,该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体,且大圆锥与被
21、挖去的小圆锥共底面,大圆锥的底面圆半径为3,高为(23)2-(3)2=3,被挖去的小圆锥的底面圆半径为3,高为22-(3)2=1,所以该几何体的体积为V=13(3)23-13(3)21=2,故选B.6.(2019山西晋城二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.240B.264C.274D.282答案B解析(法一)由几何体的三视图可知,几何体的直观图如图所示,延长BE交DF于点A,其中AB=AD=DD1=6,AE=3,AF=4,所以表面积S=365+36+3422+46+30=264.(法二)由题意可知,几何体是五棱柱,底面可看作是边长为6的正方形与一个直角三角形组成,如图,
22、则该几何体的表面积为(10+6+6+3+5)6+266+34=264.故选B.7.(2019江西九江一模)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.43B.83C.4D.163答案B解析如图,由三视图知该几何体为三棱锥D-ABC.点D到平面ABC的距离等于点E到平面ABC的距离的一半,因为平面ABC即为平面ABCF,所以点E到平面ABC的距离为面对角线的一半,为22,所以点D到平面ABC的距离为2.又SABC=12242=42,所以其体积V=13422=83.故选B.8.(2019山师附中考前模拟)某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正
23、三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为()A.8+433B.8+233C.4+433D.8+833答案A解析由题意可知,该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为23,底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半圆锥,则其体积为V=13344223+1213423=8+433.9.某几何体的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是底边为23,高为1的等腰三角形,俯视图的轮廓为菱形,侧视图是个半圆.则该几何体的体积为.答案33解析由三视图可知,该几何体是一个组合体,它由两个底面重合的半圆锥组成,圆锥的底面半径为1,高为3,所以组合体的体积为21213
24、123=33,故答案为33.命题角度4球与几何体的切、接问题高考真题体验对方向1.(2019全国12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()A.86B.46C.26D.6答案D解析设PA=PB=PC=2x.E,F分别为PA,AB的中点,EFPB,且EF=12PB=x.ABC为边长为2的等边三角形,CF=3.又CEF=90,CE=3-x2,AE=12PA=x.在AEC中,由余弦定理可知cosEAC=x2+4-(3-x2)22x.作PDAC于点D,PA=PC,D为AC的中点,cosE
25、AC=ADPA=12x.x2+4-3+x24x=12x.2x2+1=2.x2=12,即x=22.PA=PB=PC=2.又AB=BC=AC=2,PAPBPC.2R=2+2+2=6.R=62.V=43R3=43668=6.故选D.2.(2018全国10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543答案B解析由ABC为等边三角形且面积为93,设ABC边长为a,则S=12a32a=93.a=6,则ABC的外接圆半径r=3223a=234.设球的半径为R,如图,OO1=R2-r2=42-(
26、23)2=2.当D在O的正上方时,VD-ABC=13SABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故选B.3.(2017全国8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.34C.2D.4答案B解析由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC=1,AB=12,底面圆的半径r=BC=32,所以圆柱的体积是V=r2h=3221=34,故选B.4.(2015全国9)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256答
27、案C解析由AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以VO-ABC=1312R2R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.典题演练提能刷高分1.在三棱锥S-ABC中,SBBC,SAAC,SB=BC,SA=AC,AB=12SC,且三棱锥S-ABC的体积为932,则该三棱锥的外接球半径是()A.1B.2C.3D.4答案C解析取SC中点O,连接OA,OB,则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥的外接球球心,设半径为r,则132r34r2=932,r=3,故选C.2.(2019山东实验等四校联考)某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积
28、是()A.163B.283C.11D.323答案B解析三棱锥的直观图如图所示,由三视图可知直观图中PC平面ABC,AC=BC=3+1=2=AB,所以ABC是正三角形,将三棱锥补形为三棱柱,则三棱锥与三棱柱有相同的外接球,所以球心为三棱柱两底面中心连线的中点,设ABC的外心为O1,球心为O,连接OO1,OC,O1C,则O1C=233=233,所以OC2=2332+12=73,所以S球=473=283.3.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等,此圆锥的母线与底面所成角为60,若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍,则此圆柱的高是其底面半径的()A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍答案B解析设圆柱
29、的高为h,底面半径为r,圆柱的外接球的半径为R,则R2=h22+r2.因为圆锥的母线与底面所成角为60,所以圆锥的高为3r,母线长l=2r.所以圆锥的侧面积为rl=2r2,所以4R2=4h22+r2=42r2,得h22+r2=2r2,即h2=4r2,所以hr=2.故选B.4.九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成若干个相同的球,并尽量使每个球的体积最大,则所剩余料体积为()A.288-48B.288-16C.288-32D.288-4答案C解析由三视图知,该直三棱柱的底面直角三角形,直角边为6与8,要使每个球的体
30、积最大,则球与三个侧面相切,求得三角形内切圆半径为2,则球的直径为4,由于棱柱高为12,所以最多可加工成3个半径为2的球,剩余体积为126812-34323=288-32,故选C.5.(2019陕西咸阳一模)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,BCD=90,AB平面BCD,则球O的表面积为()A.6B.5C.4D.3答案A解析由于AB平面BCD,故ABBD,ABCD,而CDBC,故CD平面ABC,所以CDAC,所以ABD和ACD为有公共斜边的直角三角形,设斜边AD的中点为O,则有OA=OB=OC=OD,即O为外接球的球心,AD为球的直径.AD2=BC2+CD2+
31、AB2=6,所以球的表面积为4AD22=AD2=6,故选A.6.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点,PA=PB=PC=2,ABC=90,点B在AC上的射影为D,则三棱锥P-ABD体积的最大值是()A.334B.338C.12D.34答案B解析如图,由题意,PA=PB=PC=2,ABC=90,可知P在平面ABC上的射影G为ABC的外心,即AC中点,则球的球心在PG的延长线上,设PG=h,则OG=2-h,OB2-OG2=PB2-PG2,即4-(2-h)2=4-h2,解得h=1.则AG=CG=3,过点B作BDAC于点D,设AD=x,则CD=23-x,再设BD=y,由BDCADB,可得y23-x
32、=xy,y=x(23-x),12xy=12-x4+23x3,令f(x)=-x4+23x3,则f(x)=-4x3+63x2,由f(x)=0,可得x=323,当x=323时,f(x)max=24316,ABD面积的最大值为12934=938,则三棱锥P-ABD体积的最大值是139381=383.故选B.7.(2019山师附中考前模拟)在三棱锥P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三个侧面与底面所成的角均为60,三棱锥的内切球的表面积为.答案43解析设顶点在底面上的射影为H,H是ABC的内心,内切圆半径r=1,三个侧面与底面所成的角均为60,则PAB,PAC,PBC的高PD=PE=PF=2,P
33、H=3,所以三棱锥的体积V=1312433=23,设内切球的半径为R,球心与三棱锥各顶点的连线把三棱锥分成四个小三棱锥,则有1312(3+4+5)2+1234R=23,R=33,S=4R2=43.8.(2019湖南六校联考)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于.答案1015解析由该四棱锥的三视图知,该四棱锥的直观图如图.因为SAB是一个锐角三角形,其外接圆的圆心在三角形内,设为O1,矩形ABCD的外接圆的圆心为其对角线的交点O2,设四棱锥外接球的球心为O,E为AB的中点,则OO1平面SAB,OO2平面ABCD,则OB为球的半径R.设r
34、1为SAB外接圆的半径,r2为矩形ABCD外接圆的半径,L=AB,则r1=O1B,r2=O2B,又平面SAB平面ABCD,可得O1E2=r12-L24,O1E=OO2,所以R2=OO22+O2B2,所以R2=r12+r22-L24,SE=9-4=5.由相交弦定理易求得SAB外接圆的半径,即SE(2r1-SE)=BE2,所以r1=925,2r2=42+22=25.所以R2=8120-4+5=10120,所以S=4R2=1015.9.在三棱锥A-BCD中,AB=1,BC=2,CD=AC=3,当三棱锥A-BCD的体积最大时,其外接球的表面积为.答案6解析AB=1,BC=2,AC=3,AB2+BC2=
35、AC2,即ABC为直角三角形,当CD平面ABC时,三棱锥A-BCD的体积最大,又CD=3,ABC外接圆的半径为32,故外接球的半径R满足R2=322+322=32,外接球的表面积为4R2=6.10.已知半径为3 cm的球内有一个内接四棱锥S-ABCD,四棱锥S-ABCD的侧棱长都相等,底面是正方形,当四棱锥S-ABCD的体积最大时,它的底面边长等于cm.答案4解析如图,设四棱锥S-ABCD的侧棱长为x,底面正方形的边长为a,棱锥的高为h.由题意可得顶点S在底面上的射影为底面正方形的中心O1,则球心O在高SO1上.在RtOO1B中,OO1=h-3,OB=3,O1B=22a,32=(h-3)2+22a2,整理得a2=12h-2h2.在RtSO1B中,有x2=h2+22a2=h2+(6h-h2)=6h,h=x26.a2=2x2-x418,VS-ABCD=13a2h=132x2-x43x26=154(-x6+6x4).设f(x)=-x6+6x4,则f(x)=-6x5+24x3=-6x3(x2-24),当0x0,f(x)单调递增,当x26时,f(x)0,f(x)单调递减.当x=26时,f(x)取得最大值,即四棱锥S-ABCD的体积取得最大值,此时a2=2(26)2-(26)418=16,解得a=4.四棱锥S-ABCD的体积最大时,底面边长等于4 cm.故填4.