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1、1.5不等式与线性规划高考命题规律1.每年必考考题,以线性规划为主要考点.2.填空题或选择题,5分,难度中高档.3.全国高考有6种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1不等式的性质与解不等式8命题角度2均值不等式命题角度3简单的线性规划问题151414137751414151311命题角度4非线性规划问题命题角度5含参数的线性规划问题命题角度6利用线性规划解决实际问题16命题角度1不等式的性质与解不等式高考真题体验对方向1.(2016全国8)若ab0,0c1,则()A.logaclogbcB.logcal
2、ogcbC.accb答案B解析对于A,logac=1logca,logbc=1logcb.0c1,对数函数y=logcx在(0,+)上为减函数,若0ba1,则0logca1logcb,即logaclogbc;若0b1a,则logca0,1logca1logcb,即logaclogbc;若1ba,则logcalogcb1logcb,即logaclogbc.故A不正确;由以上解析可知,B正确;对于C,0cb0,acbc,故C不正确;对于D,0cb0,cab0,cdbdB.acbcD.adbc答案D解析cd-d0,01-c1-c0.又ab0,a-db-c,ad0,AB=x|0x3=(0,3.故选D.
3、2.已知ab1bB.-a2bD.a3b3答案A解析ab1b,故A正确;-a-b,故B不正确;函数y=2a是增函数,故2a2b,故C不正确;函数y=x3是增函数,故a3y0,则()A.1x1yB.x-y12yD.x2y0得1x-1y=y-xxy0,所以1x1y,故A不正确.选项B中,将不等式两边平方得x+y-2xyx-y,整理得yxy,所以yy0,所以上式成立,故B正确.选项C中,由xy0得12xy0得x2-xy=x(x-y)0,所以x2xy,故D不正确.故选B.4.设全集U=R,集合A=xx+13-x0,B=x142x8,则(UA)B为()A.(-1,3)B.-2,-1C.-2,3)D.-2,
4、-1)3答案D解析由题意得A=xx+13-x0=x|-1x3,B=x|2-22x8=x|-2x3,UA=x|x-1或x3,(UA)B=x|-2x-13.故选D.5.已知c3ac3b|a|B.acbcC.a-bc0D.ln ab0答案D解析因为c3ac3b0,当c1b0,即ba0,|b|a|,acbc,a-bc0成立,此时0ab1,ln ab0,故选D.6.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-40恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2)B.(-,2C.(-2,2D.(-2,2)答案C解析当a-2=0,即a=2时,原不等式变为-40,显然不等式恒成立,此时符合题意.当a-20
5、,即a2时,因为对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-40恒成立,所以a-20,=-2(a-2)2-4(a-2)(-4)0,解得a2,-2a2.-2a2.综上可得-20,y0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.答案92解析(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.x+2y=4,422xy,2xy4.1xy12.2+5xy2+52=92.2.(2017江苏10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案30解析一年的总运
6、费与总存储费用之和为4x+600x6=4x+900x42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.典题演练提能刷高分1.函数f(x)=x2+4|x|的最小值为()A.3B.4C.6D.8答案B解析f(x)=x2+4|x|=|x|+4|x|24=4,故选B.2.若lg a+lg b=0且ab,则2a+1b的取值范围为()A.22,+B.22,+C.22,3(3,+)D.22,3(3,+)答案A解析lg a+lg b=0且ab,lg ab=0,即ab=1.2a+1bab=2b+a22ab=22,当且仅当a=2b=2时取等号.2a+1b的取值范围为22,+.3.已知三点A(1,-2
7、),B(a,-1),C(-b,0)共线,则1+2aa+2+bb(a0,b0)的最小值为()A.11B.10C.6D.4答案A解析由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线得-21+b=-1+2a-1,2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba+4a+3bb=7+ba+4ab7+2ba4ab=11,当且仅当ba=4ab,2a+b=1a=14,b=12时取等号,故选A.4.已知a0,b0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为.答案2+3解析由3a+b=2ab得32b+12a=1,故(a+b)32b+12a=2+3a2b+b2a2+3.5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m 的无盖长
8、方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是元.答案1 600解析设长方体的底面的长为x m,则宽为4x m,总造价为y元,则y=4200+2100x+4x800+400x4x=1 600,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,故答案为1 600元.6.已知正实数a,b满足2ab,且ab=12,则4a2+b2+12a-b的最小值为.答案23解析由题意得2a-b0,4a2+b2+12a-b=4a2+b2-4ab+32a-b=(2a-b)2+32a-b=(2a-b)+32a-b23,当且仅当2a-b=32a-b时等号成立.命题角度3简单的线
9、性规划问题高考真题体验对方向1.(2019全国11)记不等式组x+y6,2x-y0表示的平面区域为D.命题p:(x,y)D,2x+y9;命题q:(x,y)D,2x+y12.下面给出了四个命题pqpqpqpq这四个命题中,所有真命题的编号是()A.B.C.D.答案A解析如图,不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分.作出直线2x+y=9与直线2x+y=12,可知两直线均通过平面区域D,所以p真,q假,p假,q真,故真,假.故选A.2.(2019天津2)设变量x,y满足约束条件x+y-20,x-y+20,x-1,y-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为()A.2B.3C.5D.6答案C解析画出可行
10、域如图,平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故选C.3.(2017全国5)设x,y满足约束条件3x+2y-60,x0,y0,则z=x-y的取值范围是()A.-3,0B.-3,2C.0,2D.0,3答案B解析画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A(03)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.4.(2019北京10)若x,y满足x2,y-1,4x-3y+10,则y-x的最小值为,最大值为.解析作出可行域如图阴影部分所示.设z=y-
11、x,则y=x+z.当直线l0:y=x+z经过点A(2,-1)时,z取最小值-3,经过点B(2,3)时,z取最大值1.答案-315.(2019全国13)若变量x,y满足约束条件2x+3y-60,x+y-30,y-20,则z=3x-y的最大值是.答案9解析画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.6.(2018全国14)若x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0,则z=3x+2y的最大值为.答案6解析作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直线y
12、=-32x并向上平移,显然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=32+0=6.7.(2018全国14)若x,y满足约束条件x+2y-50,x-2y+30,x-50.则z=x+y的最大值为.答案9解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.8.(2018全国15)若变量x,y满足约束条件2x+y+30,x-2y+40,x-20,则z=x+13y的最大值是.答案3解析画出可行域,如图中阴影部分所示.又z=x+13yy=-3x+3z,当过点B(2,3)时,zmax=2+133=3.典题演练提能刷高分1.(2019四川内江高三三模)若x,y满足x
13、+y1,x-y1,x0,则z=x-2y的最大值是()A.1B.-1C.2D.-2答案C解析画出可行域(如图),由z=x-2y,得y=12x-12z.由图可知,当直线l经过点A(0,-1)时,z最大,且最大值为zmax=0-2(-1)=2.故选C.2.(2019天津和平区高三模拟)设x,y满足约束条件x-y-20,2x-y+30,x+y0,则y+4x+6的取值范围是()A.-13,1B.-3,1C.(-,-31,+)D.-37,1答案B解析画出不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数z=y+4x+6表示可行域内的点与点P(-6,-4)之间连线的斜率,数形结合可知目标函数在点C(-1,1)处取得最
14、大值1+4-1+6=1.目标函数在点A(-5,-7)处取得最小值-7+4-5+6=-3,故目标函数的取值范围是-3,1.故选B.3.若实数x,y满足2x-y+10,x+y0,x0,则z=|x-y|的最大值是()A.0B.1C.23D.13答案B解析作可行域如图,则|x-y|=y-x,所以直线z=y-x过点A(0,1)时,z取最大值1,故选B.4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且实数x,y满足y0,yx,x+y-30,则z=ab的最大值为.答案92解析a=(1,2),b=(x,y),z=ab=x+2y.所以y=-12x+12z,作出不等式组y0,yx,x+y-30所表示的平面区域.由y
15、=x,x+y-3=0得x=y=32,结合图形可知,当直线经过点A32,32时纵截距最大,此时(x+2y)max=32+232=92.5.若实数x,y满足不等式组y0,2x-y+30,x+y-10,则z=2y-|x|的最小值是.答案-32解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.当x0时,z=2y-|x|=2y-x,可得y=x2+z2,平移直线y=x2+z2,结合图形可得当直线经过可行域内的点B(1,0)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=-1.当x0时,z=2y-|x|=2y+x,可得y=-x2+z2,平移直线y=-x2+z2,结合图形可得当直线经过可行域内的点A-3
16、2,0时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=-32.综上可得zmin=-32.命题角度4非线性规划问题高考真题体验对方向1.(2016山东4)若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C解析如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.由x+y=2,2x-3y=9,解得A(3,-1).所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.2.(2015全国15)若x,y满足约束条件x-10,x-y0,x+y-40
17、,则yx的最大值为.答案3解析画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使yx最大,则y-0x-0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yxmax=3-01-0=3.典题演练提能刷高分1.(2019四川绵阳三诊)已知变量x,y满足x0,|y|1,x+y-20,则x2+y2的最大值为()A.10B.5C.4D.2答案A解析作出变量x,y满足x0,|y|1,x+y-20所对应的可行域(如图阴影部分),由x+y-2=0,y=-1,解得A(3,-1).而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,由数形结合可得最大距离为OA=32+(-1)2
18、=10,即z=x2+y2的最大值为10.故选A.2.已知实数x,y满足x-y+10,x+y-10,3x-y-30,则使不等式kx-y+k1恒成立的实数k的取值集合是()A.-,12B.-,14C.(-,1D.(-,2答案A解析作出不等式组对应的平面区域如图,由图象知x0,由不等式kx-y+k1恒成立,得k(x+1)1+y,即ky+1x+1,设z=y+1x+1,则z的几何意义是区域内的点到定点D(-1,-1)的斜率,由图象知AD的斜率最小,由x+y-1=0,3x-y-3=0,得x=1,y=0,即A(1,0),此时z的最小值为z=0+11+1=12,即k12,即实数k的取值范围是-,12.故选A.
19、3.已知变量x,y满足x-y2,x+2y+20,2x-y-40,若方程x2+y2+6y-k=0有解,则实数k的最小值为()A.45-455B.-295C.45+33D.165答案B解析由题意,可作出约束条件的区域图,如图所示,由方程x2+y2+6y-k=0,得x2+(y+3)2=9+k,由此问题可转化为求区域图内的点到定点C(0,3)的距离最小时实数k的值,结合图形,点C到直线x+2y+2=0的距离d=|0-23+2|5=45为所求,则有9+k=452,解得k=-295.故选B.4.(2019河南鹤壁高中模拟)已知A(2,1),设P(x,y)为可行域x0,3x+2y7,4x-y2内一点,则OP
20、OA的最大值为()A.-2B.2C.4D.5答案C解析由题意作出其平面区域,由3x+2y=7,4x-y=2,解得M(1,2).OPOA=z=2x+y,由线性规划知识知经过点M时,z取得最大值,此时x=1,y=2时,z=2x+y有最大值21+2=4,故选C.5.若x,y满足约束条件x-10,x-y0,x+y-40,则yx+1的最大值为.答案32解析作出可行域,如图ABC内部(含边界),P(-1,0),A(1,1),C(1,3),yx+1表示可行域内点(x,y)与P(-1,0)的连线的斜率,kPC=3-01-(-1)=32,因此yx+1的最大值为32.命题角度5含参数的线性规划问题高考真题体验对方
21、向1.(2015重庆10)若不等式组x+y-20,x+2y-20,x-y+2m0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()A.-3B.1C.43D.3答案B解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m-1.这时平面区域为三角形ABC.由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,则A(2,0).由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,则B(1-m,1+m).同理C2-4m3,2+2m3,M(-2m,0).因为SABC=SABM-SACM=12(2+2m)(1+m)-2
22、+2m3=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3-1舍去).2.(2014全国11)设x,y满足约束条件x+ya,x-y-1,且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案B解析当a=0时显然不满足题意.当a1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,因此当直线y=-1ax+1az经过可行域中的Aa-12,a+12时,z取最小值,于是a-12+aa+12=7,解得a=3(a=-5舍去);当0a1时,画出可行域(如图(2)所示的阴影部分),显然直线y=-1ax+1az的截距没有最小值,不合题
23、意;当a0时,由z=ax+y变形得y=-ax+z,可知-a-12,得0a12;当a0时,由z=ax+y变形得y=-ax+z,可知-a2,得-2a0.综上得-2a12.故选A.2.实数x,y满足x0,y0,x+y-c0,且x-y的最大值不小于1,则实数c的取值范围是()A.c-1B.c-1C.c-2D.c-2答案A解析作出可行域,如图所示,令z=x-y,则y=x-z,当直线经过B(0,c)时,z=x-y取到最大值,0-c1,即c-1,故选A.3.已知x,y满足约束条件x-y+20,x1,x+y+k0,则z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,则k=.答案1解析画出不等式组表示的平面区域,如图所示,
24、结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值,所以zmax=1+33=10,zmin=1+3(-1-k)=-2-3k,根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.4.(2019广东广州高三模拟)已知关于x,y的不等式组2x-y+10,x+m0,y+20,表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是.答案-,43解析作出x,y的不等式组2x-y+10,x+m0,y+20,对应的可行域如图所示.交点C的坐标为(-m,-2),直线x-2y=2的斜率为12,斜截式方程为y=12x-1.要使平面区域内存在点P(x
25、0,y0)满足x0-2y0=2,则点C(-m,-2)必在直线x-2y=2的下方,即-2-12m-1,解得m2,并且A在直线的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m-12m-1,解得m43,故m的取值范围是-,43.命题角度6利用线性规划解决实际问题高考真题体验对方向1.(2016全国16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,
26、则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 000解析设生产产品A x件,生产产品B y件,由题意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yN.目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,所以zmax=2 10060+900100=216 000.2.(2
27、017天津16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解(1)由已知,x,y满足的
28、数学关系式为70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距,当z25取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播
29、出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图2典题演练提能刷高分1.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧连续剧播放时长/min广告播放时长/min收视人次/万人甲70560乙60525电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600 min,广告的总播放时长不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为()A.6,3B.5,2C.
30、4,5D.2,7答案A解析依题意得70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,目标函数为z=60x+25y,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点(6,3)处取得最大值.故选A.2.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、质量、可获利润如下表所示:体积(升/件)质量(千克/件)利润(元/件)甲20108乙102010在一次运输中,货物总体积不超过110升,总质量不超过100千克,那么在合理的安排下,一次运输获得的最大利润为元.答案62解析设运送甲种货物x件,乙种货物y件,利润为z,则由题意得20x+10y110,10x+20y100,x,yN,即2x+y11,x+2y10,x,yN,且z=8x+10y,作出不等式组对应的平面区域如图所示,由2x+y=11,x+2y=10,得x=4,y=3,即B(4,3),由z=8x+10y得y=-45x+z10,平移直线y=-45x+z10,由图可知当直线y=-45x+z10,经过点B时,直线的截距最大,此时z最大,故zmax=84+103=62,一次运输获得的最大利润为62元.