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1、专题突破练17空间中的平行与几何体的体积1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A1DE的体积.2.(2019山东菏泽一模,文18)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D底面ABCD,BD1B1D,四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,E,F分别是线段AB的两个三等分点.(1)求证:D1F平面A1DE;(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,AD=A
2、B=1.(1)若点G为线段BC的中点,证明:平面EFG平面PAB;(2)在(1)的条件下,求以EFG为底面的三棱锥C-EFG的高.4.(2019安徽合肥一模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,BCD为等边三角形,BD=23,PA=2,AB=AD=PB=PD,BAD=120.(1)若点E为PC的中点,求证:BE平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.(2019山西考前适应训练二,文19)如图,平面ABCD平面CDEF,且四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,BAD=CDA=90,AB=AD=DE=12CD,M是线段DE上的动点.(1)试确定点M的位置,使BE平面MAC,并说明
3、理由;(2)在(1)的条件下,四面体E-MAC的体积为3,求线段AB的长.6.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.7.(2019湖南湘潭一模,文19)如图,在各棱长均为4的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,ABD=60,E,F分别为BB1,DD1棱上一点,且DF=1,BE=3EB1.(1)证明:A1F平面ACE;(2)在图中作出点A在平面A1BD内的正投影H(说明作法及理由),并求三棱锥B-CDH的体积.8
4、.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB=BC=2,AD=DC=5,PD=2,ABBC,E是PAC的重心,F,G分别在侧棱PC和PD上,且PFPC=PGPD=23.(1)求证:平面EFG平面ABCD;(2)若三棱锥P-EFG的体积为1681,求点A到平面PCD的距离.参考答案专题突破练17空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明 连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.又D是AB的中点,连接DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)解 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CDAB
5、.又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22得ACB=90,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D.所以VC-A1DE=1312632=1.2.(1)证明 连接AD1与A1D交于点M,则M为AD1的中点,连接EM.因为E,F分别是线段AB的两个三等分点,所以E是线段AF的中点.又因为M是线段AD1的中点,所以EMD1F.又因为EM平面A1DE,D1F平面A1DE,所以D1F平面A1DE.(2)解 因为四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,且D1D底面ABCD,所以侧面为四个全等的矩形,所以四个侧面的面积
6、为S侧=644=96.因为D1D平面ABCD,连接BD,B1D1,所以四边形BDD1B1是矩形,又BD1B1D,所以四边形BDD1B1是正方形,所以BD=D1D=6,所以SABD=12BDAD2-(12BD)2=12642-(126)2=37,所以S四边形ABCD=2SABD=67.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积为S表=S侧+2S四边形ABCD=96+127.3.(1)证明 E,F分别是PC,PD的中点,EFCD.底面ABCD是矩形,CDAB.EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB.同理EG平面PAB.EFEG=E,平面EFG平面PAB.(2)解 PA底面AB
7、CD,BC底面ABCD,PABC.BCAB,PAAB=A,BC平面PAB,C到平面PAB的距离为BC=1,以EFG为底面的三棱锥C-EFG的高为12.4.(1)证明 取CD的中点为M,连接EM,BM.BCD为等边三角形,BMCD.BAD=120,AD=AB,ADB=30,ADCD,BMAD.又BM平面PAD,AD平面PAD,BM平面PAD.E为PC的中点,M为CD的中点,EMPD.又EM平面PAD,PD平面PAD,EM平面PAD.EMBM=M,平面BEM平面PAD.又BE平面BEM,BE平面PAD.(2)解 连接AC交BD于点O,连接PO.CB=CD,AB=AD,ACBD,O为BD的中点.又B
8、AD=120,BD=23,PBDABD,AO=PO=1.又PA=2,PA2=PO2+OA2,POOA.又POBD,PO平面ABD,即四棱锥P-ABCD的高为PO=1,四棱锥P-ABCD的体积V=1334(23)2+122311=433.5.解 (1)当EM=13DE时,BE平面MAC.证明如下:连接BD,交AC于点N,连接MN,因为AB=12CD,所以DNNB=2.又EM=13DE,所以DM=2EM.所以MNBE.又MN平面MAC,BE平面MAC,所以BE平面MAC.(2)因为CDDA,CDDE,DADE=D,所以CD平面ADE.又平面ABCD平面CDEF,ADDC,所以AD平面CDEF,所以
9、ADDE.设AB=a,则VE-MAC=VC-AME=13CDSAME=19a3.所以19a3=3,解得a=3.因此AB=3.6.(1)证明 由已知得AM=23AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TNBC,TN=12BC=2.又ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解 因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以
10、四面体N-BCM的体积VN-BCM=13SBCMPA2=453.7.(1)证明 在CC1上取一点G,使得CG=1.BE=3EB1,BB1=4,CGB1E,B1GEC.DF=1,同理可证明A1FB1G,A1FEC.又EC平面ACE,A1F平面ACE,A1F平面ACE.(2)解 设AC与BD交于点O,连接A1O.过A作AHA1O,H为垂足,H即为A在平面A1BD内的正投影.理由如下:AA1平面ABCD,AA1BD.又BDAO,AOAA1=A,BD平面A1AO.BDAH,又A1OBD=O,AH平面A1BD.AO=4sin 60=23,AA1=4,A1O=27.由AO2=OHA1O得OH=67.过H作
11、HKAO,垂足为K,由HKAA1=OHA1O,得HK=127.VB-CDH=VH-BCD=131244sin 60127=1637.8.(1)证明 延长PE,交AC于点M,E是PAC的重心,F,G分别在侧棱PC和PD上,且PFPC=PGPD=23.M是AC的中点,PEPM=PFPC=PGPD=23.GFCD,EFAC,EFGF=F,ACCD=C,EF,GF平面EFG,CD,AC平面ABCD,平面EFG平面ABCD.(2)解 AB=BC=2,AD=DC=5,PD=2,ABBC,AC=AB2+BC2=2,DM=DC2-CM2=2,SCDM=12CMDM=1,SEFG=232SCDM=49.设点P到平面EFG的距离为h,则P到平面ABCD的距离为32h,三棱锥 P-EFG的体积为1681,VP-EFG=13hSEFG=13h49=1681,解得h=43,P到平面ABCD的距离为32h=3243=2,PD=2,PD平面ABCD,PDAD,过A作AOCD,交CD于点O,PDCD=D,AO平面PCD,AO是点A到平面PCD的距离,SACD=12ACDM=12CDAO,AO=ACDMCD=225=455.点A到平面PCD的距离为455.