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1、大题专项练(四)概率与统计A组基础通关1.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人,高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访.(1)求应从各年级分别抽取的人数;(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为Ai,高二学生记为Bi,高三学生记为Ci,i=1,2,3).列出所有可能的抽取结果;求抽取的2人均为高三年级学生的概率.解(1)高一:66+12+247=1;高二:126+12+247=2;高三:246+12+247=4;所以抽取高一学生1人,高二学生2人,高三学生4人.(2)由(1)知高一1人记为A1,高二2人记为B1、
2、B2,高三4人记为C1、C2、C3、C4,从中抽取两人,所有可能的结果为:A1B1、A1B2、A1C1、A1C2、A1C3、A1C4、B1B2、B1C1、B1C2、B1C3、B1C4、B2C1、B2C2、B2C3、B2C4、C1C2、C1C3、C1C4、C2C3、C2C4、C3C4,共21种.由知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有C1C2、C1C3、C1C4、C2C3、C2C4、C3C4,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率P=621=27.2.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛,成绩为1至10分,随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A校样本数
3、据条形图B校样本数据统计表成绩/分12345678910人数/个000912219630(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.解(1)从A校样本数据的条形图可知,成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为xA=46+515+621+712+83+9360=6,A校样本数据的方差为sA2=1606(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)
4、2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2=1.5.从B校样本数据统计表可知,B校样本数据的均值为xB=49+512+621+79+86+9360=6,B校样本数据的方差为sB2=1609(4-6)2+12(5-6)2+21(6-6)2+9(7-6)2+6(8-6)2+3(9-6)2=1.8.因为xA=xB,所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又sA2sB2,所以A校学生的计算机成绩比较集中,总体得分情况比B校好.(2)依题意,从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为612+3+312=4,分别设为a,b,c,d;从成绩为8分的学生中应抽取的人数为612+3+33=1,设为e
5、;从成绩为9分的学生中应抽取的人数为612+3+33=1,设为f.所有基本事件有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,其中满足条件的基本事件有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=915=35.3.某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间x(分钟)与乘客等候人数y(人)之间的关系,经过调查得到如下数据:间隔时间x(分钟)101112131415等候人数y(人)
6、232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y,再求y与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率;(2)若选取的是后面4组数据,求y关于x的线性回归方程y=bx+a,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过35人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)参考公式:b=i=1nxiyi-nx yi=1n
7、xi2-nx2,a=y-bx.解(1)设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种,其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种,所以P(A)=1-515=23.(2)后面4组数据是:间隔时间(x分钟)12131415等候人数(y人)26292831因为x=12+13+14+154=13.5,y=26+29+28+314=28.5,i=14xiyi=1 546,i=14xi2=734,所以b=i=1n
8、xiyi-nx yi=1nxi2-nx2=1 546-413.528.5734-413.52=1.4,a=y-bx=28.5-1.413.5=9.6,所以y=1.4x+9.6.当x=10时,y=1.410+9.6=23.6,23.6-23=0.61;当x=11时,y=1.411+9.6=25,25-25=05.024故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.(2)由(1)可知支持技术改造的企业中,中小企业比为13.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业,分别用x、y表示,6家小型企业,分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2
9、家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共15种.所以奖励总金额为20万元的概率为1528.5.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用A、B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记
10、成绩不低于90分为“成绩优秀”.(1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写22列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.甲班(A)乙班(B)总计成绩优秀成绩不优秀总计附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.024解(1)设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A,从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97)
11、,(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共15个.事件A包含的基本事件有10个,P(A)=1015=23.(2)列表甲班(A)乙班(B)总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计202040K2的观测值k=40(115-519)263420203.1372.706,在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统
12、计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.解(1)由题可得,男生优秀人数为100(0.01+0.02)10=30(人),女生优秀人数为100(0.015+0.03)10=45(人).(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含男生人数为30115=2(人),女生人数为45115=3(人).设两名男生为A1,A2,三名女生为B1,B2,B3.则从5人中任意选取2人构成的所
13、有基本事件为:A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共10个,每个样本被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件C:“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C包含的基本事件有:A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,共7个.所以P(C)=710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.B组能力提升7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图1的频率分布直方图.(1)若直
14、方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人数,并估计这100名学生视力的中位数(精确到0.1);(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查,得到如表1中数据,根据表1及临界值表2中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?图1年级名次是否近视前50名后50名近视4234不近视816表1附:临界值表2P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.635
15、7.87910.828(参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)解(1)设各组的频率为fi(i=1,2,3,4,5,6),由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后四组的频数成等差数列,所以后四组频数依次为27,24,21,18,则后四组频率依次为0.27,0.24,0.21,0.18,视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82(人),故全年级视力在5.0以下的人数约为1 00082100=820(人).设100名学生视力的中位数为x,则有(0.15+0.35+1.35)0.2+(x-4.6)(0.240.2
16、)=0.5,x4.7.(2)K2的观测值k=100(4216-348)250507624=200573.5093.841.因此不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.8.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植脐橙,并利用互联网电商进行销售,为了更好销售,现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重,其质量分布在区间200,500(单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在350,400),400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐
17、橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有脐橙均以7元/千克收购;B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案.解(1)由题得脐橙质量在350,400)和400,450)的比例为32.应分别在质量为350,400)和400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在400,450)的脐橙为B1,B2,则从这5个脐橙中随
18、机抽取2个的情况共有以下10种:A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为710.(2)方案B好,理由如下:由频率分布直方图可知,脐橙质量在200,250)的频率为500.001=0.05,同理,质量在250,300),300,350),350,400),400,450),450,500的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购:脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)100 000=45 000(个),脐橙质量不低于350克的个数为55 000个,收益为45 0002+55 0003=255 000(元).若按方案A收购:根据题意各段脐橙个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000.于是总收益为(2255 000+27516 000+32524 000+37530 000+42520 000+4755 000)71 000=248 150(元),方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.