《2020版高考数学培优考前练理科通用版练习：7.2 圆锥曲线的标准方程与性质 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学培优考前练理科通用版练习：7.2 圆锥曲线的标准方程与性质 Word版含解析.docx（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、7.2圆锥曲线的标准方程与性质命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验对方向1.(2019北京4)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b解析椭圆的离心率e=ca=12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.答案B2.(2019全国8)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D解析y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.3.(2017北京9)若
2、双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案2解析由题意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.4.(2016北京13)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析四边形OABC是正方形,AOB=45,不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.ba=1,即a=b.又|OB|=22,c=22.a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.典题演练提能刷高分1.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考模
3、拟)若双曲线x2a2-y2=1(a0)的实轴长为2,则其渐近线方程为()A.y=xB.y=2xC.y=12xD.y=2x答案A解析由双曲线的实轴长为2,得a=1,又b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=x.故选A.2.(2019江西新八校高三第二次联考)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是B,A点坐标为(3,4).则|PA|+|PB|的最小值是()A.5B.4C.25D.25-1答案D解析根据题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),由抛物线定义可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=22+42-1=25-1.故选D.3.已知椭圆x24+y23=
4、1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故选D.4.已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则该双曲线的方程为()A.x2-y24=1B.x2-y2=1C.x2-y23=1D.x2-y22=1答案B解析由点M在双曲线上,ABM为
5、等腰三角形,且顶角为120,得|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,则NBM=60,如图所示.在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60=3a,即M(2a,3a),代入双曲线方程得4-3a2b2=1,即b2=a2.点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,a=b=1,双曲线的方程为x2-y2=1.5.已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.234C.161534D.181734答案D解析由题意得
6、直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|32-50+30|32+(-5)2=181734,故选D.6.如图,椭圆x2a2+y24=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为()A.20B.10C.25D.45答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2x轴,所以Nc,4a,则H0,2
7、a.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-2a,代入椭圆方程得4c2a2+1a2=1,a2=1+4c2,1+4c2=4+c2,c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,F2MN的周长为4a=45.7.(2019北京昌平区高三年级第二次统一练习)已知双曲线C1:x2-y23=1,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,则抛物线C2的方程为.答案x2=8y解析双曲线C1:x2-y23=1的渐近线方程为3xy=0,抛物线的焦点坐标为0,p2,抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,可得p21+3=1,解得p=4.故
8、抛物线C2的方程为:x2=8y.命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用高考真题体验对方向1.(2019全国10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1答案B解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2
9、a,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.点A为(0,-b).kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.2.(2018全国5)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A解析e=c
10、a=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.3.(2018全国11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=33x,所以NOF=MOF=30,MON=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30=3,所以|MN|=3.4.(2017全国5)已知双曲线C:x2a2-y2b
11、2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B解析由题意得ba=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-y25=1.5.(2019江苏7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.答案y=2x解析双曲线x2-y2b2=1(b0)过点(3,4),32-42b2=1,解得b2=2,即b=2或b=-2(舍去).a=1,且双曲线的焦点在x轴上,双曲线
12、的渐近线方程为y=2x.6.(2019全国15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.答案(3,15)解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M
13、的坐标为(3,15).7.(2018全国16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.答案2解析设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4xy2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.
14、k=1m=2.典题演练提能刷高分1.若F(c,0)是椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于M+m2的点的坐标是()A.c,b2aB.-c,b2aC.(0,b)D.不存在答案C解析由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以M+m2=a,椭圆上与F点的距离等于a的点为短轴的两个端点,故选C.2.(2019黑龙江大庆实验中学高三下学期二模)在平面直角坐标系xOy中,点P为椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的下顶点,M,N在椭圆上,若四边形OPMN为平行四边形,为直线ON的倾斜角,若6,4,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.0,
15、63B.0,32C.63,32D.63,223答案A解析OP在y轴上,且平行四边形中,MNOP,M、N两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即M,N两点关于x轴对称,而MN=OP=a,可设Mx,-a2,Nx,a2,代入椭圆方程得|x|=32b,得N32b,a2.因为为直线ON的倾斜角,tan =a232b=a3b,因为6,4,33tan 1,33a3b1.1ab3.33ba1.13b2a21.而e=ca=1-b2a2.00,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案D解析由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=b
16、ax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故选D.2.(2017全国9)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233答案A解析可知双曲线C的渐近线方程为bxay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2ba2+b2=22-12=3,即2bc=3,所以c=2a,所以e=2,故选A.3.(2019全国11)设F为双曲线
17、C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故选A.答案A4.(2019全国16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B
18、两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.答案2解析如图,由F1A=AB,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2OA,且|BF2|=2|OA|.由F1BF2B=0,得F1BF2B.则OAF1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故BOF2=AOF1=2OF1B,得BOF2=60.则ba=tan 60=3.所以e=ca=1+ba2=1+3=2.典题演练提能刷高分1.(2019甘肃兰州高考一诊)已知点F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为椭圆上的动点,动点Q在射线F1P的延长线上,且|PQ|=|PF2|,若|PQ|的最小值为1,最大值为
19、9,则椭圆的离心率为()A.35B.13C.45D.19答案C解析因为|PQ|=|PF2|,|PQ|的最小值为1,最大值为9,|PF2|的最大值为a+c=9,最小值为a-c=1,a=5,c=4.椭圆的离心率为e=ca=45.故选C.2.如图所示,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.32答案D解析椭圆的短轴长为圆柱的直径,椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形,且长轴与直径的夹角为30.b=r,a=rsin30=2r,c=4r2-r2=3r,e=ca=32.故选D.3.(2019广东揭阳高考二模)设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2
20、b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为13,则椭圆E的离心率为()A.1013B.58C.35D.23答案A解析由题意,因为F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,|PF2|=|F2F1|.因为P为直线x=2a上一点,直线PF1的斜率为13,PDF2是直角三角形,所以2a+c32+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=ca=1013或e=-2(舍去).故选A.4.(2019贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,ab0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆C上
21、存在点P(x0,y0)(x00)使得PF1F2=60,则椭圆的离心率的取值范围为()A.22,1B.0,22C.12,1D.0,12答案D解析依据题意作出如下图象:由已知可得,当点P在椭圆的上(下)顶点处时,PF1F2最大,要满足椭圆C上存在点P(x0,y0)(x00)使得PF1F2=60,则90(PF1F2)max60.所以tan(PF1F2)maxtan 60=3.即bc3,整理得b3c.又a2=b2+c23c2+c2=4c2,即a24c2,所以e=ca=c2a214=12.所以椭圆离心率的取值范围为0,12.故选D.5.(2019福建龙岩高三5月月考)已知点F为椭圆C:x2a2+y2b2
22、=1(ab0)的左焦点,直线y=kx(k0)与C相交于M,N两点(其中M在第一象限),若|MN|=2a2-b2,|FM|3|FN|,则C的离心率的最大值是.答案3-1解析设右焦点为F,连接MF,NF,由椭圆对称性知四边形FMFN为平行四边形.又|MN|=2a2-b2=2c=FF,故FMFN为矩形.|FM|3|FN|=3|FM|,|FM|+|FM|=2a,即2a-|FM|3|FM|,|FM|2a3+1.又(2a-|FM|)2+|FM|2=4c2,故0b0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x245+y236=1B.x236+
23、y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案D解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1, x22a2+y22b2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2),AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.故选D.2.(2014江西15)过点M(1,1)作斜率为
24、-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案22解析由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得x12a2+y12b2=1(ab0),x22a2+y22b2=1(ab0).-,并整理得x1+x2a2(y1+y2)=-y1-y2b2(x1-x2).(*)M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-12,x1+x2=2,y1+y2=2,k=y1-y2x1-x2=-12.(*)式可化为1a2=12b2,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即c2a2=12.e=ca=22.典题演练提能刷高分1
25、.已知双曲线E:x24-y22=1,直线l交双曲线于A,B两点,若A,B的中点坐标为12,-1,则l的方程为()A.4x+y-1=0B.2x+y=0C.2x+8y+7=0D.x+4y+3=0答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124-y122=1,x224-y222=1,x12-x224-y12-y222=0.x1+x24-kly1+y22=0.2124-kl-122=0.kl=-14,l:y-(-1)=-14x-12,整理得2x+8y+7=0.2.以双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于M,N两点,且MN的中点为P(3,1),则双曲线的方
26、程为()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.y23-x2=1D.x2-y23=1答案B解析由题意设该双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),则y12a2-x12b2=1且y22a2-x22b2=1,则(y1+y2)(y1-y2)a2=(x1+x2)(x1-x2)b2,即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2,则y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1,即b2=3a2,则c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,即该双曲线的方程为y2-x23=1.故选B.3.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M(3,2
27、),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为()A.3B.2或4C.4D.2答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=2px1,y22=2px2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),y1-y2x1-x2=2py1+y2,M为AB的中点,y1+y2=4,y1-y2x1-x2=2-03-p2,故有23-p2=2p4,解得p=2或4.4.已知双曲线x2-y22=1,直线l的斜率为-2,与双曲线交于A,B两点,若在双曲线上存在异于A,B的一点C,使直线AB,BC,AC的斜率满足1kAB+1kBC+1kAC=3,若D,E,H三点分别为AB,BC,A
28、C的中点,则kOE+kOH=()A.-6B.5C.6D.7答案D解析由题意得1kAB+1kBC+1kAC=1-2+1kBC+1kAC=3,1kBC+1kAC=72.设点B,C,E的坐标分别为(xB,yB),(xC,yC),(xE,yE),则有xB2-yB22=1,xC2-yC22=1,两式相减得xB2-xC2-yB2-yC22=(xB+xC)(xB-xC)-(yB+yC)(yB-yC)2=0,整理得(yB+yC)(yB-yC)(xB+xC)(xB-xC)=kBCkOE=2,即kOE=2kBC.同理得kOH=2kBC.kOE+kOH=2kBC+2kBC=21kBC+1kBC=272=7.选D.5
29、.过点M(1,1)作斜率为-13的直线l与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.答案63解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0.2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0.b2(x1-x2)=-a2(y1-y2).b2a2=-y1-y2x1-x2=13.a2=3b2.a2=3(a2-c2).2a2=3c2.e=63.6.已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|BF|,则|AF|=.答案8-42解析若斜率不存在,即ABx轴.此时|AB|=8,不满足题意.可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).联立y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2.|AB|=16,x1+2+x2+2=16,即4k2+8k2=12.k2=1,则x2-12x+4=0.x=12822=642.|AF|BF|,x1=6-42,x2=6+42,|AF|=6-42+2=8-42.