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1、专题突破练4从审题中寻找解题思路一、选择题1.(2019山东栖霞高三模拟,文7)已知sin4-2x=35,则sin 4x的值为()A.1825B.1825C.725D.7252.(2019安徽黄山高三质检,文5)函数y=x3+ln(x2+1-x)的图象大致为()3.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是()A.t23C.t23且t-6D.t-64.已知ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,3b=c,则tan A的值是()A.33B.233C.3D.4335.设双曲线x2a2-y2b2=1(0a0,00时,
2、ex-ex-1x(ln x-1).参考答案专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C解析 由题意得cos2-4x=1-2sin24-2x=1-2925=725,sin 4x=cos2-4x=725.故选C.2.C解析 当x=1时,y=1+ln(2-1)=1-ln(2+1)0;当x=-1时,y=-1+ln(2+1)0.观察各选项,可得C选项符合.故选C.3.C解析 若a,b的夹角为钝角,则ab0且不反向共线,ab=-2+3t0,得t23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共线时,23=-t,得t=-6,此时a=-2b.所以tb.CB.B为锐角,C为钝角.tan A=-tan(B+C)=-tanB+
3、tanC1-tanBtanC=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB223=33,当且仅当tan B=33时取等号.tan A的最大值是33.故选A.5.A解析 直线l过(a,0),(0,b)两点,直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l的距离为34c,|-ab|a2+b2=34c,即a2b2a2+b2=316c2,又c2=a2+b2,a2(c2-a2)=316c4,即316c4-a2c2+a4=0,化简得(e2-4)(3e2-4)=0,e2=4或e2=43.又0a2,e2=4,即e=2,故选A.6.B解析 如图,在A1D1上取中点Q,在BC上取中点N
4、,连接DN,NB1,B1Q,QD.DNBM,DQA1M且DNDQ=D,BMA1M=M,平面B1QDN平面A1BM,则动点P的轨迹是DN(不含D,N两点),又CC1平面ABCD,则当CPDN时,C1P取得最小值.此时,CP=2112+22=25,C1P252+22=2305.故选B.7.D解析 根据题意画出函数f(x)的大致图象如下,因为f(0)=sin =22,由图可知,=34+2k(kZ).又因为0,所以=34.所以f(x)=sinx+34.因为f4=sin4+34=0,由图可知,4+34=+2k,kZ,解得=1+8k,kZ.又因为2=T8.所以当k=1时,=9,所以f(x)=sin9x+3
5、4.故选D.8.3解析 由三角形面积公式可得:S=12acsin B=34(a2+c2-b2),14sin B=34a2+c2-b22ac=34cos B,tan B=3.B(0,),B=3.9.(1)82(2)5解析 (1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+89=82.(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-1)1=j+1;第i行数组成的数列ai,j(j=1,2,)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij
6、+1,由题意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,jN*,所以81=811=273=99=181=327,故表格中82共出现5次.10.(22,10)解析 因为b是12和2的等比中项,所以b=122=1;因为c是1和5的等差中项,所以c=1+52=3.又因为ABC为锐角三角形,当a为最大边时,有12+32-a20,a3,1+3a,解得3a0,a+13,a3,解得22a3.由得22a1,则g(x)=x-lnx-2(x-1)2.令h(x)=x-ln x-2,则h(x)=1-1x=x-1x,当x(1,+)时,h(x)0,则h(x)单调递增,h(3)=1-ln 30,x0(3,4),使得h(
7、x0)=0.当x(1,x0)时,g(x)0,g(x)min=g(x0)=x0(ln x0+1)x0-1.h(x0)=x0-ln x0-2=0,ln x0=x0-2.g(x)min=g(x0)=x0(x0-2+1)x0-1=x0(3,4).mx0(3,4),即正整数m的最大值为3.13.(1)解 由f(x)=ex-ax2,得f(x)=ex-2ax.因为曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直,所以f(1)=e-2a=e-2,所以a=1,即f(x)=ex-x2,f(x)=ex-2x.令g(x)=ex-2x,则g(x)=ex-2.所以x(-,ln 2)时,g(x)0,g(x)
8、单调递增.所以g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 20.所以f(x)0,f(x)单调递增.即f(x)的单调增区间为(-,+),无减区间.(2)证明 由(1)知f(x)=ex-x2,f(1)=e-1,所以y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1),即y=(e-2)x+1.令h(x)=ex-x2-(e-2)x-1,则h(x)=ex-2x-(e-2)=ex-e-2(x-1),且h(1)=0,h(x)=ex-2.x(-,ln 2)时,h(x)0,h(x)单调递增.因为h(1)=0,所以h(x)min=h(ln 2)=4-e-2ln 20,所以存在x0(0,1),使x(0,x0)时,h(x)0,h(x)单调递增;x(x0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增.又h(0)=h(1)=0,所以x0时,h(x)0,即ex-x2-(e-2)x-10,所以ex-(e-2)x-1x2.令(x)=ln x-x,则(x)=1x-1=1-xx.所以x(0,1)时,(x)0,(x)单调递增;x(1,+)时,(x)0,所以x(ln x+1)x2.所以x0时,ex-(e-2)x-1x(ln x+1),即x0时,ex-ex-1x(ln x-1).