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1、3.2解三角形基础题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2019全国11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3答案A解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b2+c2-a22bc,c2-4c22bc=-14,-3c2b=-14,bc=324=6,故选A.2.(2018全国6)在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A解析cos C=2cos2C2-1=-3
2、5,AB2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+21535=32.AB=42.3.(2018全国9)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C解析由S=a2+b2-c24=12absin C,得c2=a2+b2-2absin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,sin C=cos C,即C=4.4.(2017山东9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(
3、)A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A解析sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C,sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C,2sin Bcos C=sin Acos C,又ABC为锐角三角形,2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2019全国15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案63解析b2=a2+c2-2accos
4、B,(2c)2+c2-22cc12=62,即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).a=2c=43.SABC=12acsin B=12432332=63.典题演练提能刷高分1.在ABC中,若原点到直线xsin A+ysin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案A解析由已知可得|sinC|sin2A+sin2B=1,sin2C=sin2A+sin2B,c2=a2+b2,故三角形为直角三角形.选A.2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C+c=2a,且b=13,c=3,则a=()A.1B.6C
5、.22D.4答案D解析已知2bcos C+c=2a,由正弦定理可得2sin Bcos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin Bcos C+2cos Bsin C,sin C=2cos Bsin C,sin C0,cos B=12.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,又知b=13,c=3,解得a=4.故选D.3.(2019安徽合肥高三质检)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin B=2bsin C,b=3,cos B=14,则ABC的面积为()A.915B.91516C.31516D.916答案B解析由asin B=2bsin C,结合正
6、弦定理可得ab=2bc,则a=2c.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得9=(2c)2+c2-22cc14,解得c=32,则a=3.又sin B=1-cos 2B=154,所以SABC=12acsin B=12332154=91516.故选B.4.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos2A+B2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为()A.13B.7C.37D.6答案A解析2cos2A+B2=2cos2-C2=2cos22-C2=2sin2C2=1-cos C,1-cos C-cos 2C=1.cos 2C=-cos C.2cos
7、2C+cos C-1=0,解得cos C=12.因为a-b=1,4b=3a,故得到b=3,a=4.根据余弦定理得到12=a2+b2-c22ab,解得c的值为13.5.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,B=3,cos A=1114,则ABC的面积S=()A.1033B.10C.103D.203答案C解析因为cos A=1114,所以sin A=5314,由正弦定理得到asinA=bsinB,解得b=7,由正弦定理得到sin C=sin(A+B)=437,ABC的面积S=1257437=103.6.(2019安徽宣城高三二调)在ABC中,角A,B,C成等差数列,且对边分别为a,
8、b,c,若BABC=20,b=7,则ABC的内切圆的半径为()A.3B.733C.2D.3答案A解析角A,B,C成等差数列,2B=A+C=-B,即B=3,BABC=cacos3=20,即ca=40,由余弦定理b2=c2+a2-2cacos B,可得49=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-120,解得a+c=13.故a=5,c=8.设ABC的内切圆的半径为r,则12(a+b+c)r=12acsin B,可得12(5+8+7)r=125832,可得ABC的内切圆的半径r=3.故选A.7.如图,平面四边形ABCD中,AC与BD交于点P,若3AP+BD=3BC,AB=AD=3BC,
9、CAD+ACB=56,则CDAB=()A.213B.214C.263D.62答案A解析设BC=1,则AB=AD=3,延长BC到E,使BE=3BC,所以CE=2,依题意3AP=2BC+(BC-BD)=2BC+DC=CE+DC=DE,所以ACDE,所以BPPD=BCCE=12,由正弦定理得PDsin=ADsin,BPsin=BCsin,两式相除得2sin=3sin,所以2sin56-=3sin ,所以=2,=3.在ABC中,由余弦定理得3=1+AC2-2ACcos 3,AC=2,在RtACD中CD=3+4=7,故CDAB=73=213,选A.8.在ABC中,AB=2,AC=7,ABC=23,则BC
10、=.答案1解析由题意,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即BC2+2BC-3=0,解得BC=1,或BC=-3(舍去负值).9.在ABC中,a=1,b=7,且ABC的面积为32,则c=.答案2或23解析SABC=12absin C=1217sin C=32,则sin C=217,cos C=277,当cos C=277时,c2=1+7-217277=4,c=2;当cos C=-277时,c2=1+7+217277=12,c=23.10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里
11、.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.答案4 062.5解析由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6 500米,BC=14里=7 000米,AC=15里=7 500米.在ABC中,由余弦定理有cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=132+142-15221314=513,B为锐角,sin B=1-cos2B=1213.设ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有bsinB=2R,R=b2sinB=7 50021213=4 062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和范围问
12、题高考真题体验对方向1.(2015全国16)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)解析如图.作CEAD交AB于E,则CEB=75,ECB=30.在CBE中,由正弦定理得,EB=6-2.延长CD交BA的延长线于F,则F=30.在BCF中,由正弦定理得,BF=6+2,所以AB的取值范围为(6-2,6+2).2.(2014全国16)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案3解析由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)c.a=2,
13、a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=12.sin A=32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.b2+c22bc,即4+bc2bc,bc4.SABC=12bcsin A3,即(SABC)max=3.典题演练提能刷高分1.(2019广东东莞高三一模)在ABC中,AB=2,C=6,则AC+3BC的最大值为()A.47B.37C.27D.7答案A解析在ABC中,AB=2,C=6,则2R=ABsinC=4,则AC+3BC=4sin B+43sin A=4sin56-A+43sin A=2cos A+63sin A=47sin(
14、A+),其中sin =714,cos =32114,由于0A56,02,所以0A+43,所以最大值为47.故选A.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=3,a=22,则ABC面积的最大值为()A.2B.23C.6D.3答案B解析在ABC中,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,即8=b2+c2-2bccos 3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc8,当且仅当b=c时,等号成立,所以ABC面积的最大值为S=12bcsin A=128sin 3=23,故选B.3.已知锐角ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则sin2Asin(
15、B-A)的取值范围是()A.0,22B.12,32C.12,22D.0,32答案C解析b2=a(a+c),由余弦定理,得a2+c2-2accos B=a(a+c),化简得c-a=2acos B.由正弦定理,得sin C-sin A=2sin Acos B,C=-(A+B),sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,化简得sin(B-A)=sin A.ABC是锐角三角形,B-A=A,即B=2A,0B2,2A+B,即02A2,23A,6A4,sin2Asin(B-A)=sin A12,22.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为3,且cos(A+B)co
16、sB=c2a+b,则c的最小值是()A.2B.22C.23D.4答案C解析cos(A+B)cosB=c2a+b,-cosCcosB=c2a+b,根据正弦定理可得-cosCcosB=sinC2sinA+sinB,即-2sin Acos C=sin A.sin A0,cos C=-12.C(0,),C=23.ABC的面积为3,SABC=12absin C=3,即ab=4.cos C=a2+b2-c22ab=-12,c2=a2+b2+ab2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b时取等号.cmin=23,故选C.5.在ABC中,已知a2+b2-c2=4S(S为ABC的面积),若c=2,则a-22b的
17、取值范围是()A.0,2B.-1,0C.-1,2D.-2,2答案C解析a2+b2-c2=4S,a2+b2-c2=412absin C=2absin C.a2+b2-c22ab=sin C,cos C=sin C.C=4.asinA=bsinB=csinC=222=2,a=2sin A,b=2sin B,又a-22b=2sin A-222sin B=2sin A-2sin B=2sin A-2sin34-A=sin A-cos A=2sinA-4,0A34,-4A-42,-12sinA-42,-1a-22b2,故选C.6.已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,BCD=90,则四边
18、形ABCD面积的最大值为()A.6B.2+23C.2+22D.4答案C解析如图,设DAB=,BC=CD=x,则BD=2x.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos ,即(2x)2=4+4-8cos =8-8cos ,x2=4-4cos .四边形ABCD的面积为S=1222sin +12x2=2sin +(2-2cos )=22sin-4+2.0,-4-434,当-4=2,即=34时,S有最大值,且Smax=22+2.选C.7.已知点O是ABC的内心,BAC=60,BC=1,则BOC面积的最大值为.答案312解析由题意得BOC=180-180-602=120,在OBC中,
19、BC2=OB2+OC2-2OBOCcos 120,即1=OB2+OC2+OBOC3OBOC,即OBOC13,所以SOBC=12OBOCsin 120312,当OB=OC时取得最大值.8.在ABC中,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则ABC面积的最大值为.答案23解析在ABD中,设AB=AC=b,由余弦定理得cos A=b2+b24-12bb2=54-1b2,则sin A=1-(54-1b2)2,所以ABC的面积为S=12b2sin A=12b21-(54-1b2)2=18-9(b2-209)2+256923,所以ABC的面积的最大值为23.9.在ABC中,角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若|CA-CB|=3,CACB=6,则ABC面积的最大值为.答案3334解析|CA-CB|=3,|AB|=3.CACB=6,abcos C=6.cos C=6ab.由余弦定理得9=a2+b2-2abcos C=a2+b2-122ab-12,ab212.S=12absin C=12ab1-cos2C=12ab1-36a2b2=12a2b2(1-36a2b2=12a2b2-3612(212)2-36=3334.