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1、第1讲概率 考点1古典概型1古典概型的概率：P(A).2古典概型的两个特点：(1)所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等例1(1)2019全国卷生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.B.C. D.(2)2019全国卷两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. B.C. D.【解析】(1)本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算与数据分析记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只
2、兔子中随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P.(2)本题考查古典概型，以现实生活中常见的学生排队问题为背景，考查学生对数学知识的应用意识设两位男同学分别为A、B，两位女同学分别为a、b，则四位同学排成一列，所有可能的结果用树状图表示为共24种结果，其中两位女同学相邻的结果有12种，P(两位女同学相邻)，故选D.【答案】(1)B(2)D古典概型求解的三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A
3、；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率.对接训练12019广东深圳模拟抛两个各面上分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子，向上一面的两个数字之和为3的概率是()A. B.C. D.解析：向上的两个数之和为3的有(1,2)，(2,1)两种情况，抛掷两个骰子一共有36种情况，故向上一面的两个数字之和为3的概率是，故选D.答案：D22019四川成都一诊齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马
4、；田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A. B.C. D.解析：设齐王的上等、中等、下等马分别为A，B，C，田忌的上等、中等、下等马分别为a，b，c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6种，齐王的马获胜的概率P，故选C.答案：C 考点2几何概型1几何概型的概率公
5、式P(A).2几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性例2(1)2018长沙联考长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为()A.B.C. D.(2)2019陕西汉中二模某电视台每天中午12：30到13：00播放当地新闻，在此期间将随机播出时长5分钟的当地文化宣传片若小张于某天12：50打开电视，则他能完整收看到这个宣传片的概率是()A. B.C. D.【解析】(1)由题意，得该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，即铁饼圆心所
6、在区域为矩形ABCD，要使该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域，则铁饼圆心所在矩形为EFGH，由几何概型的概率公式，得该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为P，故选C.(2)他能完整收看到这个宣传片的时间是12：50到12：55，共5分钟，12：30到12：55，共25分钟，所求概率P.故选C.【答案】(1)C(2)C(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.对接训练32019江西上饶“山江湖”协作体三模如图，若将一个质点随
7、机投入正方形ABCD中，其中AB2，则质点落在以AB为直径的半圆内(阴影部分)的概率是()A. B.C. D.解析：根据几何概型概率的计算公式，可知所求概率为，故选C.答案：C42019山东青岛调研有一底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离大于1的概率为()A. B.C. D.解析：设点A到点O的距离小于或等于1的概率为P1，则P1，故点A到点O的距离大于1的概率P1，故选B.答案：B考点3概率与其他知识的交汇概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇
8、型转化，多与统计、函数、方程、数列、平面向量、不等式(线性规划)等知识交汇命题例32019四川成都摸底2018年央视大型诗词文化音乐节目经典咏流传热播，掀起了全民诵读诗词的热潮某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读的时间不超过两小时)，并按时间(单位：min)分成六个组：0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100)，100,120根据统计数据得到了如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若2名同学诵读诗词的时间分别为x，y，当x，
9、y满足|xy|60时，这2名同学组成一个小组，已知从每天诵读时间小于20 min和大于或等于80 min的所有学生中用分层抽样的方法抽取5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的2人能组成一个小组的概率【解析】(1)各组数据的频率之和为1，即所有小矩形的面积和为1，故(aa6a8a3aa)201，解得a0.002 5，所以该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间为100.05300.05500.3700.4900.151100.0564 (min)(2)由频率分布直方图知诵读诗词的时间在0,20)，80,100)，100,120内的学生人数的频率之比为1：3：1，故抽取的5人中诵读诗词的时间在0,
10、20)，80,100)，100,120内的学生人数分别为1,3,1.设在0,20)内的1名学生为A，在80,100)内的3名学生分别为B，C，D，在100,120内的1名学生为E，则抽取2人的所有基本事件有A，B，A，C，A，D，A，E，B，C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E，共10种选取的2人能组成一个小组的情况有A，B，A，C，A，D，A，E，共4种故选取的2人能组成一个小组的概率为P.解决概率与统计综合问题的一般步骤对接训练52019贵州贵阳监测互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为人们日常生活中不可或缺的一部分M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两家网络外卖企业(以下
11、简称外卖A、外卖B)的服务质量进行了调查，从使用过这两家外卖服务的市民中随机抽取了1 000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数种类0,20)20,40)40,60)60,80)80,100外卖A(人数)50150100400300外卖B(人数)100100300200300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：分数0,40)40,60)60,80)80,100服务质量指标0123用频率表示概率，解决问题：从参与调查的市民中随机抽
12、取1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率解析：记外卖A的“服务质量指标”为事件Ai，外卖B的“服务质量指标”为事件Bi，i0,1,2,3，则其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率为P(A2B0A3B1A0B2A1B3)P(A2B0)P(A3B1)P(A0B2)P(A1B3)0.40.20.30.30.20.20.10.30.24.课时作业16概率12019新疆生产建设兵团二中模拟有一枚质地均匀的骰子，抛掷两次，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是()A点数都是偶数B点数的和是奇
13、数C点数的和小于13 D点数的和小于2解析：画出树状图如下：由图可知共有36种情况，其中点数都是偶数的情况有9种，点数的和为奇数的情况有18种，点数和小于13的情况有36种，点数和小于2的情况有0种，故选C.答案：C22019湖北宜昌联考某次下课后，某教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2个走出的是女同学的概率是()A. B.C. D.解析：由题意知共有6个基本事件，第2个走出的是女同学包含2个基本事件，所以第2个走出的是女同学的概率是.答案：B32019山东青岛调研已知某运动员每次投篮投中的概率是40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计
14、算器随机产生09中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果现产生了如下10组随机数；907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为()A. B.C. D.解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为，故选C.答案：C42019广东佛山调研将一根长为6 m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为()A. B.C. D.解析：绳子的长度为6 m，剪成两段后，设其中
15、一段的长度为x m，则另一段的长度为(6x)m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A，则Ax|x|0x2或4x6，P(A)，故选B.答案：B52019河北九校联考如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A16.32 B15.32C8.68 D7.68解析：由题意，可估计椭圆的面积为6416.32.故选A.答案：A62019河南中原名校联盟一模市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小
16、电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是()A. B.C. D.解析：大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为，又实体店里的家用小电器的合格率约为，某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P.答案：A72019湖北六校联考在长为10 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于16 cm2的概率为()A. B.
17、C. D.解析：设ACx，则BC10x，由题意知x(10x)16，所以x2或x8，又0x10，所以该矩形的面积小于16 cm2的概率为.答案：B82019黑龙江齐齐哈尔模拟随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为()A. B.C. D.解析：图标第一部分的面积为8
18、3124，图标第二部分的面积和第三部分的面积和为329，图标第三部分的面积为224，故此点取自图标第三部分的概率为，故选B.答案：B92019河北省级示范联合体联考袋子中有四个小球，分别写有“和”“平”“世”“界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到才算完成用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，随机模拟产生了以下24组随机数组：23232123002312302113222001120333110023113013323103
19、1320122103233221020132由此可以估计，恰好取三次便完成的概率为()A. B.C. D.解析：由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0.易知符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率P.故选A.答案：A102019云南昆明摸底法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问：其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率为多少？基于对“随机地取一条弦”的不同解释，存在着不同答案现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A(如图)，另
20、一端点在圆周上随机选取，其答案为()A. B.C. D.解析：记圆内接等边三角形为ABC，弦的另一个端点为P.如图，若弦AP的长超过AB的长，则点P落在劣弧上，所以所求概率为.故选B.答案：B112019广东肇庆联考已知某条线的地铁每10分钟一班，每站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是_解析：由于地铁每10分钟一班，每站停1分钟，故所求概率P.答案：122019贵州贵阳监测甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲不输的概率为_解析：设“乙获胜”为事件A，则P(A).因为甲输便是乙获胜，所以甲不输的概率是1P(A)1.答案：132019河北张家口模拟已知四棱锥PABCD的所有顶
21、点都在球O的球面上，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB2.现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥PABCD内部的概率为_解析：将四棱锥PABCD补形为正方体，则正方体的体对角线的长是球O的直径，设球O的半径为R，则22R，即R，则四棱锥的体积V222，球O的体积为()34，则该点取自四棱锥PABCD的内部的概率P.答案：142019百校联盟培优训练在一个正五边形的顶点中随机选取三个不同的顶点，则正五边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为_解析：如图，设正五边形的5个顶点分别为A，B，C，D，E任选三个，情况有10种，为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，B
22、CD，BCE，BDE，CDE.其中符合正五边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的情况有ABD，ACD，ACE，BCE，BDE，共5种，故所求的概率为.答案：152019广东汕头第一次联考某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查(1)求从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名进行进一步分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率解析：(1)抽样比为，则213,142,71，所以从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.(2)在抽取的6名教师中，3名初级教师分
23、别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5,1名高级教师记为A6，则抽取2名教师的所有可能结果有A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种将“从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师”记为事件B，则事件B发生的所有可能结果有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3种所以P(B).162019河南洛阳市尖子生第二次联考某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：时)，停靠时间不足半小时按半小时计，超过半小时且不足1小时
24、按1小时计，以此类推，统计结果如下表：停靠时间/时2.533.544.555.56轮船数量/艘12121720151383(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位各停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待的概率解析：(1)a(2.5123123.5174204.5155135.5863)4.(2)设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则若这两艘轮船在停靠时有一艘需要等待，则|yx|4，符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x，y轴)所示记“这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待”为事件A，则P
25、(A).故这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待的概率为.172019黑龙江哈尔滨六中段考如图是某市3月1日至3月14日的空气质量指数折线图空气质量指数小于100表示空气优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(包括到达当天)(1)求此人到达当日空气优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续3天的空气质量指数方差最大(直接写出结论，不要求证明)解析：(1)由图看出，1日至13日这13天内，空气优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日，共6天由古典概型概率计算公式得，此人到达当日
26、空气优良的概率P.(2)此人在该市停留的两天的空气质量指数可能为(86,25)，(25,57)，(57,143)，(143,220)，(220,160)，(160,40)，(40,217)，(217,160)，(160,121)，(121,158)，(158,86)，(86,79)，(79,37)，共13种情况其中只有1天空气重度污染的是(143,220)，(220,160)，(40,217)，(217,160)，共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P.(3)因为方差越大，3天的空气质量指数越不稳定，所以由图看出从5日开始，5,6,7连续3天的空气质量指数方差最大18
27、2019云南曲靖统测央视传媒为了解央视举办的朗读者节目的收视情况，随机抽取了某市30名观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，根据这30名观众的观看时长得到如图所示的茎叶图(单位：分)，每次观看时长都在35分钟以上(包括35分钟)的称为“朗读爱好者”，35分钟以下(不包括35分钟)的称为“非朗读爱好者”(1)若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中抽取5名观众，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；(2)若从这30名观众中观看时长在40分钟以上(包括40分钟)的男、女观众中各选1名，求选出的这2名观众观看时长相差5分钟以上的概率解析：(1)根据茎
28、叶图可知，“朗读爱好者”有12名，“非朗读爱好者”有18名，易知抽样比为，所以这5人中，“朗读爱好者”有122(名)，分别记为B，C，“非朗读爱好者”有183(名)，分别记为1,2,3.记事件A：至少选到1名“朗读爱好者”，基本事件有(B，C)，(B,1)，(B,2)，(B,3)，(C,1)，(C,2)，(C,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共10个，满足事件A的有(B，C)，(B,1)，(B,2)，(B,3)，(C,1)，(C,2)，(C,3)，共7个，所以P(A).(2)观看时长在40分钟以上(包括40分钟)的观众中，男观众的观看时长分别是41,42,44,47,51，女观众的观看时长分别是40,41.现要从上述男、女观众中各选1名，则这2名观众的观看时长有(41,40)，(41,41)，(42,40)，(42,41)，(44,40)，(44,41)，(47,40)，(47,41)，(51,40)，(51,41)，共10种情况观看时长相差5分钟以上的有(47,40)，(47,41)，(51,40)，(51,41)，共4种情况故观看时长相差5分钟以上的概率P.