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1、1 专题等差与等比数列 考点精要 1理解等差 ,等比数列的概念， 2掌握等差，等比数列的通项公式，前n 项和的公式和中项公式， 3熟练运用等差，等比数列的性质； 热点分析 等差数列历来是高考考查的重点内容一方面它的运算相对简单而又灵活多 变，二来它是学习数列的基础内容，许多数学思想方法都能体现出来等差数列 性质在数列考试中所占比重很大，灵活运用相关性质， 可以快速准确地解决所给 问题 等比数列通项与前n 项和是考试中经常考查的内容 要特别注意在运用等比 数列求和公式时对公比的限定条件是否满足，防止失解等比数列的性质也是 高考命题的常考内容，运用得当，可以化繁为简 知识梳理 一等差数列 1定义：
2、 如果一个数列从 _ 起，每一项与 _ 项的差等于一个 _ 数， 那么这个数列叫等差数列， 这个常数叫 _， 通常用 d 表示 即：数列 n a满足 1 ,(2,N) nn aadnn时，数列 n a叫等差数列（判断或者证 明的依据） 2通项公式： （1） 1 (1) n aand （2） na()manm d （3） n ak nb 1 dk akb 3 等差中项：若_ ，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，等差中项公式： 2 ab A 小结论： （1）三个数 x，y，z 成等差数列的充要条件是2xzy （2）任意两个数的等差中项不仅存在，而且是唯一的 4等差数列的前 n 项和： （1）
3、1 () 2 n n n aa S （2） 1 (1) 2 n n n Snad （3） 2 n SA nB n，其中 1 2dA aAB 2 5等差数列的主要性质： （1） 1） 如果 m+n=p+r, 则有 mnpq aaaa； 2）若 m+n=2p 则2 mnp aaa逆之则不然！ 3） 23121nnn aaaaaa=； 即项数成等差数列时的项也成等差 数列； （2） “ 片段和 ” 232 , nnnnn S SS SS 成等差数列，新数列的公差为; 2 dn （3）若, nn ab都是等差数列，则 nn kalb是等差数列； nS n 也是等差数列； （4）若 nn BA ,分别是
4、等差数列, nnab的前 n 项和，则 12 12 n n n n B A b a . （5）关于前 n 项和： 1 2 1 22 ) 2 n n nn nan S n aan 是奇数 （是偶数 二 等比数列 1定义： 如果一个数列从第 _ 项起每一项与前一项的 _是同 一个_ 数 q，那么这个数列叫等比数列 常数 q 叫做等比数列的 _ 1n n a q a 时，数列 n a叫等比数列 2通项公式： （1） 1 1 n naaq （2） n m nm aa q（注意 1 0a q） 3 等比中项：三个数 a, G , b 成等比数列时，G叫做 a与 b的等比_ ， 等比中项公式Gab 小结论
5、： （1）任意两个实数不一定存在等比中项，存在时则有两个值 （2）三个数 x,y,z 成等比数列的充要条件是 2 =0yxz 4前 n 项和公式： 1 11 (1 ) ( 1) 1 11 n n n naq S aa qaq q qq 5等比数列的常用性质 （1）等比数列 n a中，m，n，p，qN，若 m+n=p+q，则_. mnpq aaaa逆 之则不然 （2）等比数列 n a中， n S为其前 n 项和，当 n 为偶数时，S_.S偶 奇 （3）等比数列 n a中，公比为 q，依次 k 项和 k S， 2kk SS， 32kk SS成_ 数列，新公比 q=_（注意当 q=1，而 k 为偶数
6、时则例外） 6等比数列中解题技巧与经验 3 （1）若 na是等比数列，且0N n an，则logana成_数列，反之 亦然 （2）三个数成等比数列可设三数为_ 例题精讲 : 例 1. 已知 n a是等差数列， 12 4aa， 78 28aa，则该数列前 10 项和 10 S 等 于（） A64 B100 C110 D120 例 2 设等差数列 n a的前n项和为 n S ， 若 3 9S， 6 36S， 则 789 aaa（） A63 B45 C36 D27 例 3. 设等比数列 n a的公比2q，前 n 项和为 n S ，则 4 2 S a （） A. 2 B. 4 C. 15 2 D. 1
7、7 2 针对训练 1. 已知等比数列 n a满足 1223 36aaaa，则 7 a（） A 64 B81 C128 D243 2. 记等差数列的前n项和为 n S ，若 24 4,20SS，则该数列的公差d（） A 、2 B、3 C、6 D、7 3. 等差数列 n a的前n项和为 x S 若则 432 , 3, 1Saa（） A12B10C8D 6 4 等比数列 n a中， 4 4a，则 26 aa 等于（） 481632 5 在等比数列 na （nN *） 中， 若1 1a，4 1 8 a， 则该数列的前 10 项和为 （） 4 A 4 1 2 2 B 2 1 2 2 C 10 1 2 2
8、 D 11 1 2 2 6 已知abcd， ， ，成等比数列，且曲线 2 23yxx的顶点是()bc，则ad等 （） 3 2 1 2 7 等差数列 an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（） A9 B10 C11 D12 8. 若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S，且 2 3a，则 7 a（） A12 B13 C14 D15 9. 已知 n a是等比数列， 4 1 2 52 aa，则公比q=( ) （A） 2 1 （B）2（C ）2 （D） 2 1 10 已知数列的通项52 n an，则其前n项和 n S 11 已知等差数列 n a的前n项和为 n
9、S ，若 12 21S，则 25811 aaaa 12. 在数列 n a在中， 5 4 2 n an， 2 12n aaaanbn， * nN, 其中,a b为 常数，则ab 13. 已知an 为等差数列， a3 + a8 = 22 ，a6 = 7 ，则 a5 = _ 答案: 例 1 B 例 2 B 例 3 C 针对训练 1 A 2 B 3 B 4 C 5 B 6 B 7 B 8 B 9 D 10 (51) 2 nn 11 7 12 1 13 15 高考链接 5 1（09 北京文）若数列 n a满足： 11 1,2() nn aaanN，则 5 a； 前 8 项的和 n S 。 （用数字作答）
10、 2（06 北京文）如果 -1，a,b,c ,-9 成等比数列，那么 （A）b=3,ac=9 (B) b=-3, ac=9 (C) b=3,ac=-9 (D) b=-3, ac=-9 3（07 北京文）若数列 na 的前n项和 2 10 (1 23) n Snn n， ，则此数列的通 项公式为 4（08 北京文）已知等差数列 an中，a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列 bn的前 5 项和等于 (A)30 （B）45 (C)90 (D)186 5（11 北京文）在等比数列an中，a1= 1 2 ，a4=4，则公比q=_ ； a1+a2+an= _. 6（10 北京文） （本小题共 1
11、3 分） 已知 | n a为等差数列，且 3 6a， 6 0a。 （）求 | n a的通项公式； （）若等差数列 | n b满足 1 8b， 2123 baaa ，求 | n b的前 n 项和公式 答案 1 略2 B 3 211n 4 C 5 2 2 1 2 1n 6 解： （）设等差数列 n a的公差d。 因为 36 6,0aa 所以 1 1 26 50 ad ad 解得 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列 n b的公比为q 6 因为 2123 24,8baaab 所以824q即q=3 所以 n b的前n项和公式为 1(1 ) 4(1 3 ) 1 n n n bq S q