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1、第 1 页 共 6 页 课题：函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一 点是否连续 . 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点： 函数在一点连续必须满足三个条件 教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析 ： 点连续概念， 函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义， 最大最小值定理函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积
2、 分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要 学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的. 借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助 函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理. 在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总 结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念 的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习. 教学过程 ： 一、复习引入： 1. 0 00
3、 lim( )lim( )lim( ) xxxxxx f xaf xf xa 其中 0 lim( ) xx f xa表示当 x从左侧趋近于 0 x时的 左极限 ， 0 lim( ) xx f xa表 示当x从右侧趋近于 0 x时的 右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函 数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个 一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高 度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如 邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方： 20 克以内是
4、 第 2 页 共 6 页 8 毛钱邮票， 21 克 30 克是 1 元， 31 克40 克是 1.2 元)等等 .这就要求我们去研 究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课： 1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点 x=x0处连续， 就是说图象在点 x=x0处是不中断的 .下面我们一起来看一下几张函 数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况. 分析图，第一，看函数在x0是否连续 .第二，在 x0是否有极限，若有与f(x0) 的值关系如何： 图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0). 图(2)，函数在 x0不连续，在x0处有
5、极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在 x0处没有定义 . 图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限 . 图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值 . 函数 在点x=x0处要有定义 ，是根据图 (2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0 处要有极限 ，根据图 (4)，函数在 x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值 即 f(x0).函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数 f(x)在点 x=x0处连续必须满足下面三个条件 . (1)函数 f(x)在点 x=x0处有定义； (2) 0 lim xx f(x)存在； (3) 0 lim xx f(x
6、)=f(x0)，即函数f(x)在点 x0处的极限值等于这一点的函数值 . 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点 x0处不连续 .那 根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义 2. 函数在一点连续的定义: 如果函数 f(x)在点 x=x0处有定义， 0 lim xx f(x)存在， 且 0 lim xx f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点 x=x0处连续 . 由第三个条件， 0 lim xx f(x)=f(x0)就可以知道 0 lim xx f(x)是存在的， 所以我们下定 义时可以再简洁一点. 函数 f(x)在点 x0处连续的定义 . 第 3 页 共 6
7、页 如果函数y=f(x)在点 x=x0处及其附近有定义，并且 0 lim xx f(x)=f(x0)，就说函 数 f(x)在点 x0处连续 . 那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a， b)内连续的定 义区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它 在开区间内也就连续了. 3.函数 f(x)在(a， b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间 (a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间 (a，b)内连续，或f(x)是开区间 (a， b)内的 连续函数 . f(x)在开区间 (a，b)内的每一点以及在a、b 两点都连续，现在函数f(x)的定 义域是
8、 a，b ，若在 a 点连续，则f(x)在 a 点的极限存在并且等于f(a)，即在 a 点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f(a)，在 b 点处左极限存在等于f(b). 4.函数 f(x)在 a，b上连续的定义： 如果 f(x)在开区间 (a， b)内连续，在左端点x=a 处有 ax limf(x)=f(a)，在右端 点 x=b 处有 bx limf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间 a，b上连续 ,或 f(x)是闭区间 a，b上的连续函数. 如果函数 f(x)在闭区间 a，b上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续
9、曲线 . 我们来看这张图，它是连续的，在a、b 两点的值都是取到，所以它一定 有一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是 说 a，b区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1) f(x)，x a，b ，同理，设x2是最低点， f(x2) f(x)，x a，b. 5.最大值 f(x)是闭区间 a， b上的连续函数，如果对于任意x a，b ， f(x1)f(x)，那么 f(x)在点 x1处有最大值 f(x1). 6.最小值 f(x)是闭区间 a， b上的连续函数，如果对于任意x a，b ， f(x2)f(x)，那么 f(x)在点 x2处有最小值 f
10、(x2). 由图我们可以知道，函数f(x)在a，b上连续，则一定有最大最小值，这 第 4 页 共 6 页 是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a，b)内的点取到，也可 以在 a， b两个端点上取到. 7.最大值最小值定理 如果 f(x)是闭区间 a，b上的连续函数，那么f(x)在闭区间 a，b上有 最大值和最小值 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下 面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的 三、讲解范例： 例 1 讨论下列函数在给定点处的连续性. (1)f(x)= x 1 ，点 x=0. (2)g(x)=sinx，点 x=0. 分析：我们如
11、果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便 我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0 处函 数连续的情况， 函数 f(x)= x 1 在点 x=0 处不连续，因为函数f(x)= x 1 在点 x=0 处没有定义 . 函数 g(x)=sinx 在点 x=0 处连续，因为函数g(x)=sin x，在 x=0 及附近都有定 义， 0 lim x sinx 存在且 0 lim x sinx=0 而 sin0=0. 解： (1)函数 f(x)= x 1 在点 x=0 处没有定义它在点 x=0 处不连续 . 解： (2) 0 lim n sinx=0=sin0，函数g(x)=s
12、inx 在点 x=0 处是连续的 . 点评：写 g(x)=sinx 在点 x=0 处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为 它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了 例 2 求 f(x)=xx 1，1的最大值和最小值 解：最大值f(1)=1；最小值f( 1)=1 四、课堂练习： 1下面我们直接从图中，观察函数x=a 处是否连续，并说出理由. 第 5 页 共 6 页 （1）（2）（3）（4） （1）连续 .因为函数在点x=a 处有定义，极限存在，并且极限值等于在 a 点的函数值 .(如图 (1) (2)不连续 .因为函数在x=a 处的极限值不等于在x=a 处的函数值 .(如图
13、(2) (3)连续 .因为函数在点x=a处，有定义， 有极限，极限值等于函数值.(如图 (3) (4)不连续 .因为函数在x=a处没有极限 .(如图 (4) (5)不连续 .因为函数在x=a处没有定义 .(如图 (5) 2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续. (1)f(x)= 2 1 x ，点 x=0 解： f(x)在 x=0 处没有定义 . f(x)在 x=0 处不连续 . (2)f(x)=|x|.点 x=0 解： 0 lim x f(x)=0= f(0),f(x)在 x=0 处连续 . 3.已知函数 5 .3264 21| 14)5( 3 1 )( 2 xxx xx xx x
14、f (1)求 f(x)的定义域； (2)作出 f(x)的图形； (3)判断 f(x)是否处处连续. 解： (1)f(x)的定义域是4，3.5. (2)f(x)的图象如图所示. (3)由 f(x)的图象可知，在定义域4，3.5上， f(x)在点 x=1 处不连续，因 为 f(x)在 x=1 处没有极限 . （5） 第 6 页 共 6 页 点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知基本初等函数在其 定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段 的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开， 则函数在该点处不连续. 4.利用函数的连续性求下列极限.
15、 (1) 10 lim x (lg 2x+3lg x+4)；(2) x x x e e 1 1 lim 0 ，(3) 1 1 lim 3 1 x x x 初等函数 (比如 x ;常数，指数函数、对数函数、正弦函数等等 )在其定义 域里每一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续 的，这样就可以求初等函数的极限了.(1)(2)可以用此法求解，(3)中，由于在x=1 处不连续， 所以不能直接用 0 lim xx f(x)=f(x0)来求极限， 可以设法约去分子、分母的 公因式，再求极限. 解： (1)由于 lg 2x+3lgx+4 在 x=10 处连续 .因此 10 lim x
16、 (1g 2 x+3lgx+4)=lg 210+3lg10+4=8. (2)由于 x x e e 1 1 在 x=0 处连续，因此0 11 11 1 1 1 1 lim 0 0 0 e e e e x x x (3)由于 1 1 3 x x 在 x=1 处不连续 . 因此 1 lim x 1 1 lim ) 1)(1( ) 1)(1( lim 1 1 662 6 16626 66 1 3 xx x xxx xx x x xx (x=1 点为此函数的连续点) 3 2 111 11 66 6 五、小结：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条 件： 函数 f(x)在点 x=x0处有定义 . 0 lim xx f(x)存在 . 0 lim xx f(x)=f(x0).还有函数在开 区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最 大值最小值定理 六、课后作业： 1. 七、板书设计（略） 八、课后记：