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1、第 1 页 共 12 页 课题： 正态分布（二） 教学目的： 1利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内 取值的概率 2掌握正态分布与标准正态分布的转换 3了解正态总体的分布情况， 简化正态总体的研究问题 教学重点：利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区 间内取值的概率 教学难点：非标准正态总体在某区间内取值的概率及总体在 （，）(0a）的概率求法 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析 ： 1标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的 正态分布可以通过 )()( x xF转换成标准正态曲线， 转换 后正态分布的各项性质保持不变， 而标准正态分
2、布的概率又 可以通过查表求得， 因而标准正态分布表的使用是本节课的 重点之一 第 2 页 共 12 页 2介绍标准正态分布表的查法表中每一项有三 个相关的量： x、y、P，x 是正态曲线横轴的取值， y 是曲线 的高度， P是阴影部分的面积即)()( 00 xxPx 3标准正态曲线关于y 轴对称因为当0 0 x时， )()( 00 xxPx；而当0 0 x时，根据正态曲线的性质可得： )(1)( 00 xx，并且可以求得在任一区间),( 21 xx内取值的 概率:)()()( 1221 xxxxxP 4由 例讲 授， 对于 任 一正态 总 体),( 2 N都可以 通 过 )()( x xF，求
3、得其在某一区间内取值的概率 5从下列三组数据不难看出，正态总体在（-3，+3 ）以外的概率只有万分之二十六，这是一个很小的概率 这样，就简化了正态总体中研究的问题 F（- ，+）0.683 ， F（-2 ，+2）0.954 ， F（-3 ，+3）0.997 教学过程 ： 一、复习引入： 1. 总体密度曲线 : 样本容量越大， 所分组数越多， 各组 的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容 第 3 页 共 12 页 量无限增大， 分组的组距无限缩小， 那么频率分布直方图就 会无限接近于一条光滑曲线, 这条曲线叫做 总体密度曲线 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在
4、各个范围内取值的概率根据这条曲 线，可求出总体在区间 (a，b) 内取值的概率等于总体密度曲 线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积 2正态分布密度函数： 2 2 () 2 1 ( ),(,) 2 x f xex， （0） 其中是圆周率；e 是自然对数的底； x 是随机变量的取值； 为正态分布的均值； 是正态分布的标准差 . 正态分布一 般记为),( 2 N 2正态分布),( 2 N）是由均值 和标准差 唯一决定 的分布 第 4 页 共 12 页 3正态曲线的性质： （1）曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交 （2）曲线关于直线 x=对称 （3）当 x=时，曲线位于最高点 （4）当 x时
5、，曲线上升（增函数） ；当 x时， 曲线下降（减函数）并且当曲线向左、 右两边无限延伸时， 以 x 轴为渐近线，向它无限靠近 （5）一定时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小曲线越“瘦高”总体分布越集中： 五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解， 因 此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学 4标准正态曲线 : 当=0、=l时，正态总体称为标 准正态总体， 其相应的函数表示式是 2 2 2 1 )( x exf， （- x+） 其相应的曲线称为 标准正态曲线 标准正态总体 N （0，1）在正态总体的研究中占有重要 的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标
6、准正态分 布的概率问题 第 5 页 共 12 页 二、讲解新课： 1.标准正态总体的概率问题: x y 对于标准正态总体N （0，1） ，)( 0 x是总体取值小于 0 x 的概率， 即)()( 00 xxPx， 其中0 0 x，图中阴影部分的面积表示为概率 0 ()P xx只要 有标准正态分布表即可查表解决. 从图中不难发现 : 当0 0 x 时，)(1)( 00 xx；而当0 0 x时，（0）=0.5 2. 标准正态分布表 标准正态总体)1 ,0(N在正态总体的研究中有非常重 要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”在 这个表中，对应于 0 x的值)( 0 x是指总体取值小于 0 x的
7、概率，即)()( 00 xxPx，)0( 0 x 若0 0 x，则)(1)( 00 xx 第 6 页 共 12 页 利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任 意区间),( 21 xx内取值的概率，即直线 1 xx， 2 xx与正态 曲线 、x轴 所 围 成 的曲 边 梯 形 的 面积 1221 ()()()P xxxxx 3非标准正态总体在某区间内取值的概率: 可以通过 )()( x xF转化成标准正态总体， 然后查标准正态分布表 即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均 值和标准差，然后进行相应的转化 4. 小概率事件的含义 发生概率一般不超过5的事件，即事件在一次试验中 几乎不
8、可能发生 假设检验方法的基本思想: 首先，假设总体应是或近似 为正态总体， 然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验 中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出统计假设， 教科书中的统计假设总体是正态总 体； 二是确定一次试验中的a 值是否落入 ( -3，+3 ) ； 第 7 页 共 12 页 三是作出判断 三、讲解范例： 例 1 求标准正态总体在（-1 ，2）内取值的概率 解：利用等式)()( 12 xxp有 11)2() 1()2(p = 1)1()2(=0.9772 0.8413 1=0.8151 例2. 若xN(0,1),求 (l)P(-2.322)
9、. 解： (1)P(-2.322)=1-P(x2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228. 例 3利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区 间取值的概率： (1) 在 N(1,4) 下，求)3(F （2）在 N（， 2）下，求（ ，） ； （1.84，1.84） ；（ 2，2 ） ； （3，3） 第 8 页 共 12 页 解： （）)3(F) 2 13 (（1）0.8413 （）（ ） )( （1）0.8413 （） )( （1） （1） 0.84130.1587 （， ） （） （） 0.8413 0.15870.6826 （1.84，1.84）（1.84 ）（ 1.84 ）0.93
10、42 （2，2）（ 2）（ 2） 0.954 （3，3）（ 3）（ 3） 0.997 对于正态总体),( 2 N取值的概率： 68.3% 2 x 95.4% 4 x 99.7% 6 x 在区间（ -，+） 、 （-2 ，+2） 、 （-3 ，+3）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因 此我们时常只在区间（ -3，+3）内研究正态总体分 布情况，而忽略其中很小的一部分 第 9 页 共 12 页 例 4某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且 该函数的最大值为 2 1 ，求总体落入区间（ 1.2 ，0.2 ）之 间的概率 解：正态分布的概率密度函数是 ),(, 2 1 )(
11、2 2 2 )( xexf x ， 它是偶函数，说明0，)(xf 的最大值为)(f 2 1 ，所以 1，这个正态分布就是 标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)1(1.2)(0.2)(1.2)1Px 0.57930.8848 10.4642 四、课堂练习 ： 1. 利用标准正态分布表， 求标准正态总体在下面区间取值的 概率 （） （0，） ；（） （，） 解： （）P（1）（0）0.84130.5 0.3413 （） P（3）（1）0.98870.84130.1574 2. 若xN(0,1),求P(x-1) 解：由公式(-x)=1- (x)，得 P(x-1)=(-1)
12、=1-(1)=1-0.8413=0.1587 第 10 页 共 12 页 3. 某县农民年平均收入服从=500 元，=200 元的正态分 布（1）求此县农民年平均收入在500 520 元间人数的百 分比； （2）如果要使此县农民年平均收入在（aa,） 内的概率不少于0.95，则a至少有多大？ 解：设表示此县农民年平均收入，则)200,500( 2 N 520 500500 500 (500520)()()(0.1)(0)0.5398 0.5 0.0398 200200 P （2） ()()()2()10.95 200200200 aaa Paa， ()0.975 200 a 查表知：1.963
13、92 200 a a 五、小结 ： 正态总体 N(， 2) 转化为标准正态总体 N(0,1) 的等式)()( x xF及其应用通过生产过程的质量控制 图，了解假设检验的基本思想 六、课后作业 ： 七、板书设计 （略） 八、课后记： 小概率事件 正态总体在（ 3，3）以外的概率只有千分 之三，这是一个很小的概率这样我们在研究问题时可以集 中在（3，3）中研究，而忽略其中很小的一部 第 11 页 共 12 页 分，从而简化了正态正态中研究的问题 （1） 小概率事件通常是指在一次试验中几乎不可能发生 的事件一般情形下，指发生的概率小于5% 的事件但要注 意两点：一是几乎不可能发生的事件是针对一次试验
14、来讲 的，如果试验次数多了，该事件当然是可能发生的；二是利 用“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的思想来 进行推断时，也有5% 的犯错误的可能 （2） 正态分布的小概率事件说明正态总体中的绝大部分 的数据 99.7%落在平均值左右各偏 3的范围内 1. 已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分 布 N(27.45,0.05 2), 质量检验员随机抽查了 10 个零件，测得 它们的尺寸为： 27.34 、27.49 、27.55 、27.23 、 27.40 、27.46 、27.38 、27.58、27.54、27.68请 你根据正态分布的小概率事件， 帮助质量检验员确定哪些零 件应
15、该判定在非正常状态下生产的 解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思 想我们对落在区间（ 27.45 30.05，27.45 30.05） （27.3，27.6）之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是 正 常 状态下 生产的 假 设有 两个 零件 不符 合 落在区间 第 12 页 共 12 页 （27.3 ，27.6 ）之内； 答：尺寸为 27.23 和尺寸为 27.68 的两个零件， 它们是在非 正常状态下生产的 2. 灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：） ，已知N （1000，30 2) ，要使灯泡的平均寿命为 1000的概率为 99.7，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？ 解：因为灯泡寿命 N(1000，30 2) ，故在（10003 30，1000330）内取值的概率为99.7，即在（ 910， 1090）内取值的概率为99.7，故灯泡的最低使用寿命应 控制在 910以上 进行假设检验的方法与步骤： （1）提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布 N（， 2） ； （2）确定一次试验a值是否落入（ 3，3） ； （3）作出判断：如果)3,3(a，就接受假设；如果 )3,3(a，由于这是小概率事件，就拒绝假设，说 明生产过程中出现了异常情况