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1、第 1 页 共 12 页 课题: 正态分布(二) 教学目的: 1利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内 取值的概率 2掌握正态分布与标准正态分布的转换 3了解正态总体的分布情况, 简化正态总体的研究问题 教学重点:利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区 间内取值的概率 教学难点:非标准正态总体在某区间内取值的概率及总体在 (,)(0a)的概率求法 授课类型: 新授课 课时安排: 1 课时 教具:多媒体、实物投影仪 内容分析 : 1标准正态分布是正态分布研究的重点,各式各样的 正态分布可以通过 )()( x xF转换成标准正态曲线, 转换 后正态分布的各项性质保持不变, 而标准正态分
2、布的概率又 可以通过查表求得, 因而标准正态分布表的使用是本节课的 重点之一 第 2 页 共 12 页 2介绍标准正态分布表的查法表中每一项有三 个相关的量: x、y、P,x 是正态曲线横轴的取值, y 是曲线 的高度, P是阴影部分的面积即)()( 00 xxPx 3标准正态曲线关于y 轴对称因为当0 0 x时, )()( 00 xxPx;而当0 0 x时,根据正态曲线的性质可得: )(1)( 00 xx,并且可以求得在任一区间),( 21 xx内取值的 概率:)()()( 1221 xxxxxP 4由 例讲 授, 对于 任 一正态 总 体),( 2 N都可以 通 过 )()( x xF,求
3、得其在某一区间内取值的概率 5从下列三组数据不难看出,正态总体在(-3,+3 )以外的概率只有万分之二十六,这是一个很小的概率 这样,就简化了正态总体中研究的问题 F(- ,+)0.683 , F(-2 ,+2)0.954 , F(-3 ,+3)0.997 教学过程 : 一、复习引入: 1. 总体密度曲线 : 样本容量越大, 所分组数越多, 各组 的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容 第 3 页 共 12 页 量无限增大, 分组的组距无限缩小, 那么频率分布直方图就 会无限接近于一条光滑曲线, 这条曲线叫做 总体密度曲线 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在
4、各个范围内取值的概率根据这条曲 线,可求出总体在区间 (a,b) 内取值的概率等于总体密度曲 线,直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积 2正态分布密度函数: 2 2 () 2 1 ( ),(,) 2 x f xex, (0) 其中是圆周率;e 是自然对数的底; x 是随机变量的取值; 为正态分布的均值; 是正态分布的标准差 . 正态分布一 般记为),( 2 N 2正态分布),( 2 N)是由均值 和标准差 唯一决定 的分布 第 4 页 共 12 页 3正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=对称 (3)当 x=时,曲线位于最高点 (4)当 x时
5、,曲线上升(增函数) ;当 x时, 曲线下降(减函数)并且当曲线向左、 右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐近线,向它无限靠近 (5)一定时,曲线的形状由 确定 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散; 越小曲线越“瘦高”总体分布越集中: 五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解, 因 此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比教学 4标准正态曲线 : 当=0、=l时,正态总体称为标 准正态总体, 其相应的函数表示式是 2 2 2 1 )( x exf, (- x+) 其相应的曲线称为 标准正态曲线 标准正态总体 N (0,1)在正态总体的研究中占有重要 的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标
6、准正态分 布的概率问题 第 5 页 共 12 页 二、讲解新课: 1.标准正态总体的概率问题: x y 对于标准正态总体N (0,1) ,)( 0 x是总体取值小于 0 x 的概率, 即)()( 00 xxPx, 其中0 0 x,图中阴影部分的面积表示为概率 0 ()P xx只要 有标准正态分布表即可查表解决. 从图中不难发现 : 当0 0 x 时,)(1)( 00 xx;而当0 0 x时,(0)=0.5 2. 标准正态分布表 标准正态总体)1 ,0(N在正态总体的研究中有非常重 要的地位,为此专门制作了“标准正态分布表”在 这个表中,对应于 0 x的值)( 0 x是指总体取值小于 0 x的
7、概率,即)()( 00 xxPx,)0( 0 x 若0 0 x,则)(1)( 00 xx 第 6 页 共 12 页 利用标准正态分布表,可以求出标准正态总体在任 意区间),( 21 xx内取值的概率,即直线 1 xx, 2 xx与正态 曲线 、x轴 所 围 成 的曲 边 梯 形 的 面积 1221 ()()()P xxxxx 3非标准正态总体在某区间内取值的概率: 可以通过 )()( x xF转化成标准正态总体, 然后查标准正态分布表 即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均 值和标准差,然后进行相应的转化 4. 小概率事件的含义 发生概率一般不超过5的事件,即事件在一次试验中 几乎不
8、可能发生 假设检验方法的基本思想: 首先,假设总体应是或近似 为正态总体, 然后,依照小概率事件几乎不可能在一次试验 中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序,即“三步曲” 一是提出统计假设, 教科书中的统计假设总体是正态总 体; 二是确定一次试验中的a 值是否落入 ( -3,+3 ) ; 第 7 页 共 12 页 三是作出判断 三、讲解范例: 例 1 求标准正态总体在(-1 ,2)内取值的概率 解:利用等式)()( 12 xxp有 11)2() 1()2(p = 1)1()2(=0.9772 0.8413 1=0.8151 例2. 若xN(0,1),求 (l)P(-2.322)
9、. 解: (1)P(-2.322)=1-P(x2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228. 例 3利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区 间取值的概率: (1) 在 N(1,4) 下,求)3(F (2)在 N(, 2)下,求( ,) ; (1.84,1.84) ;( 2,2 ) ; (3,3) 第 8 页 共 12 页 解: ())3(F) 2 13 ((1)0.8413 ()( ) )( (1)0.8413 () )( (1) (1) 0.84130.1587 (, ) () () 0.8413 0.15870.6826 (1.84,1.84)(1.84 )( 1.84 )0.93
10、42 (2,2)( 2)( 2) 0.954 (3,3)( 3)( 3) 0.997 对于正态总体),( 2 N取值的概率: 68.3% 2 x 95.4% 4 x 99.7% 6 x 在区间( -,+) 、 (-2 ,+2) 、 (-3 ,+3)内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因 此我们时常只在区间( -3,+3)内研究正态总体分 布情况,而忽略其中很小的一部分 第 9 页 共 12 页 例 4某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且 该函数的最大值为 2 1 ,求总体落入区间( 1.2 ,0.2 )之 间的概率 解:正态分布的概率密度函数是 ),(, 2 1 )(
11、2 2 2 )( xexf x , 它是偶函数,说明0,)(xf 的最大值为)(f 2 1 ,所以 1,这个正态分布就是 标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)1(1.2)(0.2)(1.2)1Px 0.57930.8848 10.4642 四、课堂练习 : 1. 利用标准正态分布表, 求标准正态总体在下面区间取值的 概率 () (0,) ;() (,) 解: ()P(1)(0)0.84130.5 0.3413 () P(3)(1)0.98870.84130.1574 2. 若xN(0,1),求P(x-1) 解:由公式(-x)=1- (x),得 P(x-1)=(-1)
12、=1-(1)=1-0.8413=0.1587 第 10 页 共 12 页 3. 某县农民年平均收入服从=500 元,=200 元的正态分 布(1)求此县农民年平均收入在500 520 元间人数的百 分比; (2)如果要使此县农民年平均收入在(aa,) 内的概率不少于0.95,则a至少有多大? 解:设表示此县农民年平均收入,则)200,500( 2 N 520 500500 500 (500520)()()(0.1)(0)0.5398 0.5 0.0398 200200 P (2) ()()()2()10.95 200200200 aaa Paa, ()0.975 200 a 查表知:1.963
13、92 200 a a 五、小结 : 正态总体 N(, 2) 转化为标准正态总体 N(0,1) 的等式)()( x xF及其应用通过生产过程的质量控制 图,了解假设检验的基本思想 六、课后作业 : 七、板书设计 (略) 八、课后记: 小概率事件 正态总体在( 3,3)以外的概率只有千分 之三,这是一个很小的概率这样我们在研究问题时可以集 中在(3,3)中研究,而忽略其中很小的一部 第 11 页 共 12 页 分,从而简化了正态正态中研究的问题 (1) 小概率事件通常是指在一次试验中几乎不可能发生 的事件一般情形下,指发生的概率小于5% 的事件但要注 意两点:一是几乎不可能发生的事件是针对一次试验
14、来讲 的,如果试验次数多了,该事件当然是可能发生的;二是利 用“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的思想来 进行推断时,也有5% 的犯错误的可能 (2) 正态分布的小概率事件说明正态总体中的绝大部分 的数据 99.7%落在平均值左右各偏 3的范围内 1. 已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分 布 N(27.45,0.05 2), 质量检验员随机抽查了 10 个零件,测得 它们的尺寸为: 27.34 、27.49 、27.55 、27.23 、 27.40 、27.46 、27.38 、27.58、27.54、27.68请 你根据正态分布的小概率事件, 帮助质量检验员确定哪些零 件应
15、该判定在非正常状态下生产的 解:小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思 想我们对落在区间( 27.45 30.05,27.45 30.05) (27.3,27.6)之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是 正 常 状态下 生产的 假 设有 两个 零件 不符 合 落在区间 第 12 页 共 12 页 (27.3 ,27.6 )之内; 答:尺寸为 27.23 和尺寸为 27.68 的两个零件, 它们是在非 正常状态下生产的 2. 灯泡厂生产的白炽灯寿命(单位:) ,已知N (1000,30 2) ,要使灯泡的平均寿命为 1000的概率为 99.7,问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上? 解:因为灯泡寿命 N(1000,30 2) ,故在(10003 30,1000330)内取值的概率为99.7,即在( 910, 1090)内取值的概率为99.7,故灯泡的最低使用寿命应 控制在 910以上 进行假设检验的方法与步骤: (1)提出统计假设,具体问题里的统计假设服从正态分布 N(, 2) ; (2)确定一次试验a值是否落入( 3,3) ; (3)作出判断:如果)3,3(a,就接受假设;如果 )3,3(a,由于这是小概率事件,就拒绝假设,说 明生产过程中出现了异常情况