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1、1 1.3.2函数的极值与导数 学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并 会灵活应用 .2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 知识点一函数极值的概念 1.极小值点与极小值 如图，函数yf(x)在点 xa 的函数值f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a) 0；而且在点xa 附近的左侧f(x)0，右侧 f(x) 0，则把点a 叫做函数y f(x)的极 小值点， f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 . 2.极大值点与极大值 如图，函数yf(x)在点 xb 的函数值f(b)比它在点xb 附近其他点的函数值都大，f(
2、b) 0；而且在点xb 的左侧 f(x)0，右侧 f(x) 0，则把点b 叫做函数yf(x)的极大值 点， f(b)叫做函数yf(x)的极大值 . 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 思考(1)可导函数f(x)在点 x0处取极值的充要条件是什么？ (2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？ 答案(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函 数 yf(x)在一点的导数值为零是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”. 可导函数f(x)在点 x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在 x0左侧和右侧 f
3、(x)符号不 同.如果在 x0的两侧 f(x)符号相同，则x0不是 f(x)的极值点 . (2)不一定 . 知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤 1.求函数 yf(x)的极值的方法 解方程 f(x)0，当 f (x0)0 时： (1)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x) 0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x) 0，那么 f(x0)是极小值 . 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f(x). 2 (2)求 f(x)的拐点，即求方程f (x)0 的根 . (3)利用 f(x)与 f(x)随 x 的
4、变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 思考可导函数f(x)若存在极值点x0，则 x0能否为相应区间的端点吗？ 答案不能 . 题型一求函数的极值 例 1求函数 f(x) 1 3x 3 4x4 的极值 . 解由题意可知f(x)x2 4. 解方程 x240，得 x1 2，x22. 由 f(x) 0得 x 2 或 x2； 由 f(x) 0得 2 x2. 当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x ( ， 2)2(2,2)2(2， ) f(x)00 f(x) 28 3 4 3 由表可知：当x 2 时， f(x)有极大值f(2) 28 3 . 当 x2 时， f(x)有极
5、小值f(2) 4 3. 反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f(x)； (2)求方程 f(x)0 的根； (3)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测 f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负， 那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果 左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无 极值 . 跟踪训练1求下列函数的极值. (1)y2x 36x2 18x3； (2)y2x8 x. 解(1)函数的定义域为R. y6x 212x 186(x3)(x1)， 3 令 y
6、0，得 x 3或 x1. 当 x 变化时， y，y 的变化情况如下表： x (， 3)3(3,1)1(1， ) y00 y 极大值 57极小值 7 从上表中可以看出，当x 3 时，函数取得极大值，且y极大值57. 当 x1 时，函数取得极小值，且y极小值 7. (2)函数的定义域为(， 0) (0， )， y2 8 x 22 1 4 x 22 1 2 x 1 2 x ， 令 y 0，得 x 2或 x2. 当 x 2 时， y 0；当 2x0 时， y0. 即 x 2 时， y 取得极大值，且极大值为8. 当 0x2 时， y0；当 x2 时， y0. 即 x2 时， y 取得极小值，且极小值为
7、8. 题型二利用函数极值确定参数的取值范围(或值 ) 例 2已知函数f(x)6ln xax 28xb(a，b 为常数 )，且 x3 为 f(x)的一个极值点 . (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)若 yf(x)的图象与x 轴正半轴有且只有3 个交点，求实数b 的取值范围 . 解(1)f(x) 6 x2ax 8，f(3)26a80，解得 a 1. (2)函数 f(x)的定义域为 (0， ). 由(1)知 f(x)6ln xx28xb. f(x) 6 x 2x8 2 x 24x3 x . 由 f(x) 0可得 x3 或 0x1， 由 f(x) 0可得 1x3(x0 舍
8、去 ). 函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3， )，单调递减区间为(1,3). (3)由(2)可知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3， )上单调递增 . 且当 x 1 和 x3 时， f(x) 0. f(x)的极大值为f(1)6ln 118bb7， f(x)的极小值为f(3)6ln 3924b6ln 3b15. 当 x 充分接近0 时， f(x)0，当 x 充分大时， f(x)0， 4 要使 f(x)的图象与x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需 f 1 b70， f 3 b6ln 3150. b 的取值范围是7b156ln 3. 反思与感悟解决参
9、数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用. 跟踪训练 2设函数 f(x)a 3x 3bx2cx d(a0)， 且方程 f(x)9x 0的两个根分别为 1,4， 若 f(x)在(， )内无极值点，求a 的取值范围 . 解因为a0，所以 “f(x) a 3x 3bx2cx d 在( ， )内无极值点 ”等价于 “f(x) ax 22bxc 0在 (， )内恒成立 ”. 由 f(x) 9x0(即 ax 2(2b 9)xc0)的两实数根分别为 1,4，可得 9 2b a 5， c a4， 故 2b 95a，c4a. 所以对于一元二次方程ax 22bxc0， (2b)24ac9(a1)(a
10、9).不等式 ax 22bx c0 在( ， )内恒成立等价于 a0， 9 a 1 a 9 0， 解得 1 a9.易验证 a 1 与 a9 均满足题意，故a 的取值范围是1,9. 题型三函数极值的综合应用 例 3已知函数f(x) 1 3x 3a 2x 22x(a R)，若过点 0， 1 3 可作函数yf(x)图象的三条不 同切线，求实数a 的取值范围 . 解设点 P(t，1 3t 3a 2t 2 2t)是函数 yf(x)图象上的切点， 则过点 P 的切线的斜率 kf (t) t2at2， 所以过点 P 的切线方程为 y1 3t 3a 2t 22t(t2at2)(xt)， 因为点 0， 1 3
11、在该切线上， 所以 1 3 1 3t 3a 2t 22t(t2at2)(0t)， 即2 3t 31 2at 21 30. 若过点0， 1 3 可作函数yf(x)图象的三条不同 切线， 5 则方程 2 3t 31 2at 21 30 有三个不同的实数根 .令 g(t) 2 3t 31 2at 21 3，则函数 yg(t)的图象与 坐标轴横轴有三个不同的交点. 令 g(t)2t 2at0，解得 t0 或 ta 2. 因为 g(0) 1 3，g( a 2) 1 24a 31 3， 所以必须有g a 2 1 24a 31 30，即 a 2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点 . 所以实数a 的取值
12、范围为(2， ). 反思与感悟求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明 有关不等式、 解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学 中应用广泛，是高考命题的热点. 跟踪训练3已知函数f(x) x 3ax2b(a，bR). (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若对任意a3,4，函数 f(x)在 R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围 . 解(1)因为 f(x) x3ax 2b， 所以 f(x) 3x2 2ax 3x(x 2a 3 ). 当 a0 时， f(x) 3x20，函数 f(x)没有单调递增区间；当a0 时，令 f(x)0，即
13、 3x(x2a 3 )0，解得 00， 即 3x(x 2a 3 )0，解得 2a 3 0， f x 极小值0， b4a 3 27 恒成立， 6 所以 b( 4a 3 27 )max 43 3 27 4. 所以实数b 的取值范围为(4,0). 因忽视对所得参数进行检验而致误 例 4若函数 f(x)x 3ax2 bxa2 在 x1 处取得极值10，试求 a， b的值 . 错解由导数公式表和求导法则得， f(x)3x 22axb， 依题意得 f 1 10， f 1 0， 即 a 2 ab9， 2ab 3， 解得 a4， b 11 或 a 3， b3. 错因分析由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取
14、得极值的必要条件，而非充分条件. 因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错. 正解由导数公式表和求导法则得， f(x)3x 22axb， 依题意得 f 1 10， f 1 0， 即 a 2 ab9， 2ab 3， 解得 a4， b 11 或 a 3， b3. 但由于当a 3，b 3 时， f(x) 3x26x33(x1)20，故 f(x)在 R 上单调递增，不 可能在 x1 处取得极值，所以 a 3， b3 不符合题意，应舍去. 而当 a4， b 11 时，经检验知符合题意，故a，b 的值分别为4， 11. 防范措施根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函
15、数在这一 点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值， 从而进行取舍 . 1.已知函数f(x)2x 3ax236x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是 () A.(2,3) B.(3， ) 7 C.(2， ) D.(， 3) 答案B 解析f(x)6x22ax36，且在 x2 处有极值， f(2)0,24 4a360，a 15，f (x)6x230x366(x2)(x3)，由 f(x) 0 得 x2 或 x3. 2.下列关于函数的极值的说法正确的是() A.导数值为0 的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域
16、内有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在 (a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数 答案D 解析由极值的概念可知只有D 正确 . 3.函数 f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)() A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 答案C 解析在 xx0的两侧， f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； f(x)的符号由负变正， 则 f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点 . 4.已知 f(x)x 3 ax2(a6)x1 有极大值和
17、极小值，则 a的取值范围为() A. 1a2 B.3a6 C.a 1 或 a2 D.a 3 或 a6 答案D 解析f(x) 3x22ax(a6)， 因为 f(x)既有极大值又有极小值，那么 (2a)243(a 6)0，解得 a 6 或 a 3. 5.设函数 f(x) 6x 33(a2)x22ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x21，则实数 a 的值 为_. 答案9 解析f(x) 18x26(a 2)x2a.由已知 f(x1) f(x2)0，从而 x1x2 2a 18 1，所以 a 8 9. 1.求函数极值的基本步骤：(1)求函数定义域；(2)求 f(x)；(3)解 f(x)
18、 0；(4)列表 (f(x)， f(x)随 x 的变化情况 )；(5)下结论 . 2.函数的极值的应用：(1)确定参数的值，一般用待定系数法；(2)判断方程根的情况时，利 用导数研究函数单调性、极值，画出函数大致图象，利用数形结合思想来讨论根的情况. 一、选择题 1.设函数 f(x) xe x，则 ( ) A.x1 为 f(x)的极大值点 B.x1 为 f(x)的极小值点 C.x 1 为 f(x)的极大值点 D.x 1 为 f(x)的极小值点 答案D 解析令 ye xx ex(1x)ex0，得 x 1.当 x 1 时， y0；当 x 1 时， y 0.故当 x 1 时， y 取得极小值 . 2
19、.设 ab，函数 y(xa) 2(xb)的图象可能是 () 答案C 解析y(xa)(3xa2b)，由 y0 得 x1a，x2a2b 3 .根据用导数求极值的方法及 选项可得，当xa 时， y 取得极大值0，当 x a2b 3 时， y 取得极小值且极小值为负.故选 C. 3.已知函数f(x)x 3ax2bxa27a 在 x1 处取得极大值 10，则 a b的值为 ( ) A. 2 3 B.2 9 C. 2 或 2 3 D.不存在 答案A 解析f(x) x3 ax2bx a2 7a， f(x)3x22axb. 又 f(x)x 3ax2bxa27a 在 x1 处取得极大值 10， f(1)32ab
20、0，f(1)1aba27a10， a28a120， a 2，b1 或 a 6，b9. 当 a 2，b1 时， f(x)3x 24x1(3x1)(x1). 当1 3x1 时， f(x)0，当 x1 时， f(x)0， f(x)在 x1 处取得极小值，与题意不符. 当 a 6，b9 时， f(x)3x212x93(x1)(x3)； 当 x1 时， f(x)0，当 1x3 时， f (x)0， f(x)在 x1 处取得极大值，符合题意； a b 6 9 2 3. 4.若 a0， b0， 且函数 f(x)4x 3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于 () A.2 B.3 C.6
21、D.9 答案D 解析f(x) 12x22ax2b， f(x)在 x1 处有极值， f(1)122a2b0，ab 6. 又 a0，b0， ab2ab，2ab6， ab9，当且仅当ab3 时等号成立， ab 的最大值为9. 5.“函数 yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案B 解析对于 f(x)x3，f (x)3x2，f(0) 0， 不能推出f(x)在 x0 处取极值，反之成立.故选 B. 6.已知函数f(x)x 3ax2x2(a0)的极大值点和极小值点都在区间 (1,1)内，则实数a
22、 10 的取值范围是 () A.(0,2 B.(0,2) C.3，2) D.(3，2) 答案D 解析由题意可知f(x)0 的两个不同解都在区间( 1,1)内.因为 f(x)3x22ax1，所 以根据导函数图象可得 2a 24310， 12a 6 1， f 1 32a10， f 1 32a10， 又 a0，解得3 a2.故选 D. 二、填空题 7.若函数 yx 33axa 在(1,2) 内有极小值，则实数 a 的取值范围是_. 答案(1,4) 解析y3x 23a，当 a 0 时， y 0， 函数 y x3 3axa 为单调函数，不合题意，舍去； 当 a0 时， y3x23a0? x a，不难分析
23、， 当 1a2，即 1a 4时，函数yx 33axa 在(1,2)内有极小值 . 8.若直线ya 与函数f(x) x 3 3x 的图象有相异的三个公共点，则 a 的取值范围是 _. 答案(2,2) 解析令 f(x)3x230，得 x 1，则极大值为f(1) 2，极小值为f(1) 2.如图，观 察得 2a2 时恰有三个不同的公共点. 9.已知函数f(x) xa x1 e x 在定义域内有极值点，则实数a 的取值范围是 _. 答案(， 1)(3， ) 解析f(x) x1xa x1 2 e xxa x1 e xx 2 1a x1 x1 2 e x.因为 x2(1a)x10 有两个不 相等且不等于1
24、的实数根，所以(1a)24 0且 a 1，解得 a 1 或 a3. 10.如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 11 函数 yf(x)在区间 3， 1 2 内单调递增； 函数 yf(x)在区间1 2，3 内单调递减； 函数 yf(x)在区间 (4,5)内单调递增； 当 x 2 时，函数yf(x)有极小值； 当 x 1 2 时，函数yf(x)有极大值 . 则上述判断正确的是_.(填序号 ) 答案 解析函数的单调性由导数的符号确定，当 x(， 2)时，f(x)0， 所以 f(x)在( ， 2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数，在(4， )上
25、为增函 数，所以可排除 和，可选择 .由于函数在x2 的左侧递增，右侧递减，所以当x2 时，函数有极大值；而在x 1 2的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在 x 1 2 的左 右两侧均为增函数，所以x 1 2不是函数的极值点 .排除 和 . 三、解答题 11.已知 f(x)x 31 2mx 22m2x4(m 为常数，且 m0)有极大值 5 2，求 m 的值 . 解f(x) 3x 2mx2m2(xm)(3x 2m)， 令 f(x) 0，则 x m 或 x 2 3m. 当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (， m)m m，2 3m 2 3m 2 3m， f(x)00 f
26、(x)极大值极小值 f(x)极大值f(m) m 31 2m 3 2m3 45 2，m1. 12.设 a 为实数，函数f(x)x 3x2xa. (1)求 f(x)的极值； (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线y f(x)与 x 轴仅有一个交点？ 12 解(1)f(x)3x 22x1. 令 f(x) 0，则 x 1 3或 x1. 当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x ， 1 3 1 3 1 3，1 1(1， ) f(x)00 f(x)极大值极小值 所以 f(x)的极大值是 f 1 3 5 27a，极小值是 f(1)a1. (2)函数 f(x)x 3x2xa (x1) 2(x
27、1)a1， 由此可知， x 取足够大的正数时，有f(x)0， x 取足够小的负数时，有f(x) 0， 所以曲线yf(x)与 x 轴至少有一个交点. 由(1)知 f(x)极大值f 1 3 5 27a， f(x)极小值f(1)a1. 曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点， f(x)极大值0 或 f(x)极小值0， 即 5 27a0 或 a 10，a 5 27或 a1， 当 a ， 5 27 (1， )时，曲线yf(x)与 x 轴仅有一个交点. 13.已知函数f(x)ae 2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数 f (x)为偶函数， 且曲线 yf(x)在点 (0，f(0)处的切线的斜率为4 c.
28、 (1)确定 a，b 的值； (2)若 c3，判断 f(x)的单调性； (3)若 f(x)有极值，求c 的取值范围 . 解(1)对 f(x)求导，得f (x)2ae 2x2be2x c，由 f(x)为偶函数，知 f(x)f(x)恒 成立，即2(ab) (e2xe 2x)0 恒成立，所以 ab. 又 f(0)2a2bc4 c，故 a1，b1. (2)当 c3 时， f(x)e 2xe2x3x，那么 f(x)2e 2x2e2x32 2e2x 2e 2x 310， 故 f(x)在 R 上为增函数 . 13 (3)由(1)知 f(x)2e 2x2e2xc， 而 2e2x2e 2x2 2e2x 2e 2x4， 当 x0 时等号成立 . 下面分三种情况进行讨论. 当 c0，此时 f(x)无极值； 当 c4 时，对任意x0， f(x) 2e2x2e 2x40，此时 f(x)无极值； 当 c4 时，令 e2xt，注意到方程2t 2 t c0 有两根 t1,2 c c 216 4 0，即 f(x)0 有两 个根， 且 x11 2ln t 1，x2 1 2ln t2. 当 x1x2时， f(x)0，从而 f(x)在 xx2处取得极小值 .综上，若 f(x)有极值，则c 的取值范 围为 (4， ).