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1、用心爱心专心 11.2 直线的倾斜角和斜率 一、 教学内容分析 本节的重点是直线倾斜角和斜率的概念. 引入斜率和倾斜角是为了刻画直线和x轴间的相 对位置关系，是由于进一步研究直线方程的需要. 在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学 生理解倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系. 本节的难点是当斜率为负值或斜率不存在时，求直线的斜率；弄清倾斜角、斜率与直线 方向向量、法向量的联系，已知其中一个，会求其它三个. 二、教学目标设计 理解倾斜角与斜率的概念; 建立倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的关系；认识事 物间联系的本质，体会用联系的观点看问题. 三、教学重点及难点 直线的倾斜角、
2、斜率的概念以及它们之间的关系； 已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个. 四、教学用具准备 投影仪， ppt 演示 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、复习引入 课堂小结并布置作业 相互关系 倾斜角、斜率、方向向 量、法向量的相互联系 概念 符号 复习引入 倾斜角 斜率 运用与深化 (例题解析、巩固练习) 用心爱心专心 x y 2 O 第一节中，我们学习了一次方程0( ,0)axbyca b不全为是直线的方程，即可以用 方程这个代数形式描述直线这个几何曲线. 任意两条直线都可以构成角，为了把它代数化，我 们用第三条直线去交这两条直线，如果知道它们各自与第三条直线所交成的角，那么它们
3、构 成的角就可以算出. 我们取 x轴作为第三条直线，考虑任意直线与x 轴构成的角 . 二、讲授新课 1、概念引入 什么是倾斜角？ 给出一些与x轴相交的直线 （如1,1,1yxyxx） ，学生对照图形，给出倾斜角 的定义，教师帮助规范语言，完善概念. 若直线l与x轴相交于点M，将x轴绕点M逆时针方向旋转至与直线l重合时所成的最 小正角叫做直线l的倾斜角 . 那么3y的倾斜角怎么规定呢？当直线l与x轴平行或重合 （即l与y轴垂直） 时，规定 其倾斜角0. 根据定义，直线的倾斜角的取值范围是0,). 特别地，l与x轴垂直时， 2 . 什么是斜率 当 2 时，记的正切值为k，把t a nk叫做直线l的
4、斜率； 当 2 时，直线l的 斜率k不存在 . 2、概念深化 随着倾斜角在0,)内的取值逐渐增大，斜 率 的 值如何变化呢？ 当 2 时 ， 斜 率t a nk存 在 ， 作 出 tany在0,)(,) 22 的 图 像 ， 正 切 函 数 tany在区间0,) 2 为单调增，在区间(,) 2 内也 是 单 调增，但在0,)(,) 22 内，却不具有单调性. 得到以下结论： (1)0 2 用心爱心专心 随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，0,)k. (2) 2 随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，(,0)k. 反之，0,(0,);0,0;0,(,). 22 kkk时时时 直线l的倾斜
5、角、斜率k、方向向量d之间有什么关系？已知其中一个可以求其它 两个吗？ （1）已知倾斜角 当 2 时， tank ；当 2 时，斜率 k不存在 . 方向向量( cos,sin),0drrr. 特别地，当 2 时，显然cos0r，则 cossin (,)(1,) coscos rr k rr 也是直线的一个方向向量. （2）已知斜率k（ 2 ） 当0k时，由0,) 2 ，故倾斜角arctan k；当0k时，由(,) 2 ，故 arctan k. 由于 2 ，直线的一个方向向量(1, )dk. （3）已知一个方向向量( , )du v 当0u时，直线垂直x轴，k不存在， 2 ；当0u时，(1, )
6、 v d u 也是一个方向向 量，而k存在，再由上面的分析知(1, )k也是方向向量，故 v k u （这个结论也可以从几何角 度研究得到） ；倾斜角的研究要根据 v k u 的符号讨论（请学生课后自行完成）. 思考：法向量，倾斜角，斜率又有何关系？（请学生课后自行完成） 3、例题解析 例 1已知直线l上两点,A B，求直线l的倾斜角和斜率k. （1）(1,3),(5, 1)AB； （2）(1,2),(1, 1)AB； 用心爱心专心 （3）(0,5),( 1,5)AB. 说明 本题考察学生对倾斜角、斜率定义和关系的掌握. 一般，当 12 xx时，过两点 1122 (,),(,)A x yB x
7、y的直线的斜率 21 21 yy k xx ；当 12 xx时， 直线斜率不存在. 解：（1） 直线的一个方向向量为(4, 4)dAB， 故 4 1 4 k， 3 arctan( 1) 4 ； （2）直线的一个方向向量为(0, 3)dAB，故k不存在， 1 2 ； （3）直线的一个方向向量为 ( 1,0)dAB ，故 0 0 1 k ，0； 思考：已知直线l过两点 ( ,0),(0, )A aBb ，直线l的倾斜角和斜率k是什么？ 例 2 （1）已知直线斜率2k，求倾斜角及一个方向向量； （2）已知直线l的一个方向向量为( 3, 3)d，求直线l的倾斜角和斜率. 说明 本题考察直线倾斜角、斜率
8、、方向向量之间的关系. 解： （ 1）20k, 故为钝角，arctan( 2)arctan2；直线的一个方向向量 (1, )(1, 2)dk； （2） 3 30 3 k， 2 arctanarctan(3) 3 k. 注 意 ： 通 过k求时 ， 要 先 判 断k的 符 号 ， 若0,ka r c t a nk为 锐 角 ； 若 0,karctank为钝角；若0,k0. 例 3. 已知(23,),(2,1)MmmN m，当m取何值时， 直线MN的倾斜角为锐角、直角、 钝 角？ 说明 本题主要涉及倾斜角和斜率的关系. 解： 若直线MN的倾斜角为锐角， 则 12 12 11 0 (23)(2)5
9、yymm k xxmmm ， 故5m 或1m；若直线MN的倾斜角为直角，则 1 5 m k m 不存在，故5m；若直线MN的倾 斜角为钝角，则 1 0 5 m k m ，故51m. 用心爱心专心 思考：1m时，直线MN的倾斜角为何值？ 例 4. 求直线sin1yx的倾斜角的范围 说明 本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用. 解：设倾斜角为，由题意知斜率sin 1,1k； 当 1,0)k时，为钝角，arctank，由 1 arctan,0) 4 k， 得 3 arctan,) 4 k； 当(0,1k时，为锐角，得arctan(0, 4 k； 当0k时，0； 综上所述，倾斜角的取值范围是 3 0,)
10、 44 . 说明 上题的不是倾斜角 . 解题时需注意当k的符号不同时须分开讨论，因为0k，倾斜 角为锐角；0k，倾斜角为钝角. 思考：若已知倾斜角 2 , 43 ，斜率 k的取值范围是什么？ 例 5已知( 1, 5),(3,2)MN，若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线l的 斜率 . 说明 本题主要涉及倾斜角、斜率定义及其应用. 解：设直线l的倾斜角为，则MN的倾斜角为2. 由20,)得0,) 2 . 由已知 2 2( 5)32 tan3 tan 2, 3( 1)41tan4 MN k a ，即 2 3 t a n8 t a n30.解得 1 t a n3 3 或，由0,) 2 得
11、tan0，故 1 tan 3 ，直线l的斜率为 1 3 . 说明 倾斜角的范围20,)是一个隐含的条件，由它得到的0,) 2 是一个舍解的条 件. 例 6已知(3, 1),(5,1),(2,31)PMN，直线l过P点且与线段MN相交，求： （1）直线l的斜率k的取值范围； （2）直线l的倾斜角的范围 . 说明 本题主要涉及倾斜角和斜率定义和关系的灵活应用. 用心爱心专心 解： （ 1） 1( 1)3 1,3,(,31,) 5323 PMPN kkk 故； （2）当(,3k时，倾斜角 2 (, 23 ；当1,)k时，,) 42 ；又 2 也符合题意，综上， 2 , 43 . 说明 先画出图形，在
12、学习解析几何时要多注意数形结合. 三、巩固练习 1.已知直线的倾斜角为，且 3 cos 5 ，则直线的斜率为_. 2.经过点( 2,0),(5,3)AB两点的直线的斜率是_, 倾斜角是 _ . 3.下列命题中正确的是_ （1） 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； （2） 若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等； （3） 若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率也大； （4） 若两直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，倾斜角也大. 4.过(1,1),(3,2 )AaaBa的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是_. 5.直线cos80()xyR的倾斜角的取值范围是_.
13、6.过( 1,3)P的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求直线l的倾斜角的范围. 7.直线l220xy的倾斜角大小为，l与y轴交于点P，将l绕P逆时针旋转角 得直线l，求l的方程 . 说明 相关的例题和练习请教师根据学生的实际选用. 四、课堂小结 1. 倾斜角与斜率的概念； 2斜率和倾斜角的相互联系，倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的相互联系. 五、课后作业 书面作业：习题 11 .2A 组 1-10 ，B组 1-3 七、教学设计说明 1分类讨论的思想 在这节里， 斜率k和倾斜角的以下关系经常被用到：0k为锐角；0k为 用心爱心专心 钝角；k不存在 2 ，00k. 已知，若 2 ，tank；若 2 ，斜 率不存在 . 已知k，就要根据k的符号来分类求. 2数形结合的思想 解析几何是用代数方法研究几何问题的，所以数形结合的思想非常重要. 本节中倾斜角、 斜率都有其几何意义，结合图形会使问题更直观，易于理解和解决. 这种思想在以后的各节也 有很多应用 .